Faceți cu o parte dreaptă specială. Ecuații diferențiale liniare cu coeficienți constanți
Ecuație diferențială liniară de ordinul întâi este o ecuație a formei
,
unde p și q sunt funcții ale variabilei x.
Ecuație diferențială liniară omogenă de ordinul întâi este o ecuație a formei
Ecuație diferențială liniară neomogenă de ordinul întâi este o ecuație a formei
q termen (X) se numește partea neomogenă a ecuației.
Considerăm o ecuație diferențială liniară neomogenă de ordinul întâi:
(1)
.
Există trei moduri de a rezolva această ecuație:
- metoda factorului integrator;
Rezolvarea unei ecuații diferențiale liniare folosind un factor de integrare
Să luăm în considerare o metodă de rezolvare a unei ecuații diferențiale liniare de ordinul întâi folosind factor integrator.
Să înmulțim ambele părți ale ecuației inițiale (1)
prin factor integrator
:
(2)
În continuare, observăm că derivata integralei este egală cu integrandul:
Conform regulii de diferențiere a unei funcții complexe:
Conform regulii de diferențiere a produselor:
Înlocuiește în (2)
:
Să integrăm:
Înmulțit cu . Primim soluție generală a unei ecuații diferențiale liniare de ordinul întâi:
Un exemplu de rezolvare a unei ecuații diferențiale liniare de ordinul întâi
Rezolvați ecuația
Soluţie
Să împărțim ambele părți ale ecuației inițiale la x:
(i) .
Apoi
;
.
factor de integrare:
Semnul modulului poate fi omis, deoarece factorul de integrare poate fi înmulțit cu orice constantă (inclusiv ± 1).
Să ne înmulțim (i) prin x 3
:
.
Selectăm derivata.
;
.
Integram folosind tabelul de integrale:
.
Împărțiți cu x 3
:
.
Răspuns
Referinte:
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Culegere de probleme de matematică superioară, „Lan”, 2003.
Fundamentele rezolvării ecuațiilor diferențiale liniare neomogene de ordinul doi (LNDE-2) cu coeficienți constanți (PC)
Un LDDE de ordinul 2 cu coeficienți constanți $p$ și $q$ are forma $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, unde $f\left(x \right)$ este o funcție continuă.
În ceea ce privește LNDU 2 cu PC, următoarele două afirmații sunt adevărate.
Să presupunem că o funcție $U$ este o soluție parțială arbitrară a unei ecuații diferențiale neomogene. Să presupunem, de asemenea, că o funcție $Y$ este soluția generală (GS) a ecuației diferențiale liniare omogene corespunzătoare (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Atunci GR a LHDE-2 este egal cu suma soluțiilor private și generale indicate, adică $y=U+Y$.
Dacă partea dreaptă a unui LMDE de ordinul 2 este o sumă de funcții, adică $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x \right)+. ..+f_(r) \left(x\right)$, atunci mai întâi putem găsi PD-urile $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ care corespund la fiecare dintre funcțiile $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$ și după aceea scrie CR LNDU-2 sub forma $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.
Soluție LPDE de ordinul 2 cu PC
Este evident că tipul unuia sau altul PD $U$ al unui LNDU-2 dat depinde de forma specifică a părții sale din dreapta $f\left(x\right)$. Cele mai simple cazuri de căutare a PD LNDU-2 sunt formulate sub forma următoarelor patru reguli.
Regula #1.
Partea dreaptă a LNDU-2 are forma $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, unde $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, adică se numește polinom de gradul $n$. Apoi PD-ul său $U$ este căutat sub forma $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, unde $Q_(n) \left(x\right)$ este un alt polinom de același grad ca $P_(n) \left(x\right)$ și $r$ este numărul de rădăcini ale ecuației caracteristice a LODE-2 corespunzătoare care sunt egale cu zero. Coeficienții polinomului $Q_(n) \left(x\right)$ se găsesc prin metoda coeficienților nedeterminați (UK).
Regula nr. 2.
Partea dreaptă a LNDU-2 are forma $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, unde $P_(n) \left(x\right)$ este un polinom de gradul $n$. Apoi PD-ul său $U$ este căutat sub forma $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, unde $Q_(n ) \ left(x\right)$ este un alt polinom de același grad cu $P_(n) \left(x\right)$, iar $r$ este numărul de rădăcini ale ecuației caracteristice LODE-2 corespunzătoare egal cu $\alpha $. Coeficienții polinomului $Q_(n) \left(x\right)$ se găsesc prin metoda NC.
Regula nr. 3.
Partea dreaptă a LNDU-2 are forma $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $, unde $a$, $b$ și $\beta$ sunt numere cunoscute. Apoi PD-ul său $U$ este căutat sub forma $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) \right )\cdot x^(r) $, unde $A$ și $B$ sunt coeficienți necunoscuți, iar $r$ este numărul de rădăcini ale ecuației caracteristice a LODE-2 corespunzătoare, egal cu $i\cdot \beta $. Coeficienții $A$ și $B$ se găsesc folosind metoda nedistructivă.
Regula nr. 4.
Partea dreaptă a LNDU-2 are forma $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, unde $P_(n) \left(x\right)$ este un polinom de gradul $ n$, iar $P_(m) \left(x\right)$ este un polinom de gradul $m$. Apoi PD-ul său $U$ este căutat sub forma $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, unde $Q_(s) \left(x\right)$ și $ R_(s) \left(x\right)$ sunt polinoame de grad $s$, numărul $s$ este maximul a două numere $n$ și $m$ și $r$ este numărul de rădăcini a ecuației caracteristice LODE-2 corespunzătoare, egală cu $\alpha +i\cdot \beta $. Coeficienții polinoamelor $Q_(s) \left(x\right)$ și $R_(s) \left(x\right)$ se găsesc prin metoda NC.
Metoda NK constă în aplicarea următoarei reguli. Pentru a găsi coeficienții necunoscuți ai polinomului care fac parte din soluția parțială a ecuației diferențiale neomogene LNDU-2, este necesar:
- înlocuiți PD $U$, scris în formă generală, în partea stângă a LNDU-2;
- în partea stângă a LNDU-2, efectuați simplificări și grupați termeni cu aceleași puteri $x$;
- în identitatea rezultată, echivalează coeficienții termenilor cu aceleași puteri $x$ ale părților stângă și dreaptă;
- rezolvați sistemul rezultat de ecuații liniare pentru coeficienți necunoscuți.
Exemplul 1
Sarcină: găsiți SAU LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Găsiți și PD , îndeplinind condițiile inițiale $y=6$ pentru $x=0$ și $y"=1$ pentru $x=0$.
Notăm LOD-2 corespunzător: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.
Ecuația caracteristică: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Rădăcinile ecuației caracteristice sunt: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Aceste rădăcini sunt valide și distincte. Astfel, OR-ul LODE-2 corespunzător are forma: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.
Partea dreaptă a acestui LNDU-2 are forma $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Este necesar să se ia în considerare coeficientul exponentului $\alpha =3$. Acest coeficient nu coincide cu niciuna dintre rădăcinile ecuației caracteristice. Prin urmare, PD-ul acestui LNDU-2 are forma $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.
Vom căuta coeficienții $A$, $B$ folosind metoda NC.
Găsim prima derivată a Republicii Cehe:
$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$
$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$
Găsim a doua derivată a Republicii Cehe:
$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$
$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$
Înlocuim funcțiile $U""$, $U"$ și $U$ în loc de $y""$, $y"$ și $y$ în NLDE-2 $y""-3\cdot y" -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ În plus, deoarece exponentul $e^(3\cdot x)$ este inclus ca factor în toate componentele, atunci acesta poate fi omis. Obținem:
$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$
Efectuăm acțiunile din partea stângă a egalității rezultate:
$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$
Folosim metoda NDT. Obținem un sistem de ecuații liniare cu două necunoscute:
$-18\cdot A=36;$
$3\cdot A-18\cdot B=12.$
Soluția acestui sistem este: $A=-2$, $B=-1$.
PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ pentru problema noastră arată astfel: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.
SAU $y=Y+U$ pentru problema noastră arată astfel: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ stânga(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.
Pentru a căuta un PD care îndeplinește condițiile inițiale date, găsim derivata $y"$ a OP:
$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$
Inlocuim in $y$ si $y"$ conditiile initiale $y=6$ pentru $x=0$ si $y"=1$ pentru $x=0$:
$6=C_(1) +C_(2) -1; $
$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$
Am primit un sistem de ecuații:
$C_(1) +C_(2) =7;$
$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$
Să rezolvăm. Găsim $C_(1) $ folosind formula lui Cramer, iar $C_(2) $ determinăm din prima ecuație:
$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$
Astfel, PD-ul acestei ecuații diferențiale are forma: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \right )\cdot e^(3\cdot x) $.
Acest articol abordează problema rezolvării ecuațiilor diferențiale liniare neomogene de ordinul doi cu coeficienți constanți. Teoria va fi discutată împreună cu exemple de probleme date. Pentru a descifra termeni neclari, este necesar să ne referim la subiectul despre definițiile și conceptele de bază ale teoriei ecuațiilor diferențiale.
Să considerăm o ecuație diferențială liniară (LDE) de ordinul doi cu coeficienți constanți de forma y "" + p · y " + q · y = f (x), unde p și q sunt numere arbitrare și funcția existentă f (x) este continuă pe intervalul de integrare x.
Să trecem la formularea teoremei pentru soluția generală a LNDE.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Teorema soluției generale pentru LDNU
Teorema 1O soluție generală, situată pe intervalul x, a unei ecuații diferențiale neomogene de forma y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) · y = f (x) cu coeficienți de integrare continuă pe intervalul x f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) și o funcție continuă f (x) este egală cu suma soluției generale y 0, care corespunde LOD și unei soluții particulare y ~, unde ecuația neomogenă inițială este y = y 0 + y ~.
Aceasta arată că soluția unei astfel de ecuații de ordinul doi are forma y = y 0 + y ~ . Algoritmul pentru găsirea y 0 este discutat în articolul despre ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul doi cu coeficienți constanți. După care ar trebui să trecem la definiția lui y ~.
Alegerea unei anumite soluții pentru LPDE depinde de tipul funcției disponibile f (x) situată în partea dreaptă a ecuației. Pentru a face acest lucru, este necesar să luăm în considerare separat soluțiile ecuațiilor diferențiale liniare neomogene de ordinul doi cu coeficienți constanți.
Când f (x) este considerat a fi un polinom de gradul al n-lea f (x) = P n (x), rezultă că o anumită soluție a LPDE este găsită folosind o formulă de forma y ~ = Q n (x ) x γ, unde Q n ( x) este un polinom de grad n, r este numărul de rădăcini zero ale ecuației caracteristice. Valoarea y ~ este o soluție particulară y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , apoi coeficienții disponibili care sunt definiți de polinom
Q n (x), găsim folosind metoda coeficienților nedeterminați din egalitatea y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).
Exemplul 1
Calculați folosind teorema lui Cauchy y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .
Soluţie
Cu alte cuvinte, este necesar să trecem la o anumită soluție a unei ecuații diferențiale neomogene liniare de ordinul doi cu coeficienți constanți y "" - 2 y " = x 2 + 1, care va îndeplini condițiile date y (0) = 2, y " (0) = 1 4 .
Soluția generală a unei ecuații liniare neomogene este suma soluției generale, care corespunde ecuației y 0 sau unei soluții particulare a ecuației neomogene y ~, adică y = y 0 + y ~.
În primul rând, vom găsi o soluție generală pentru LNDU și apoi una particulară.
Să trecem la găsirea y 0. Scrierea ecuației caracteristice vă va ajuta să găsiți rădăcinile. Înțelegem asta
k 2 - 2 k = 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0 , k 2 = 2
Am descoperit că rădăcinile sunt diferite și reale. Prin urmare, să scriem
y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x.
Să găsim y ~ . Se poate observa că partea dreaptă a ecuației date este un polinom de gradul doi, atunci una dintre rădăcini este egală cu zero. Din aceasta obținem că o soluție particulară pentru y ~ va fi
y ~ = Q 2 (x) x γ = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x, unde valorile lui A, B, C iau coeficienți nedeterminați.
Să le găsim dintr-o egalitate de forma y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .
Atunci obținem că:
y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1
Echivalând coeficienții cu aceiași exponenți ai lui x, obținem un sistem de expresii liniare - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1. Când rezolvăm prin oricare dintre metode, vom găsi coeficienții și vom scrie: A = - 1 6, B = - 1 4, C = - 3 4 și y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .
Această intrare se numește soluția generală a ecuației diferențiale neomogene liniare inițiale de ordinul doi cu coeficienți constanți.
Pentru a găsi o anumită soluție care îndeplinește condițiile y (0) = 2, y "(0) = 1 4, este necesar să se determine valorile C 1Și C 2, pe baza unei egalități de forma y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.
Primim ca:
y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y " (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x " x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4
Lucrăm cu sistemul de ecuații rezultat de forma C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4, unde C 1 = 3 2, C 2 = 1 2.
Aplicând teorema lui Cauchy, avem asta
y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x
Răspuns: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .
Când funcția f (x) este reprezentată ca produsul unui polinom cu gradul n și un exponent f (x) = P n (x) · e a x , atunci obținem că o anumită soluție a LPDE de ordinul doi va fi o ecuația de forma y ~ = e a x · Q n ( x) · x γ, unde Q n (x) este un polinom de gradul n, iar r este numărul de rădăcini ale ecuației caracteristice egal cu α.
Coeficienții aparținând lui Q n (x) se găsesc prin egalitatea y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
Exemplul 2
Aflați soluția generală a unei ecuații diferențiale de forma y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .
Soluţie
Ecuația generală este y = y 0 + y ~ . Ecuația indicată corespunde LOD y "" - 2 y " = 0. Din exemplul anterior se poate observa că rădăcinile sale sunt egale k 1 = 0şi k 2 = 2 şi y 0 = C 1 + C 2 e 2 x prin ecuaţia caracteristică.
Se poate observa că partea dreaptă a ecuației este x 2 + 1 · e x . De aici LPDE se găsește prin y ~ = e a x · Q n (x) · x γ, unde Q n (x) este un polinom de gradul doi, unde α = 1 și r = 0, deoarece ecuația caracteristică nu au rădăcina egală cu 1. De aici obținem asta
y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C .
A, B, C sunt coeficienți necunoscuți care pot fi găsiți prin egalitatea y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x.
Am inteles
y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C
y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) · e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1
Echivalăm indicatorii cu aceiași coeficienți și obținem un sistem de ecuații liniare. De aici găsim A, B, C:
A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3
Răspuns: este clar că y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 este o soluție particulară a LNDDE și y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - o soluție generală pentru o ecuație diferită neomogenă de ordinul doi.
Când funcția este scrisă ca f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x și A 1Și ÎN 1 sunt numere, atunci o soluție parțială a LPDE este considerată a fi o ecuație de forma y ~ = A cos β x + B sin β x · x γ, unde A și B sunt considerați coeficienți nedeterminați, iar r este numărul de rădăcini conjugate complexe legate de ecuația caracteristică, egale cu ± i β . În acest caz, căutarea coeficienților se realizează folosind egalitatea y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).
Exemplul 3
Aflați soluția generală a unei ecuații diferențiale de forma y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .
Soluţie
Înainte de a scrie ecuația caracteristică, găsim y 0. Apoi
k 2 + 4 = 0 k 2 = - 4 k 1 = 2 i , k 2 = - 2 i
Avem o pereche de rădăcini conjugate complexe. Să transformăm și să obținem:
y 0 = e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)
Rădăcinile ecuației caracteristice sunt considerate a fi perechea conjugată ± 2 i, atunci f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x). Aceasta arată că căutarea pentru y ~ se va face din y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. Necunoscute Vom căuta coeficienții A și B dintr-o egalitate de forma y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .
Să transformăm:
y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)
Atunci este clar că
y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x)
Este necesar să se echivaleze coeficienții sinusurilor și cosinusurilor. Obtinem un sistem de forma:
4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4
Rezultă că y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x.
Răspuns: se consideră soluția generală a LDDE inițială de ordinul doi cu coeficienți constanți
y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x
Când f (x) = e a x · P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x), atunci y ~ = e a x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ. Avem că r este numărul de perechi complexe de rădăcini conjugate legate de ecuația caracteristică, egal cu α ± i β, unde P n (x), Q k (x), L m (x) și Nm(x) sunt polinoame de gradul n, k, m, m, unde m = m a x (n, k). Găsirea coeficienților Lm(x)Și Nm(x) se face pe baza egalităţii y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
Exemplul 4
Aflați soluția generală y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .
Soluţie
După condiție este clar că
α = 3, β = 5, P n (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1
Atunci m = m a x (n, k) = 1. Găsim y 0 scriind mai întâi o ecuație caracteristică de forma:
k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1 , k 2 = 3 + 1 2 = 2
Am descoperit că rădăcinile sunt reale și distincte. Prin urmare y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x. În continuare, este necesar să se caute o soluție generală bazată pe ecuația neomogenă y ~ a formei
y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))
Se știe că A, B, C sunt coeficienți, r = 0, deoarece nu există o pereche de rădăcini conjugate legate de ecuația caracteristică cu α ± i β = 3 ± 5 · i. Găsim acești coeficienți din egalitatea rezultată:
y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))
Găsirea termenilor derivati și similari dă
E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) · x · cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) · cos (5 x)) = = - e 3 x · (38 · x · sin (5 x) + 45 · sin (5 x) ) + + 8 x cos (5 x) - 5 cos (5 x))
După echivalarea coeficienților, obținem un sistem de forma
15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1
Din toate rezultă că
y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))
Răspuns: Acum am obținut o soluție generală pentru ecuația liniară dată:
y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))
Algoritm pentru rezolvarea LDNU
Definiția 1Orice alt tip de funcție f (x) pentru soluție necesită conformitatea cu algoritmul de soluție:
- găsirea unei soluții generale la ecuația liniară omogenă corespunzătoare, unde y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, unde y 1Și y 2 sunt soluții parțiale liniar independente ale LODE, C 1Și C 2 sunt considerate constante arbitrare;
- adoptarea ca soluție generală a LNDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
- determinarea derivatelor unei funcții printr-un sistem de forma C 1 " (x) + y 1 (x) + C 2 " (x) · y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1 " ( x) + C 2 " (x) · y 2 " (x) = f (x) și găsirea funcțiilor C 1 (x)şi C2 (x) prin integrare.
Exemplul 5
Aflați soluția generală pentru y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x.
Soluţie
Se trece la scrierea ecuației caracteristice, având scris anterior y 0, y "" + 36 y = 0. Să scriem și să rezolvăm:
k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = sin (6 x)
Avem că soluția generală a ecuației date se va scrie ca y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) . Este necesar să trecem la definirea funcțiilor derivate C 1 (x)Și C2(x) conform unui sistem cu ecuații:
C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · sin (6 x) = 0 C 1 " (x) · (cos (6 x)) " + C 2 " (x) · (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 "(x) (6 cos (6 x)) = = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x
Trebuie luată o decizie cu privire la C 1" (x)Și C 2" (x) folosind orice metodă. Apoi scriem:
C 1 " (x) = - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 " (x) = 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)
Fiecare dintre ecuații trebuie să fie integrată. Apoi scriem ecuațiile rezultate:
C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4
Rezultă că soluția generală va avea forma:
y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)
Răspuns: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
Unde pȘi q- sunt numere reale arbitrare, iar funcția f(x)- continuu pe intervalul de integrare X.
Să exprimăm o teoremă care arată forma în care este necesar să găsim soluția generală este o ecuație diferențială liniară neomogenă.
Teorema.
Soluție generală asupra intervalului X ecuație diferențială liniară neomogenă: cu cele continue pe intervalul de integrare X coeficienți și funcție continuă f(x) egală cu suma soluției generale y 0 adecvat ecuație diferențială liniară neomogenăși orice soluție particulară a ecuației neomogene inițiale, adică .
Deci, soluția generală LNDU Ordinul 2 cu coeficienți constanți este suma soluției generale a ecuației diferențiale liniare omogene corespunzătoare de ordinul 2 cu coeficienți constanți și o soluție particulară: .
Calcul y 0 Ecuațiile diferențiale liniare omogene de ordinul doi cu coeficienți constanți sunt descrise în articol, acum vom lua în considerare metoda de găsire.
Sunt cateva metode pentru determinarea unei anumite soluții a unei ecuații diferențiale liniare neomogene de ordinul 2 cu coeficienți constanți. Aceste metode sunt definite ținând cont de tipul funcției f(x), care se află în partea dreaptă a ecuației. Să le numim și în articolele următoare vom lua în considerare soluții pentru fiecare LDDE de ordinul doi cu coeficienți constanți:
2. Dacă funcţia f(x) este reprezentată de produsul unui polinom de grad nși expozanți 
, ceea ce înseamnă că o anumită soluție a unei ecuații diferențiale lineare neomogene de ordinul doi se găsește ca 
,
Unde Qn(x) este un polinom n- gradul al-lea,
r- numărul de rădăcini ale ecuației caracteristice care egalează .
Coeficienți polinomi Qn(x) poate fi determinată din egalitate.
3. Dacă funcţia f(x) arată astfel: unde A 1Și ÎN 1 se dovedesc a fi numere, ceea ce înseamnă că o anumită soluție a unei ecuații diferențiale liniare nedefinite este reprezentată ca,
Unde AȘi ÎN sunt coeficienți nedeterminați,
r- este numărul de perechi complexe conjugate de rădăcini ale ecuației caracteristice care sunt egale cu . Coeficienți polinomi AȘi ÎN sunt determinate pe bază de egalitate.
4. Dacă , atunci ,
Unde r este numărul de perechi complexe conjugate de rădăcini ale ecuației caracteristice, care sunt egale cu ,
Pn(x),Qk(x), Lm(x)Și Nm(x) sunt polinoame de grad n, k, mȘi m respectiv, m = max(n, k).
Găsiți coeficienții polinoamelor Lm(x)Și Nm(x) poți folosi egalitatea.
5. Pentru toate celelalte tipuri de funcții f(x) Se utilizează următoarea procedură:
- Primul pas este de a determina soluția generală a ecuației liniare omogene necesare ca y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, Unde y 1Și y 2 sunt soluții parțiale liniar independente ale unei ecuații diferențiale liniare omogene și C 1Și C 2 sunt constante arbitrare;
- Apoi variam constantele arbitrare, adică acceptăm ca soluție generală a ecuației diferențiale neomogene liniare inițiale. y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2;
- iar ultimul pas este determinarea derivatelor funcțiilor C 1 (x)Și C 2 (x) din sistemul de ecuații:
,
si functii C 1 (x)Și C2(x) determinată în urma integrării ulterioare.
Ecuațiile diferențiale liniare omogene de ordinul doi cu coeficienți constanți au forma
unde p și q sunt numere reale. Să ne uităm la exemple despre cum sunt rezolvate ecuații diferențiale omogene de ordinul doi cu coeficienți constanți.
Rezolvarea unei ecuații diferențiale omogene liniare de ordinul doi depinde de rădăcinile ecuației caracteristice. Ecuația caracteristică este ecuația k²+pk+q=0.
1) Dacă rădăcinile ecuației caracteristice sunt numere reale diferite:
atunci soluția generală a unei ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul doi cu coeficienți constanți are forma
2) Dacă rădăcinile ecuației caracteristice sunt numere reale egale
(de exemplu, cu un discriminant egal cu zero), atunci soluția generală a unei ecuații diferențiale omogene de ordinul doi este
3) Dacă rădăcinile ecuației caracteristice sunt numere complexe
(de exemplu, cu un discriminant egal cu un număr negativ), atunci soluția generală a unei ecuații diferențiale omogene de ordinul doi se scrie sub forma
Exemple de rezolvare a ecuațiilor diferențiale liniare omogene de ordinul doi cu coeficienți constanți
Găsiți soluții generale ale ecuațiilor diferențiale omogene de ordinul doi:
Alcătuim ecuația caracteristică: k²-7k+12=0. Discriminantul său este D=b²-4ac=1>0, deci rădăcinile sunt numere reale distincte.
Prin urmare, soluția generală a acestui DE ordinul 2 omogen este
Să compunem și să rezolvăm ecuația caracteristică:
Rădăcinile sunt reale și distincte. Prin urmare, avem o soluție generală pentru această ecuație diferențială omogenă:
În acest caz, ecuația caracteristică
Rădăcinile sunt diferite și valide. Prin urmare, soluția generală a unei ecuații diferențiale omogene de ordinul 2 este aici
Ecuație caracteristică
Deoarece rădăcinile sunt reale și egale, pentru această ecuație diferențială scriem soluția generală ca
Ecuația caracteristică este aici
Deoarece discriminantul este un număr negativ, rădăcinile ecuației caracteristice sunt numere complexe.
Soluția generală a acestei ecuații diferențiale omogene de ordinul doi are forma
Ecuație caracteristică
De aici găsim soluția generală a acestei diferențe. ecuatii:
Exemple pentru autotest.
