Prezentare pe tema „Cele cinci solide platonice”. Prezentare pentru lucrarea de cercetare „Solitele platonice și arhimediene ca principale forme de bile kusudama” Metode și mijloace

Pentru a utiliza previzualizările prezentării, creați un cont Google și conectați-vă la el: https://accounts.google.com

Subtitrările diapozitivelor:

Poliedre regulate Pregătite de profesorul de matematică de la școala nr. 555 „Belogorye” Nadezhda Vasilievna Matveeva

oda - icosaedru Pitagoreicii credeau că materia este formată din patru elemente de bază: foc, pământ, aer și apă. Ei au atribuit existența a cinci poliedre regulate structurii materiei și a Universului. Conform acestei opinii, atomii elementelor de bază ar trebui să aibă forma unor corpuri diferite: Univers - dodecaedru Pământ - cub Foc - tetraedru Apă - icosaedru Aer - octaedru Platon Pitagora

Solide platonice, poliedre stelate și

Solidele platonice

Tetraedru Un tetraedru (tetraedru) este un poliedru cu patru fețe triunghiulare, la fiecare vârf din care se întâlnesc 3 fețe. Un tetraedru are 4 fețe, 4 vârfuri și 6 muchii

Un cub sau un hexaedru regulat este un poliedru regulat, fiecare față fiind un pătrat. Un caz special al unui paralelipiped și al unei prisme. Hexaedrul 4 fețe 8 vârfuri 12 muchii

Octaedrul Octaedrul (greacă οκτάεδρον, din greacă οκτώ, „opt” și greacă έδρα - „bază”) este unul dintre cele cinci poliedre regulate convexe, așa-numitele solide platonice. 8 fețe 6 vârfuri 12 muchii

Dodecaedrul 12 fețe 20 vârfuri 32 muchii

Icosaedrul 20 de fețe 30 de vârfuri 32 de muchii

Poliedru Verfuri Fețe Muchii B+G-R tetraedru 2 octaedru 2 cub 2 dodecaedru 2 icosaedru 2 4 4 6 6 8 8 6 12 12 12 20 20 30 30 48 Completați tabelul folosind formula lui Euler

Dezvoltarea solidelor platonice

Poliedre în natură Poliedrele regulate sunt cele mai avantajoase forme, motiv pentru care sunt răspândite în natură. Acest lucru este confirmat de forma unor cristale. De exemplu, cristalele de sare de masă sunt în formă de cub. În producția de aluminiu se folosește cuarțul aluminiu-potasiu, al cărui singur cristal are forma unui octaedru obișnuit. Producția de acid sulfuric, fier și tipuri speciale de ciment nu se poate face fără pirite sulfuroase. Cristalele acestei substanțe chimice au formă de dodecaedru. Sulfatul de sodiu de antimoniu, o substanță sintetizată de oamenii de știință, este utilizat în diferite reacții chimice. Cristalul de sulfat de sodiu antimoniu are forma unui tetraedru. Ultimul poliedru regulat, icosaedrul, transmite forma cristalelor de bor. Diamant (octaedru Scheelit (piramida Cristal (prismă) Sare de masă (cub))

Poliedre regulate se găsesc și în natura vie. De exemplu, scheletul organismului unicelular Feodaria (Circjgjnia icosahtdra) are forma unui icosaedru. Cele mai multe feodaria trăiesc în adâncurile mării și servesc drept pradă pentru peștii de corali. Dar cel mai simplu animal se protejează cu douăsprezece spini care ies din cele 12 vârfuri ale scheletului. Seamănă mai mult cu un poliedru stelar. Dintre toate poliedrele cu același număr de fețe, icosaedrul are cel mai mare volum cu cea mai mică suprafață. Această proprietate ajută organismul marin să depășească presiunea coloanei de apă „Casa mea a fost construită conform legilor celei mai stricte arhitecturi. Euclid însuși ar fi putut învăța din geometria fagurelor.” Poliedre vii

Poliedre în arhitectură Biserica Kazan din Moscova

La Londra va fi construită o clădire cu poliedru.Biblioteca Națională a Belarusului este un rombicuboctaedru strălucitor.O casă de vară sub formă de poliedru.Un centru public și cultural în Singapore.

Farul Faros era alcătuit din trei turnuri de marmură așezate pe o bază de blocuri masive de piatră. Primul turn era dreptunghiular și conținea încăperi în care locuiau muncitorii și soldații. Deasupra acestui turn era un turn mai mic, octogonal, cu o rampă în spirală care ducea la turnul superior. Turnul superior avea forma unui cilindru, în care ardea un foc, care ajuta navele să ajungă în siguranță în golf. În vârful turnului stătea o statuie a Mântuitorului Zeus. Înălțimea totală a farului a fost de 117 metri. Marile Piramide ale Egiptului din Giza Piramidele egiptene sunt cele mai mari monumente arhitecturale ale Egiptului Antic, inclusiv una dintre cele „șapte minuni ale lumii” - Piramida lui Keops. Piramidele sunt structuri uriașe de piatră în formă de piramidă care au fost folosite ca morminte pentru faraonii Egiptului Antic.

Un exemplu de imagine de poliedre regulate realizată de artistul din secolul al XX-lea Salvador Dali (1904-1989) (Fig. 5). Poliedre în art

Testul „Poliedre regulate” 1. Câte tipuri de poliedre regulate există? (5,13,8, multe) 2. Ce poliedre regulate au 15 axe de simetrie și 15 plane de simetrie? (Icosaedru, tetraedru, dodecaedru, octaedru) 3. Care dintre matematicieni a stabilit relația dintre numărul de vârfuri, muchii și fețe ale unui poliedru convex? (Platon, Arhimede, Euler, Kepler) 4. Conform teoriei legăturii dintre structura Pământului și poliedre regulate, proiecțiile cărora figuri înscrise pe glob apar în scoarța terestră? (Icosaedru, hexaedru, dodecaedru, octaedru) 5. Cine este autorul tabloului filosofic al lumii, unde poliedrele regulate joacă rolul principal? (Euler, Kepler, Arhimede, Platon) Teme pentru acasă:

Poliedre stelare

Testul „Poliedre regulate” 1. Câte tipuri de poliedre regulate există? 2. Ce poliedre regulate au 15 axe de simetrie și 15 plane de simetrie? IcosaedruTetraedruDodecaedruOctaedru 3. Care matematician a stabilit relația dintre numărul de vârfuri, muchii și fețe ale unui poliedru convex? PlatonArhimedesEulerKepler 4. Conform teoriei despre legătura dintre structura Pământului și poliedre regulate, proiecțiile căror figuri înscrise pe glob apar în scoarța terestră? (Icosaedru, hexaedru, dodecaedru, octaedru) 5. Cine este autorul tabloului filosofic al lumii, unde poliedrele regulate joacă rolul principal? EulerKeplerArhimedes Platon

Slide 1

Poliedre convexe regulate
Solidele platonice

Slide 2

Există un număr șocant de mic de poliedre obișnuite, dar această echipă foarte modestă a reușit să intre în profunzimile diferitelor științe. L. Carroll

Slide 3

Tetraedru regulat
Format din patru triunghiuri echilaterale. Fiecare dintre vârfurile sale este vârful a trei triunghiuri. Prin urmare, suma unghiurilor plane de la fiecare vârf este de 180º.
Orez. 1

Slide 4

Format din opt triunghiuri echilaterale. Fiecare vârf al octaedrului este vârful a patru triunghiuri. Prin urmare, suma unghiurilor plane de la fiecare vârf este de 240º.
Octaedru regulat
Orez. 2

Slide 5

Icosaedru regulat
Format din douăzeci de triunghiuri echilaterale. Fiecare vârf al icosaedrului este vârful a cinci triunghiuri. Prin urmare, suma unghiurilor plane de la fiecare vârf este de 300º.
Orez. 3

Slide 6

Format din șase pătrate. Fiecare vârf al cubului este vârful a trei pătrate. Prin urmare, suma unghiurilor plane de la fiecare vârf este de 270º.
Cub (hexaedru)
Orez. 4

Slide 7

Dodecaedru regulat
Compus din douăsprezece pentagoane regulate. Fiecare vârf al dodecaedrului este vârful a trei pentagoane regulate. Prin urmare, suma unghiurilor plane de la fiecare vârf este 324º.
Orez. 5

Slide 8

provenit din Grecia Antică, indică numărul de fețe: „edra” - față; „tetra” – 4; „hexa” – 6; "okta" - 8; „Ikosa” – 20; "dodeka" - 12.
Numele poliedrelor

Slide 9

Poliedrele regulate sunt uneori numite solide platonice, deoarece ele figurează proeminent în viziunea filozofică asupra lumii dezvoltată de marele gânditor al Greciei Antice, Platon (c. 428 - c. 348 î.Hr.). Platon credea că lumea este construită din patru „elemente” - foc, pământ, aer și apă, iar atomii acestor „elemente” au forma a patru poliedre regulate. Tetraedrul personifica focul, deoarece vârful său este îndreptat în sus, ca o flacără care arde. Icosaedrul este ca cel mai raționalizat - apa. Cubul este cea mai stabilă dintre figuri - pământul. Octaedru - aer. În vremea noastră, acest sistem poate fi comparat cu cele patru stări ale materiei - solid, lichid, gazos și flacără. Al cincilea poliedru, dodecaedrul, simboliza întreaga lume și era considerat cel mai important. Aceasta a fost una dintre primele încercări de a introduce ideea de sistematizare în știință.
Poliedre regulate în tabloul filosofic al lumii a lui Platon

Slide 10

„Cupa cosmică” a lui Kepler
Kepler a sugerat că a existat o legătură între cele cinci poliedre regulate și cele șase planete ale sistemului solar descoperite în acel moment. Conform acestei presupuneri, un cub poate fi înscris în sfera orbitei lui Saturn, în care se încadrează sfera orbitei lui Jupiter. Tetraedrul descris în apropierea sferei orbitei lui Marte se încadrează în el, la rândul său. Dodecaedrul se încadrează în sfera orbitei lui Marte, în care se încadrează sfera orbitei Pământului. Și este descris lângă icosaedrul, în care este înscrisă sfera orbitei lui Venus. Sfera acestei planete este descrisă în jurul octaedrului, în care se încadrează sfera lui Mercur. Acest model al Sistemului Solar (Fig. 6) a fost numit „Cupa cosmică” a lui Kepler. Omul de știință a publicat rezultatele calculelor sale în cartea „Misterul Universului”. El credea că secretul Universului fusese dezvăluit. An de an, omul de știință și-a rafinat observațiile, a verificat de două ori datele colegilor săi, dar în cele din urmă a găsit puterea de a abandona ipoteza tentantă. Cu toate acestea, urmele sale sunt vizibile în a treia lege a lui Kepler, care vorbește despre cuburi de distanțe medii față de Soare.
Modelul Sistemului Solar de I. Kepler
Orez. 6

Slide 11

Ideile lui Platon și Kepler despre legătura poliedrelor regulate cu structura armonioasă a lumii din timpul nostru au fost continuate într-o ipoteză științifică interesantă, care la începutul anilor '80. exprimată de inginerii moscoviţi V. Makarov şi V. Morozov. Ei cred că nucleul Pământului are forma și proprietățile unui cristal în creștere, care influențează dezvoltarea tuturor proceselor naturale care au loc pe planetă. Razele acestui cristal, sau mai degrabă, câmpul său de forță, determină structura icosaedru-dodecaedru a Pământului (Fig. 7). Se manifestă prin faptul că în scoarța terestră apar proiecții de poliedre regulate înscrise în glob: icosaedrul și dodecaedrul. Multe zăcăminte minerale se extind de-a lungul unei rețele icosaedru-dodecaedru; Cele 62 de vârfuri și puncte de mijloc ale muchiilor poliedrelor, numite noduri de către autori, au o serie de proprietăți specifice care fac posibilă explicarea unor fenomene de neînțeles. Aici sunt centrele culturilor și civilizațiilor antice: Peru, Mongolia de Nord, Haiti, cultura Ob și altele. În aceste puncte se observă presiunea atmosferică maximă și minimă și turbulențe gigantice ale Oceanului Mondial. Aceste noduri conțin Loch Ness și Triunghiul Bermudelor. Studiile ulterioare ale Pământului pot determina atitudinea față de această ipoteză științifică, în care, după cum se vede, poliedrele regulate ocupă un loc important.
Structura icosaedrică-dodecaedrică a Pământului
Structura icosaedrică-dodecaedrică a Pământului
Orez. 7

Slide 12

Poliedru regulat Număr Număr Număr
Poliedrul regulat al fețelor vârfurilor muchiei
Tetraedrul 4 4 6
Cubul 6 8 12
Octaedrul 8 6 12
Dodecaedru 12 20 30
Icosaedru 20 12 30
Tabelul nr. 1

Slide 13

Poliedru regulat Număr Număr
Poliedru regulat de fețe și vârfuri (G + V) de muchii (P)
Tetraedrul 4 + 4 = 8 6
Cubul 6 + 8 = 14 12
Octaedrul 8 + 6 = 14 12
Dodecaedrul 12 + 20 = 32 30
Icosaedrul 20 + 12 = 32 30
Tabelul nr. 2

Slide 14

Suma numărului de fețe și vârfuri ale oricărui poliedru este egală cu numărul de muchii crescut cu 2. Г + В = Р + 2
formula lui Euler
Numărul de fețe plus numărul de vârfuri minus numărul de muchii din orice poliedru este 2. Г + В  Р = 2

Slide 15

Salvador Dali
"Ultima cina"

Slide 16

Poliedre regulate și natura
Poliedre regulate se găsesc în natura vie. De exemplu, scheletul organismului unicelular Feodaria (Circjgjnia icosahtdra) are forma unui icosaedru (Fig. 8). Ce a cauzat această geometrizare naturală a feodaria? Aparent, din cauza tuturor poliedrelor cu același număr de fețe, icosaedrul este cel mai mare volum cu cea mai mică suprafață. Această proprietate ajută organismul marin să depășească presiunea coloanei de apă. Poliedrele regulate sunt cele mai „profitabile” figuri. Și natura folosește pe scară largă acest lucru. Acest lucru este confirmat de forma unor cristale. Luați sarea de masă, de exemplu, de care nu ne putem lipsi. Se știe că este solubil în apă și servește ca conductor al curentului electric. Iar cristalele de sare de masă (NaCl) au forma unui cub. La producerea aluminiului se folosește cuarțul aluminiu-potasiu (K  12H2O), al cărui monocristal are forma unui octaedru regulat. Producția de acid sulfuric, fier și tipuri speciale de ciment nu este completă fără sulf de pirit (FeS). Cristalele acestei substanțe chimice au formă de dodecaedru. În diferite reacții chimice se folosește sulfat de sodiu antimoniu (Na5(SbO4(SO4))) - o substanță sintetizată de oamenii de știință.Cristalul de sulfat de sodiu antimoniu are forma unui tetraedru.Ultimul poliedru regulat - icosaedrul - transmite forma de cristale de bor (B).La un moment dat, borul a fost folosit pentru a crea semiconductori de prima generație.
Feodaria (Circjgjnia icosahtdra)
Orez. 8

Slide 17

Determinați numărul de fețe, vârfuri și muchii ale poliedrului prezentat în figura 9. Verificați fezabilitatea formulei lui Euler pentru acest poliedru.
Sarcină
Orez. 9

Prezentare pe tema „Solide platonice - cheia structurii Pământului și a Universului” în algebră în format powerpoint. Această prezentare pentru școlari vorbește despre ce este solidul platonician și rolul său în matematica distractivă. Autorul prezentării: matematică profesor Artamonova L. IN.

Fragmente din prezentare

Pământul, dacă te uiți la el de sus, arată ca o minge cusută din douăsprezece bucăți de piele... (c) Platon, „Phaedo”

Studiază unul. Tigaie sferică

• Ideea unui Pământ dodecaedral a fost reînviată în 1829 de geologul francez, membru al Academiei din Paris, Elie de Beaumont. El a emis ipoteza că planeta inițial lichidă, atunci când s-a solidificat, a luat forma unui dodecaedru. De Beaumont a construit o rețea formată din marginile dodecaedrului și icosaedrul său dublu, apoi a început să o deplaseze pe tot globul. Așa că a căutat o poziție care să reflecte cel mai bine topografia planetei noastre. Și a găsit o opțiune atunci când fețele icosaedrului au coincis mai mult sau mai puțin cu zonele cele mai stabile ale scoarței terestre, iar cele treizeci de margini ale sale au coincis cu lanțurile muntoase și locurile în care au avut loc fracturile și mototolirile sale.
• O sută de ani mai târziu, ideea a fost preluată de compatriotul nostru S.I. Kislitsyn, care a propus combinarea celor două vârfuri opuse ale icosaedrului cu polii Pământului, în timp ce cele mai mari depozite de diamante păreau să fie la unele dintre celelalte vârfuri ale sale. Și în ultima treime a secolului trecut, modelul lui de Beaumont cu orientarea lui Kislitsyn a început să fie dezvoltat în țara noastră de către N.F. Goncharov, V.A. Makarov și V.S. Morozov.
• Goncharov, Makarov și Morozov credeau că în interiorul Pământului a apărut un nucleu solid sub forma unui dodecaedru, care a direcționat fluxurile de materie către suprafață; ca urmare, s-a format un fel de cadru de putere al planetei, repetând structura nucleului. Cu toate acestea, conform celebrului nostru cristalograf și mineralog I.I. Shafranovsky, dodecaedrul și icosaedrul cu axele lor de simetrie de ordinul cinci nu au simetrie cristalografică și, prin urmare, presupunerea despre formarea unor astfel de corpuri în miezul planetei este incorectă.
• Teselarea unei sfere cu hexagoane este imposibilă, deoarece contrazice teorema lui Euler, care raportează numărul de vârfuri, muchii și fețe din orice poliedru. Ivanyuk și Goryainov cred că sfera va fi acoperită cu o rețea de pentagoane, deoarece acestea sunt cele mai apropiate de hexagoane, dar pot fi folosite pentru a pava suprafața sferei. Deci, obțineți un dodecaedru! Aceeași concluzie va rămâne valabilă dacă stratul de lichid de pe suprafața sferei devine mai gros și raza sferei devine mai mică, astfel încât lichidul umple aproape întreg volumul mingii.
• În raport cu Pământul, aceasta înseamnă că, dacă timp de miliarde de ani a fost un nucleu fierbinte înconjurat de un lichid vâscos, atunci ar putea apărea în el celule convective pentagonale (a căror latură este proporțională cu raza planetei). Și apoi fluxurile de materie din ele, răcindu-se și întărindu-se, aveau să formeze acel cadru dodecaedral despre care au vorbit de Beaumont și adepții săi.

Studiază doi. Muzică înghețată

• La prima vedere asupra globului, distribuția continentelor și oceanelor pare prost ordonată, dar unele modele, așa cum s-a remarcat de mult timp, încă există.
• În primul rând, cele două emisfere separate de ecuator sunt foarte diferite: emisfera nordică este dominată de uscat, iar emisfera sudică este dominată de mare.
• În al doilea rând, formele continentelor și oceanelor sunt apropiate de triunghiulare, cu triunghiuri continentale cu bazele îndreptate spre nord și capete înclinate spre sud; oceanic – dimpotrivă.
• În al treilea rând, diametrele trase prin pământ, în marea majoritate a cazurilor, vor trece pe cealaltă parte a globului prin apă, adică se observă antipoditatea continentelor și oceanelor.
• Acest din urmă fapt înseamnă că suprafața pământului nu are un centru de simetrie, dar există un centru de antisimetrie, sau simetrie în două culori, ideile despre care au fost dezvoltate de cel mai mare cristalograf al nostru, academicianul A.V. Shubnikov. Ideea este că elementele centrale simetrice inițial egale ale unei anumite figuri sunt împărțite în două clase, care sunt marcate în mod convențional cu două culori. Și apoi operația de reflexie din centru transformă un element de o culoare într-un element al alteia - într-un anti-element.
• Shafranovsky a remarcat că proprietățile de mai sus ale topografiei Pământului pot fi, într-o primă aproximare, acoperite de modelul geometric propus în anii '50 de proeminentul geolog sovietic B.L. Lichkov. Se bazează pe un octaedru, ale cărui opt fețe sunt vopsite în două culori, astfel încât fețele adiacente să fie de culori diferite. Este clar că colorarea „șahului” corespunde antisimetriei: vizavi de fiecare față se află o față de o culoare diferită.
• Lăsați marginile albe să reprezinte continentele, iar cele albastre oceanele. Să punem octaedrul pe fața albă, care va fi Antarctica. Apoi marginea albastră superioară va înfățișa Oceanul Arctic, iar cele trei margini albe triunghiulare care îl înconjoară vor deveni triunghiurile care sunt vizibile pe glob - America de Nord și de Sud, Europa plus Africa și Asia. Întorcând octaedrul, obținem o imagine diferită: în jurul marginii albe (Antarctica) sunt trei oceane albastre.

Concluzie

• În ambele studii, ideile de bază sunt similare: un proces fizic rupe simetria continuă a sferei și, ca urmare, apare o simetrie discretă a unuia dintre solidele platonice. Este posibil ca într-un moment în care Pământul „era lipsit de formă și gol”, astfel de efecte să fi determinat principalele trăsături ale suprafeței sale. Și din moment ce mulți alți factori au fost, de asemenea, la lucru în diferite ere geologice, imaginea finală s-a dovedit a fi mult mai complexă și confuză.
• Aparent, poliedrele obișnuite vor juca un rol din ce în ce mai important în diverse domenii ale cunoașterii. Și aici nu este vorba doar de ludi mathematici (jocuri matematice) - aceste cifre sunt conectate în interior cu fenomene naturale. După cum spunea Platon, dintre toate corpurile vizibile sunt cele mai minunate și fiecare dintre ele este frumos în felul său. Acesta este probabil cazul când frumusețea și adevărul sunt una.

18.03.2018 04:55

Prezentarea a fost făcută pentru munca de cercetare, care a fost prezentată la Complexul regional științific și de producție „Pași în știință” și „Tineretul.Știință.Cultură - Siberia”. Partea principală a lucrării examinează conceptele de poliedre regulate, tipurile și evoluțiile lor, bilele kusudama și tipurile lor și efectuează un studiu al bilelor kusudama. Poliedrele obișnuite sunt realizate folosind aleză, iar bilele kusudama sunt realizate folosind origami modular. Se verifică implementarea formulei lui Euler. O comparație se face din poliedre regulate cu bile kusudama. S-au găsit asemănări și diferențe. Lucrarea are o mare valoare practică și teoretică; poate fi folosită în lecții de matematică, tehnologie și activități extracurriculare. Metodele utilizate sunt modelarea, proiectarea, metoda de căutare, analiza și compararea datelor. Lucrarea a primit o diplomă de gradul III la Conferința științifică și practică din întreaga Rusie. Publicat pe site-ul de cercetare „Trainer”

Vizualizați conținutul documentului
„Prezentare pentru lucrarea de cercetare „Solide platoniciene și arhimediene ca principale forme de bile kusudama””

„Tineret, știință, cultură - Siberia”

MBOU "Școala Gimnazială Duldurga"

Conferința științifică și practică a întregii Rusii

Districtul Duldurginsky 7-a clasa supraveghetor: Kibireva Irina Valerievna profesor de matematică de cea mai înaltă categorie de calificare

Lucrător de onoare al Învățământului General al Federației Ruse

MBOU "Școala Gimnazială Duldurga"

Solidele platonice și arhimediene ca principalele forme de bile kusudama

Pitagora (570 - 497 î.Hr.) Platon (numele real Aristocles,

427-347 î.Hr.)

Euclid (365-300 î.Hr.)

Leonhard Euler (1707-1783)

În pictura artistului Salvador Dali „Cina cea de taină” Hristos și discipolii săi sunt înfățișați pe fundalul unui uriaș dodecaedru transparent.

Potrivit anticilor, UNIVERSUL avea forma unui dodecaedru, adică. ei credeau că trăim în interiorul unei bolți în formă de suprafață a unui dodecaedru obișnuit.

Poliedre în arhitectura Moscovei

Catedrala Neprihănirii Concepției

fecioara Maria

pe Malaya Gruzinskaya

Muzeul de Istorie

Descoperiri geologice

Granate: Andradit și Grossular (găsită în bazinul râului Akhtaranda, Yakutia)

Scopul lucrării:

Aflați care poliedre aparțin solidelor platonice și arhimediene și cum sunt legate de bilele kusudama. Bilele kusudama chiar au forma lor?

Obiectul de studiu: Solide platonice și arhimediene, bile kusudama

Subiect de studiu: origametrie

Ipoteză:

Dacă studiezi poliedre regulate, semi-regulate și bile kusudama, poți vedea asemănări în ele și poți oferi o descriere a bilelor kusudama din punct de vedere geometric.

Obiectivele cercetării:

• Colectați și studiați literatură pe temele „solide platoniciene și arhimediene”, „bile Kusudama”.
• Utilizarea dezvoltărilor pentru a face poliedre regulate
• 3. Faceți bile kusudama
• 4. Verificați îndeplinirea formulei lui Euler pentru poliedre regulate și semiregulate.
• 4. Găsiți relația dintre poliedre și bilele kusudama.

Metode și mijloace:

• modelare
• proiecta
• metoda de cautare
• analiza și compararea datelor

Etape de cercetare:

• Studierea literaturii despre poliedre regulate (solide platonice), poliedre semiregulate (solide arhimede), bile kusudama.
• Modelarea poliedrelor și bilelor kusudama.
• Compararea și contrastarea bilelor kusudama cu poliedre regulate.
• Descrierea datelor primite.

Poliedru

• Un poliedru este o suprafață închisă formată din poligoane.

• Se numeste convex , dacă toate sunt situate pe o parte a planului fiecăreia dintre fețele sale.

Executarea formulei lui Euler pentru poliedre regulate

Tetraedru

Vârfurile

Coaste

Margini

formula lui Euler

Dodecaedru

Icosaedru

Forme de stele

Stelarea octaedrului este o stea octogonală.

Dodecaedru mic stelat

mingi Kusudama

• Kusudama sunt produse decorative tradiționale japoneze antice care folosesc tehnica origami.
• Kusudama este un tip de origami; meșteșug de hârtie asemănător cu o minge de flori.

cub

Analog al unui cub

Giroscop

Fețele sunt triunghiuri care nu sunt vizibile în mod explicit. Dacă puneți un triunghi la fiecare trei vârfuri, obțineți un octaedru. Care:

Numărul total de vârfuri este 8;

numărul total de vârfuri – 6,

numărul total de coaste - 12,

Are forma unui octaedru

numărul total de fețe – 6.

numărul total de coaste - 12,

numărul total de fețe este de 8.

Icosaedru triunghiular

Are forma unui icosaedru

Minge de flori

Este una dintre formele stelate ale icosaedrului - icosaedrul triambic mic.

Are forma unui dodecaedru, în care:

Are forma unui icosaedru

Are forma unui dodecaedru

numărul total de vârfuri – 20,

Pentru care:

numărul total de vârfuri – 32;

numărul total de coaste - 30,

numărul total de coaste - 60,

numărul total de fețe este de 12.

numărul total de fețe este de 20.

Are forma unui dodecaedru, în care:

numărul total de vârfuri – 20,

Are forma unui dodecaedru

Dacă îndoiți urechile kusudama, puteți vedea clar că are forma unui cub. Prin urmare, în afară de urechi, putem spune că are:

numărul total de coaste - 30,

numărul total de vârfuri – 8;

În formă de cub

numărul total de fețe este de 12.

numărul total de coaste - 12,

numărul total de fețe – 6.

Minge flexibilă

Are forma unui icosaedru, în care:

numărul total de vârfuri – 12,

Are forma unui icosaedru

numărul total de coaste - 30,

numărul total de fețe este de 20.

Cub fără colțuri

Kusudama clasic

Are forma unui cub trunchiat

Are forma unui cub trunchiat. Care:

numărul total de vârfuri – 24,

numărul total de coaste – 36,

numărul total de vârfuri – 24,

Are forma unui cub trunchiat

numărul total de fețe este de 14.

numărul total de coaste – 36,

numărul total de fețe este de 14.

Fețe: 8 – triunghiuri (nu sunt vizibile),

6 - octogoane

6 - octogoane

Are forma unui cub trunchiat

trandafir Kusudama

Are forma unui cub trunchiat

Are forma unui cub trunchiat. Care:

Care:

numărul total de vârfuri – 24,

numărul total de vârfuri – 24,

Are forma unui cub trunchiat

numărul total de coaste – 36,

numărul total de coaste – 36,

numărul total de fețe este de 14.

numărul total de fețe este de 14.

Fețe: 8 – triunghiuri (nu sunt vizibile),

6 – octogoane (dacă îndoiți urechile

6 - octogoane

octaedrul stelar

Este intersecția a două tetraedre. El are:

Coșuri de stele

Are forma unui octaedru stelat

Acesta este un analog al marelui dodecaedru stelat. El are:

numărul total de vârfuri – 14,

numărul total de coaste – 36,

numărul total de vârfuri – 32,

În formă de dodecaedru mare stelat

numărul total de fețe este de 24.

numărul total de coaste - 90,

numărul total de fețe este de 60.

ondulator Kusudama

Este dificil de determinat numărul total de vârfuri, muchii și fețe ale acestui kusudama. Dar putem spune cu siguranță că are formă de stea. Aceasta poate fi a șaptesprezecea stelare a icosaedrului.

Executarea formulei lui Euler pentru solidele arhimedice și bile kusudama

Nume poliedru

Tetraedru trunchiat

Vârfurile

Coaste

Octaedru trunchiat

Cub trunchiat

Margini

formula lui Euler

Icosaedru trunchiat

Dodecaedru trunchiat

24 + 14 = 36 + 2

cuboctaedru

24 + 14 = 36 + 2

Icosidodecaedru

60 + 32 = 90 + 2

Rombicuboctaedru

60 + 32 = 90 + 2

Rombicosidodecaedru

Cuboctaedru trunchiat rombic

12 + 14 = 24 + 2

30 + 32 = 60 + 2

Icosidodecaedru trunchiat rombic

24 + 26 = 48 + 2

Snub cub

Dodecaedru snub

60 + 62 = 120 + 2

48 + 26 = 72 + 2

120 + 62 = 180 + 2

24 + 38 = 60 + 2

60 + 92 = 150 + 2

Concluzie:

• Kusudama sunt asemănătoare poliedrelor în multe privințe. Ele constau în cea mai mare parte dintr-un număr mare de părți și au o formă geometrică clară. Plierea pieselor nu este de obicei dificilă, dar asamblarea întregului produs necesită uneori un efort.
• Baza kusudama, de regulă, este un poliedru regulat (cel mai adesea un cub, dodecaedru sau icosaedru). Ceva mai rar, un poliedru semi-regular este luat ca bază.
• Modelele de bile kusudama în formă de poliedre produc o impresie estetică asupra unei persoane și pot fi folosite ca ornamente decorative.
• Astfel de obiecte uimitoare și perfecte ale lumii moderne precum kusudama au fost puțin studiate.

CONCEPTE DE BAZĂ Un poliedru este un corp geometric delimitat pe toate laturile de poligoane plate numite fețe. Un poliedru este un corp geometric delimitat pe toate laturile de poligoane plate numite fețe. Laturile fețelor sunt muchiile poliedrului, iar capetele muchiilor sunt vârfurile poliedrului. Laturile fețelor sunt muchiile poliedrului, iar capetele muchiilor sunt vârfurile poliedrului. In functie de numarul de fete se disting tetraedre, pentaedre etc.. In functie de numarul de fete se disting tetraedre, pentaedre etc.

CONCEPTE DE BAZĂ Un poliedru se numește convex dacă este situat în întregime pe o parte a planului, fiecare dintre fețele sale. Un poliedru se numește convex dacă este situat în întregime pe o parte a planului, fiecare dintre fețele sale. Un poliedru convex se numește regulat dacă toate fețele sale sunt poligoane regulate identice, același număr de muchii converg la fiecare vârf, iar fețele adiacente formează unghiuri egale. Un poliedru convex se numește regulat dacă toate fețele sale sunt poligoane regulate identice, același număr de muchii converg la fiecare vârf, iar fețele adiacente formează unghiuri egale. Toate poliedrele obișnuite au un număr diferit de fețe și sunt numite după acest număr. Toate poliedrele obișnuite au un număr diferit de fețe și sunt numite după acest număr. Există exact cinci poliedre regulate - nici mai mult, nici mai puțin. Există exact cinci poliedre regulate - nici mai mult, nici mai puțin.

CONCEPTE DE BAZĂ Tetraedrul (din tetra - patru și greacă, hedra - față) este alcătuit din 4 triunghiuri regulate, 3 muchii se întâlnesc la fiecare vârf. Tetraedrul (din tetra - patru și greacă hedra - față) este format din 4 triunghiuri regulate, 3 muchii se întâlnesc la fiecare vârf.

CONCEPTE DE BAZĂ Un hexaedru (din grecescul hexa - șase și hedra - față) are 6 fețe pătrate, 3 muchii converg la fiecare vârf. Un hexaedru (din grecescul hexa - șase și hedra - față) are 6 fețe pătrate, 3 muchii converg la fiecare vârf. Hexaedrul este mai bine cunoscut sub numele de cub (din latină, cubus; din greacă, kubos. Hexaedrul este mai cunoscut sub numele de cub (din latină, cubus; din greacă, kubos).

CONCEPTE DE BAZĂ Octaedrul (din grecescul okto - opt și hedra - față) are 8 fețe (triunghiulare), 4 muchii converg la fiecare vârf. Octaedrul (din grecescul okto - opt și hedra - față) are 8 fețe (triunghiulare), 4 muchii converg la fiecare vârf.

CONCEPTE DE BAZĂ Dodecaedrul (din grecescul dodeka - doisprezece și hedra - față) are 12 fețe (pentagonale), 3 muchii converg la fiecare vârf. Dodecaedrul (din grecescul dodeka - doisprezece și hedra - față) are 12 fețe (pentagonale), 3 muchii converg la fiecare vârf.

CONCEPTE DE BAZĂ Icosaedrul (din grecescul eikosi - douăzeci și hedra - față) are 20 de fețe (triunghiulare), 5 muchii converg la fiecare vârf. Icosaedrul (din grecescul eikosi - douăzeci și hedra - față) are 20 de fețe (triunghiulare), 5 muchii converg la fiecare vârf.

CONTEXTUL ISTORIC Filosoful grec antic Platon (428 sau 427 î.Hr. 348 sau 347), care a purtat conversații cu studenții săi în crângul Academus (Academus este un erou mitologic grecesc antic, care, conform legendei, a fost îngropat într-un crâng sacru de lângă Atena, de unde provine numele, academie), a proclamat unul dintre motto-urile școlii sale: „Cei care nu cunosc geometrie nu sunt admiși!” Filosoful grec antic Platon, (428 sau 427 î.Hr. 348 sau 347), care a purtat conversații cu studenții săi în crângul lui Academus (Academus este un erou mitologic grecesc antic, care, conform legendei, a fost îngropat într-un crâng sacru de lângă Atena , de unde provine numele ,academie), a proclamat unul dintre motto-urile școlii sale: „Cei care nu cunosc geometrie nu sunt admiși!”

INFORMAȚII ISTORICE În dialog, Timeu Platon a asociat poliedre regulate cu cele patru elemente principale. Tetraedrul simboliza focul, deoarece. vârful său este îndreptat în sus; icosaedru - apă, pentru că este cel mai „raționalizat”; cub - pământ, ca cel mai „stabil”; octaedru - aer, ca cel mai „aerisit”. Al cincilea poliedru, dodecaedrul, a întruchipat „tot ce există”, a simbolizat întregul univers și a fost considerat principalul. Deși poliedrele regulate erau cunoscute pitagoreenilor cu câteva secole înainte de Platon, ele sunt numite solide platonice. În dialog, Timeu Platon a asociat poliedre regulate cu cele patru elemente principale. Tetraedrul simboliza focul, deoarece. vârful său este îndreptat în sus; icosaedru - apă, pentru că este cel mai „raționalizat”; cub - pământ, ca cel mai „stabil”; octaedru - aer, ca cel mai „aerisit”. Al cincilea poliedru, dodecaedrul, a întruchipat „tot ce există”, a simbolizat întregul univers și a fost considerat principalul. Deși poliedrele regulate erau cunoscute pitagoreenilor cu câteva secole înainte de Platon, ele sunt numite solide platonice. Poliedrele regulate au ocupat un loc important în sistemul I. Kepler de structură armonioasă a lumii. Poliedrele regulate au ocupat un loc important în sistemul I. Kepler de structură armonioasă a lumii.

NOTĂ ISTORICĂ Din poliedre regulate - solide platonice - se pot obține așa-numitele poliedre semiregulate, sau solide arhimediene. Fețele lor sunt, de asemenea, poligoane regulate, dar opuse. Din poliedre regulate – solide platonice – putem obține așa-numitele poliedre semiregulate, sau solide arhimediene. Fețele lor sunt, de asemenea, poligoane regulate, dar opuse.

Formula lui Euler Poliedru Verfuri Fețe Muchii B+G-R Tetraedru4462 Hexaedru86122 Octaedru68122 Dodecaedru Icosaedru Să numărăm numărul de vârfuri (V), fețe (D), muchii (P) și scriem rezultatele în tabel. Să numărăm numărul de vârfuri (B), fețe (D), muchii (P) și scriem rezultatele în tabel. În ultima coloană rezultatul este același pentru toate poliedrele: B+G-P=2. În ultima coloană rezultatul este același pentru toate poliedrele: B+G-P=2. Formula este valabilă nu numai pentru poliedrele obișnuite, ci și pentru toate poliedrele! Formula este valabilă nu numai pentru poliedrele obișnuite, ci și pentru toate poliedrele!

Legea reciprocității Poliedrele regulate au o caracteristică interesantă - o lege particulară a reciprocității. Centrele fețelor cubului sunt vârfurile octaedrului, iar centrele fețelor octaedrului sunt vârfurile cubului. Poliedrele regulate au o caracteristică interesantă - o lege particulară a reciprocității. Centrele fețelor cubului sunt vârfurile octaedrului, iar centrele fețelor octaedrului sunt vârfurile cubului.

Legea reciprocității Tetraedrul se deosebește de aceste 4 poliedre: dacă considerăm că centrele fețelor sale sunt vârfurile noului poliedru, atunci obținem din nou un tetraedru. Tetraedrul se diferențiază de aceste 4 poliedre: dacă considerăm că centrele fețelor sale sunt vârfurile noului poliedru, atunci obținem din nou un tetraedru. Tetraedrul este dual cu sine. Tetraedrul este dual cu sine.

Legea reciprocității Cubul și octaedrul, dodecaedrul și icosaedrul sunt două perechi de poliedre duale. Au același număr de muchii (12 pentru cub și octaedru; 30 pentru dodecaedru și icosaedru), iar numărul de vârfuri și fețe este rearanjat. Cubul și octaedrul, dodecaedrul și icosaedrul sunt două perechi de poliedre duale. Au același număr de muchii (12 pentru cub și octaedru; 30 pentru dodecaedru și icosaedru), iar numărul de vârfuri și fețe este rearanjat.

Poliedre regulate din jurul nostru Teoria poligoanelor și poliedrelor regulate este una dintre cele mai fascinante și vibrante ramuri ale matematicii. Dar modelele descoperite de matematicieni sunt în mod surprinzător legate de simetria naturii vii și neînsuflețite - cu formele diferitelor cristale, forma exactă a virușilor, cu teoriile moderne din fizică, biologie și alte domenii ale cunoașterii. Teoria poligoanelor și poliedrelor regulate este una dintre cele mai fascinante și vibrante ramuri ale matematicii. Dar modelele descoperite de matematicieni sunt în mod surprinzător legate de simetria naturii vii și neînsuflețite - cu formele diferitelor cristale, forma exactă a virușilor, cu teoriile moderne din fizică, biologie și alte domenii ale cunoașterii.

Poliedre regulate din jurul nostru De exemplu: organismele unicelulare ale Feodaria, au forma unui icosaedru; organismele unicelulare ale Feodaria, au forma unui icosaedru; cubul transmite forma cristalelor de sare de masă; cubul transmite forma mesei cristale de sare; monocristal de alaun de aluminiu-potasiu are forma unui octaedru; monocristal de alaun de aluminiu-potasiu are forma unui octaedru; cristal de sulf pirită FeS are forma unui dodecaedru cristal de pirită de sulf FeS are forma unui dodecaedru antimoniu sulfat de sodiu – tetraedru antimoniu sulfat de sodiu – tetraedru bor – icosaedru bor – icosaedru

Bibliografie 1. Dorofeev G.V., Peterson L.G. Matematică. clasa a 6-a. Partea 3 – M.: Balass, Dorofeev G.V., Peterson L.G. Matematică. clasa a 6-a. Partea 3 – M.: Balass, Sheinina O.S., Solovyova G.M. Matematică. Activitățile clubului școlar. 5-6 clase. Manual pentru profesori. – M.: Editura NC ENAS, Sheinina O.S., Solovyova G.M. Matematică. Activitățile clubului școlar. 5-6 clase. Manual pentru profesori. – M.: Editura NC ENAS, Sharygin I.F., Erganzhieva L.N. Geometrie vizuală. Manual pentru clasele V – VI. – M.: Miros, Sharygin I.F., Erganzhieva L.N. Geometrie vizuală. Manual pentru clasele V – VI. – M.: Miros, Enciclopedia pentru copii. T. 11. Matematică. – M.: Avanta+, Enciclopedie pentru copii. T. 11. Matematică. – M.: Avanta+, Enciclopedie pentru copii. explorez lumea.Matematica. – M.: Editura AST, Enciclopedia pentru copii. explorez lumea.Matematica. – M.: Editura AST, 1999