Distanța dintre punctele din spațiul de prezentare. Coordonatele carteziene în spațiu

Secțiuni: Matematică

Obiectivele lecției:

Educational: Luați în considerare conceptul de sistem de coordonate și coordonatele unui punct din spațiu; deduceți formula distanței în coordonate; deduceți formula pentru coordonatele punctului de mijloc al segmentului.

Educational: Să promoveze dezvoltarea imaginației spațiale a elevilor; contribuie la dezvoltarea rezolvării problemelor și la dezvoltarea gândirii logice a elevilor.

Educational: Promovarea activității cognitive, a simțului responsabilității, a unei culturi a comunicării, a unei culturi a dialogului. Echipament: Rechizite pentru desen, rețea de cristal de sare.

Tip de lecție: Lecție despre învățarea de material nou (2 ore).

Structura lecției:

1. Organizarea timpului.
2. Introducere.
3. Comunicați obiectivele lecției.
4. Motivația.
5. Actualizare.
6. Învățarea de materiale noi.
7. Înțelegerea și conștientizarea.
8. Consolidare.
9. Rezumatul lecției.

Sarcina de conducere: pregătiți demonstrarea teoremelor și derivarea formulelor, un raport despre Rene Descartes.

Tehnologia antrenamentului: Tehnologia de învățare programată (învățare în bloc).

În timpul orelor

1. Moment organizatoric. Bună ziua.

2. Introducere.

Astăzi în clasă începem să studiem blocul al patrulea al cursului de geometrie de clasa a X-a „Coordonatele carteziane și vectorii în spațiu”.

Prezentarea mesei blocului al patrulea (masa este pe fiecare birou).

Clasa 10. Coordonate carteziene și vectori în spațiu. Blocul nr. 4

Numărul de ore - 18 ore

Numele subiectelor	Teorie (manual)	Atelier	Muncă independentă	Test de teorie	Hârtii de testare
Introducere: Coordonatele carteziene în spațiu. Distanța dintre puncte. Coordonatele punctului de mijloc al segmentului.	P.152	Lucrarea practică nr. 6	Munca independentă nr. 5	Dictarea geometrică.	Testul de acasă nr. 4 Testul de clasă #4
Simetrie. Transfer paralel. Circulaţie.	p.155, p.156	Lucrarea practică nr. 7	Munca independentă nr. 6	Fișa de scor nr. 3	Testul de acasă nr. 5 Testul de clasă #5
Unghi între: Traversarea liniilor drepte; Drept și plat; Avioane. 9. Aria proiecției ortogonale a unui poligon.		Lucrarea practică nr. 8		Fișa de scor nr. 4
Vectori în spațiu.	P.164	Lucrarea practică nr. 9		Fișa de scor nr. 5

Ce subiect este în consonanță cu tema lecției noastre am studiat în clasa a VIII-a? Ce cuvânt cheie definește aceste două subiecte? (Coordonate). Coordonatele plane și spațiale pot fi introduse într-un număr infinit de moduri diferite.

Când rezolvați o problemă geometrică, fizică, chimică, puteți utiliza diverse sisteme de coordonate: dreptunghiulare, polare, cilindrice, sferice. (Arată modele ale rețelei cristaline de sare de masă)

La cursul de învăţământ general se studiază sistemul de coordonate dreptunghiulare în plan şi în spaţiu. Altfel, se numește sistemul de coordonate carteziene după filozoful francez Rene Descartes (1596 - 1650), care a introdus pentru prima dată coordonatele în geometrie.

(Povestea elevului despre Rene Descartes.)

Rene Descartes s-a născut în 1596 în orașul Lae din sudul Franței, într-o familie nobiliară. Tatăl meu a vrut să-l facă pe Rene ofițer. Pentru aceasta, în 1613 l-a trimis pe Rene la Paris. Descartes a trebuit să petreacă mulți ani în armată, participând la campanii militare în Olanda, Germania, Ungaria, Cehia, Italia și la asediul cetății hughenote La Rochalie. Dar Rene era interesat de filozofie, fizică și matematică. La scurt timp după sosirea sa la Paris, l-a întâlnit pe studentul lui Vieta, un matematician proeminent al acelui timp - Mersen, și apoi pe alți matematicieni din Franța. În timp ce era în armată, Descartes și-a dedicat tot timpul liber matematicii. A studiat algebra germană și matematica franceză și greacă.

După capturarea La Rochalie în 1628, Descartes a părăsit armata. El duce o viață solitar pentru a-și pune în aplicare planurile extinse de muncă științifică.

Părerile filozofice ale lui Descartes nu corespundeau cerințelor Bisericii Catolice. Prin urmare, s-a mutat în Olanda, unde a trăit 20 de ani, din 1629 până în 1649, dar din cauza persecuției Bisericii Protestante din 1649 s-a mutat la Stockholm. Dar clima aspră din nordul Suediei s-a dovedit a fi dezastruoasă pentru Descartes, iar el a murit de o răceală în 1650.

Descartes a fost cel mai mare filozof și matematician al timpului său. Filosofia lui se baza pe materialism. Cea mai faimoasă lucrare a lui Descartes este Geometria. Descartes a introdus un sistem de coordonate pe care toată lumea îl folosește astăzi. El a stabilit o corespondență între numere și segmente de dreaptă și astfel a introdus metoda algebrică în geometrie. Aceste descoperiri ale lui Descartes au dat un impuls imens dezvoltării atât a geometriei, cât și a altor ramuri ale matematicii și opticii. A devenit posibilă reprezentarea grafică a dependenței cantităților de planul de coordonate, numerele - ca segmente și efectuarea de operații aritmetice pe segmente și alte mărimi geometrice, precum și diverse funcții. Era o metodă complet nouă, care se distingea prin frumusețe, grație și simplitate.

R. Descartes - om de știință francez (1596-1650)

3. Comunicați scopul lecției.

Astăzi, în lecție, vom continua să studiem sistemul de coordonate carteziene și să arătăm că coordonatele din spațiu sunt introduse la fel de simplu ca coordonatele dintr-un plan.

4. Motivația.

Rene Descartes a spus odată: “… descendenții îmi vor fi recunoscători nu numai pentru ceea ce am spus, ci și pentru ceea ce nu am spus și, prin urmare, le-a oferit ocazia și plăcerea de a-și da seama singuri.” Vă voi oferi posibilitatea și plăcerea de a înțelege singur sistemul de coordonate carteziene.

5. Învățarea de material nou.

Explicaţie. Tehnologia de studiu în bloc presupune studierea mai multor subiecte într-o lecție. Lecția va acoperi trei subiecte. Fiecare subiect va conține următoarea structură:

• Studiul de material nou (studiul se bazează pe o analiză comparativă a conceptelor și formulelor de bază discutate în planimetrie și demonstrarea teoremelor necesare);
• Conștientizare și înțelegere.

Pe baza materialului pe care îl cunoașteți pentru clasa a 8-a, vom completa tabelul. Să facem o descriere comparativă.

(Se desenează pe tablă un tabel, acesta trebuie completat împreună cu elevii. Luați în considerare conceptele de bază ale coordonatelor carteziene, formula pentru distanța dintre puncte, formula pentru coordonatele punctului mijlociu al unui segment pe un plan, și încercați ca elevii să formuleze ei înșiși conceptele și formulele de bază în spațiu)

La suprafață	In spatiu
Definiție.	Definiție.
2 osii, OU - axa ordonatelor, OX - axa absciselor	3 axe, OX - axa absciselor, OU – axa ordonatelor, OZ - axa aplicatorului.
OX este perpendicular pe OA	OX este perpendicular pe OU, OX este perpendicular pe OZ, OU este perpendiculară pe OZ.
(O;O)	(OOO)
	Direcție, un singur segment
Distanța dintre puncte.	Distanța dintre puncte. d = v (x2 - x1)? + (y2 - y1)? + (z2 – z1)?
Coordonatele punctului de mijloc al segmentului.	Coordonatele punctului de mijloc al segmentului.

Imagini folosite pentru conversație:

Întrebări pentru a completa prima parte a tabelului.

1. Formulați definiția unui sistem de coordonate carteziene?

2. Încercați să formulați definiția unui sistem de coordonate carteziene în spațiu?

3. Care sunt axele de coordonate pe plan? Care sunt axele de coordonate în spațiu? Nume, ce axă nu am studiat? (Introducerea unui cuvânt nou „aplica”)

4. Ce planuri sunt considerate în planimetrie (în spațiu)?

5. Care este coordonata originii pe plan (în spațiu)?

6. Ce alte componente ar trebui să aibă un sistem de coordonate pe un plan și în spațiu?

7. Cum se determină coordonatele unui punct în plan și în spațiu?

Concluzie:

Spuneți-ne cum este introdus sistemul de coordonate carteziene în spațiu și în ce constă?

În timpul unei conversații, desenați un desen al proiecției frontal-dimetrice a axelor.

Luați în considerare poziția axelor în conformitate cu desenul.

Construiți un punct cu coordonatele date A (2; - 3).

Construiți un punct cu coordonatele date A (1; 2; 3).

Luați în considerare construcția de pe tablă. Lucrați folosind cărți (2 persoane la tablă).

Lucrați cu clasa: sarcina nr. 3 din manual, pagina 287, oral.

Întrebări pentru a completa a doua parte a tabelului.

1. Notați formula distanței dintre punctele dintr-un plan.

2. Cum ai scrie formula pentru distanța dintre punctele din spațiu?

Să-i demonstrăm validitatea(derivarea formulei - paragraful 154, p. 273)

Sarcina avansată este de a afișa formula pe tablă pentru elevi.

Lucrați folosind carduri: 2 persoane la tablă.

Aflați lungimea segmentului:

1. A (1;2;3;) și B (-1; 0; 5)
2. A (1;2;3) și B (x; 2;-3)

Lucrul cu clasa: Sarcina nr. 5 la pagina 288.

Întrebări pentru a completa a treia parte a tabelului.

1. Cum putem scrie formula pentru coordonatele punctului de mijloc al unui segment?

2. Cum ați scrie formula pentru coordonatele punctului de mijloc al unui segment?

Să-i demonstrăm validitatea(derivarea formulei p. -154 p., 273).

Sarcina avansată este de a deriva o formulă pentru coordonatele punctului de mijloc al unui segment de lângă tablă.

Lucrul cu clasa. Oral.

Aflați coordonatele punctului M - mijlocul segmentului

A(2;3;2), B (0;2;4) și C (4;1;0)

• Este punctul B mijlocul segmentului AC?

Lucrați cu clasa: Sarcina nr. 9 pagina 288.

Consolidare.

Workshop: Rezolvarea problemelor (Lucrare practică).

În timpul rezolvării problemelor, studenții sunt chestionați cu privire la subiecte anterioare și material nou învățat (dovada teoremelor).

Teme pentru acasă: studiați paragrafele 152, 153,154, întrebările 1 – 3, sarcinile 3, 4, 6, 10, pregătiți-vă pentru dictarea geometrică.

Rezumatul lecției.

1. Cum este introdus sistemul de coordonate carteziene? În ce constă?
2. Cum se determină coordonatele unui punct din spațiu?
3. Cu ce ​​este egală coordonatele originii?
4. Care este distanța de la origine la un punct dat?
5. Care este formula pentru coordonatele mijlocului unui segment și distanța dintre punctele din spațiu?

Evaluare(profesorul atribuie independent note pentru munca la clasă și le anunță elevilor).

Organizarea timpului. Mulțumesc pentru lecție. La revedere.

Literatură.

1. A.V. Pogorelov. Manualul 7-11. M. „Iluminismul”, 19992-2005.
2. ESTE. Petrakov. Cluburi de matematică în clasele 8-10. M, „Iluminismul”, 1987

rezumatul altor prezentări

„Condiția de perpendicularitate a unei drepte și a unui plan” - Perpendiculară și oblică. Perpendicularitatea dreptelor și a planurilor. Teoremă despre două drepte paralele. Plan de construcție. Linia dreaptă a este perpendiculară pe planul ASM. Să demonstrăm că dreapta a este perpendiculară pe o dreaptă arbitrară m. Definiție. Teoremă despre două drepte perpendiculare pe un plan. Un semn de perpendicularitate a unei drepte și a unui plan. Un semn de perpendicularitate a planurilor. Median. În planul b prin punctul M trasăm o dreaptă c.

„Subiect al stereometriei” - Concepte indefinibile. Puncte. Geometrie. Poliedre regulate. Îți amintești teorema lui Pitagora? Directii. Școala filozofică. Stereometrie. Axiomele stereometriei. Partea invizibilă. Teorema lui Pitagora. Din istorie. Piramidele egiptene. Pitagora. Conceptul științei stereometriei. Reprezentări vizuale. Univers. Astăzi la clasă. Planimetrie. Concepte de bază ale stereometriei. Euclid. Reprezentări spațiale.

„Tipuri de poliedre regulate” - Prepararea acidului sulfuric. Platon. Tetraedru. Icosidodecaedru stelat. Icosaedru stelat. Hexaedru. Grădinile Suspendate ale Babilonului. Mausoleul Halicarnasului. Poliedre în natură. Dodecaedru. Echipă. Poliedre regulate și natura. Poliedre regulate în tabloul filosofic al lumii a lui Platon. Icosaedru trunchiat. Poliedre regulate. Puzzle-uri mecanice. Dodecaedru stelat. Poliedre stelare.

„Determinarea unghiurilor diedrice” - Problemă. Punctul de pe margine poate fi arbitrar. Note despre rezolvarea problemelor. Construcția unui unghi liniar. Găsiți distanța. Rezolvarea problemelor. Semiplanuri formând un unghi diedru. Teorema celor trei perpendiculare. La una dintre fețele unghiului diedric egal cu 30, se află un punct M. Perpendicular, oblic și de proiecție. Să aruncăm o grindă. Punctul K este îndepărtat de fiecare parte. Măsura gradului de unghi. Găsiți unghiul.

„Axiome de bază ale stereometriei” - Piramida lui Keops. Axiomele stereometriei. Axiomă. Subiect de stereometrie. Corolare din axiomele stereometriei. Imagini cu figuri spațiale. Geometrie. Avion. Avioanele au un punct comun. Surse și link-uri. Punctele unei linii drepte se află într-un plan. Corpuri geometrice. Patru triunghiuri echilaterale. Corolare din axiome. Figuri de bază în spațiu. Primele lecții de stereometrie. Un proverb chinezesc antic.

„Paralelepiped” - Proprietăți ale diagonalelor unui paralelipiped dreptunghiular. Paralepiped înclinat. Un segment de linie care leagă două vârfuri. Elementele de bază ale unui paralelipiped. Derivarea formulei pentru volumul unui paralelipiped dreptunghic. Paralelipiped. „Paralepipedul de Salzburg”. O prismă a cărei bază este un paralelogram. Volumul unui paralelipiped. Suprafața unui paralelipiped dreptunghiular. Orice pereche de fețe paralele poate fi luată drept baze.

Slide 2

Obiectivele lecției 1. Arătați, folosind cât mai mult posibil claritate, că coordonatele din spațiu sunt introduse la fel de simplu și natural ca și coordonatele dintr-un plan. 2. Aplicarea formulelor pentru rezolvarea problemelor.

Slide 3

Lecție pe tema Coordonatele carteziene în spațiu

R. Descartes - om de știință francez (1596-1650) Descartes a fost cel mai mare filozof și matematician al timpului său. Filosofia lui se baza pe materialism. Cea mai faimoasă lucrare a lui Descartes este Geometria. Descartes a introdus un sistem de coordonate pe care toată lumea îl folosește astăzi. El a stabilit o corespondență între numere și segmente de dreaptă și astfel a introdus metoda algebrică în geometrie. Aceste descoperiri ale lui Descartes au dat un impuls imens dezvoltării atât a geometriei, cât și a altor ramuri ale matematicii.

Slide 4

La un moment dat, Rene Descartes a spus: „... descendenții îmi vor fi recunoscători nu numai pentru ceea ce am spus, ci și pentru ceea ce nu am spus și, prin urmare, le-a dat ocazia și plăcerea de a-și da seama singuri.” Motivația

Slide 5

3. Care sunt axele de coordonate pe plan? Care sunt axele de coordonate în spațiu? Nume, ce axă nu am studiat? (Introducere în noul cuvânt „aplica”) 4. Ce planuri sunt considerate în planimetrie (în spațiu)? 5. Care este coordonata originii pe plan (în spațiu)? 6. Ce alte componente ar trebui să aibă un sistem de coordonate pe un plan și în spațiu? Desenele sunt folosite pentru conversație

Slide 6

Spuneți-ne cum este introdus sistemul de coordonate carteziene în spațiu și în ce constă? În timpul unei conversații, desenați un desen al proiecției frontal-dimetrice a axelor. Luați în considerare poziția axelor în conformitate cu desenul. Construiți un punct cu coordonatele date A (2; - 3). Construiți un punct cu coordonatele date A (1; 2; 3).

Slide 7

Concepte de bază ale coordonatelor carteziene. . .

Slide 8

formula distantei intre puncte

Slide 9

Coordonatele punctului de mijloc al segmentului.

Descriere:

Subiect " Introducerea coordonatelor carteziene în spațiu. Distanța dintre puncte. Coordonatele punctului de mijloc al segmentului"

Obiectivele lecției:

Educational: Luați în considerare conceptul de sistem de coordonate și coordonatele unui punct din spațiu; deduceți formula distanței în coordonate; deduceți formula pentru coordonatele punctului de mijloc al segmentului.

Educational: Să promoveze dezvoltarea imaginației spațiale a elevilor; contribuie la dezvoltarea rezolvării problemelor și la dezvoltarea gândirii logice a elevilor.

Educational: Promovarea activității cognitive, a simțului responsabilității, a unei culturi a comunicării, a unei culturi a dialogului.

Tip de lecție:Lecție despre învățarea de materiale noi

Structura lecției:

1. Organizarea timpului.
2. Actualizarea cunoștințelor de bază.
3. Învățarea de materiale noi.
4. Actualizarea noilor cunoștințe
5. Rezumatul lecției.

În timpul orelor

1. Când rezolvați o problemă geometrică, fizică, chimică, puteți utiliza diverse sisteme de coordonate: dreptunghiulare, polare, cilindrice, sferice.

La cursul de învăţământ general se studiază sistemul de coordonate dreptunghiulare în plan şi în spaţiu. Altfel, se numește sistemul de coordonate carteziene după filozoful francez Rene Descartes (1596 - 1650), care a introdus pentru prima dată coordonatele în geometrie.

Rene Descartes s-a născut în 1596 în orașul Lae din sudul Franței, într-o familie nobiliară. Tatăl meu a vrut să-l facă pe Rene ofițer. Pentru aceasta, în 1613 l-a trimis pe Rene la Paris. Descartes a trebuit să petreacă mulți ani în armată, participând la campanii militare în Olanda, Germania, Ungaria, Cehia, Italia și la asediul cetății hughenote La Rochalie. Dar Rene era interesat de filozofie, fizică și matematică. La scurt timp după sosirea sa la Paris, l-a întâlnit pe studentul lui Vieta, un matematician proeminent al acelui timp - Mersen, și apoi pe alți matematicieni din Franța. În timp ce era în armată, Descartes și-a dedicat tot timpul liber matematicii. A studiat algebra germană și matematica franceză și greacă.

După capturarea La Rochalie în 1628, Descartes a părăsit armata. El duce o viață solitar pentru a-și pune în aplicare planurile extinse de muncă științifică.

Descartes a fost cel mai mare filozof și matematician al timpului său. Cea mai faimoasă lucrare a lui Descartes este Geometria. Descartes a introdus un sistem de coordonate pe care toată lumea îl folosește astăzi. El a stabilit o corespondență între numere și segmente de dreaptă și astfel a introdus metoda algebrică în geometrie. Aceste descoperiri ale lui Descartes au dat un impuls imens dezvoltării atât a geometriei, cât și a altor ramuri ale matematicii și opticii. A devenit posibilă reprezentarea grafică a dependenței cantităților de planul de coordonate, numerele - ca segmente și efectuarea de operații aritmetice pe segmente și alte mărimi geometrice, precum și diverse funcții. Era o metodă complet nouă, care se distingea prin frumusețe, grație și simplitate.