Presentación sobre el tema "Los Cinco Sólidos Platónicos". Presentación para el trabajo de investigación "Los sólidos platónicos y de Arquímedes como principales formas de las bolas de kusudama" Métodos y medios

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Títulos de diapositivas:

Poliedros regulares Preparado por la profesora de matemáticas de la escuela n.° 555 “Belogorye” Nadezhda Vasilievna Matveeva

oda - icosaedro Los pitagóricos creían que la materia se compone de cuatro elementos básicos: fuego, tierra, aire y agua. Atribuyeron la existencia de cinco poliedros regulares a la estructura de la materia y del Universo. Según esta opinión, los átomos de los elementos básicos deberían tener la forma de cuerpos diferentes: Universo - dodecaedro Tierra - cubo Fuego - tetraedro Agua - icosaedro Aire - octaedro Platón Pitágoras

Sólidos platónicos, poliedros estrellados y

Sólidos platónicos

Tetraedro Un tetraedro (tetraedro) es un poliedro con cuatro caras triangulares, en cada vértice de las cuales se encuentran 3 caras. Un tetraedro tiene 4 caras, 4 vértices y 6 aristas.

Un cubo o hexaedro regular es un poliedro regular, cada cara del cual es un cuadrado. Un caso especial de paralelepípedo y prisma. Hexaedro 4 caras 8 vértices 12 aristas

Octaedro El octaedro (del griego οκτάεδρον, del griego οκτώ, "ocho" y del griego έδρα - "base") es uno de los cinco poliedros regulares convexos, los llamados sólidos platónicos. 8 caras 6 vértices 12 aristas

Dodecaedro 12 caras 20 vértices 32 aristas

Icosaedro 20 caras 30 vértices 32 aristas

Poliedro Vértices Caras Aristas B+G-R tetraedro 2 octaedro 2 cubo 2 dodecaedro 2 icosaedro 2 4 4 6 6 8 8 6 12 12 12 20 20 30 30 48 Completa la tabla usando la fórmula de Euler

Desarrollo de sólidos platónicos.

Poliedros en la naturaleza Los poliedros regulares son las formas más ventajosas, por lo que están muy extendidas en la naturaleza. Esto lo confirma la forma de algunos cristales. Por ejemplo, los cristales de sal de mesa tienen forma de cubo. En la producción de aluminio se utiliza cuarzo de aluminio y potasio, cuyo monocristal tiene la forma de un octaedro regular. La producción de ácido sulfúrico, hierro y tipos especiales de cemento no puede realizarse sin piritas sulfurosas. Los cristales de esta sustancia química tienen forma de dodecaedro. El sulfato de antimonio y sodio, una sustancia sintetizada por los científicos, se utiliza en diversas reacciones químicas. El cristal de sulfato de sodio y antimonio tiene forma de tetraedro. El último poliedro regular, el icosaedro, tiene la forma de cristales de boro. Diamante (octaedro Scheelita (pirámide Cristal (prisma) Sal de mesa (cubo)

Los poliedros regulares también se encuentran en la naturaleza viva. Por ejemplo, el esqueleto del organismo unicelular Feodaria (Circjgjnia icosahtdra) tiene forma de icosaedro. La mayoría de los feodarios viven en las profundidades del mar y sirven de presa a los peces coralinos. Pero el animal más simple se protege con doce espinas que emergen de los 12 picos del esqueleto. Parece más bien un poliedro estrella. De todos los poliedros con el mismo número de caras, el icosaedro tiene el mayor volumen con la menor superficie. Esta propiedad ayuda al organismo marino a superar la presión de la columna de agua. “Mi casa fue construida según las leyes de la arquitectura más estricta. El propio Euclides podría haber aprendido de la geometría del panal”. Poliedros vivientes

Poliedros en la arquitectura Iglesia de Kazán en Moscú

En Londres se construirá un edificio poliedro, la Biblioteca Nacional de Bielorrusia es un rombicuboctaedro brillante, una casa de verano en forma de poliedro, un centro público y cultural en Singapur.

El faro de Faros constaba de tres torres de mármol situadas sobre una base de enormes bloques de piedra. La primera torre era rectangular y contenía habitaciones en las que vivían trabajadores y soldados. Encima de esta torre había una torre octogonal más pequeña con una rampa en espiral que conducía a la torre superior. La torre superior tenía forma de cilindro, en cuyo interior ardía un fuego que ayudaba a los barcos a llegar sanos y salvos a la bahía. En lo alto de la torre había una estatua de Zeus el Salvador. La altura total del faro era de 117 metros. Grandes Pirámides de Egipto en Giza Las pirámides de Egipto son los mayores monumentos arquitectónicos del Antiguo Egipto, incluida una de las "siete maravillas del mundo": la Pirámide de Keops. Las pirámides son enormes estructuras de piedra con forma de pirámide que fueron utilizadas como tumbas para los faraones del Antiguo Egipto.

Un ejemplo de imagen de poliedros regulares realizada por el artista del siglo XX Salvador Dalí (1904-1989) (Fig. 5). Poliedros en el arte

Prueba "Poliedros regulares" 1. ¿Cuántos tipos de poliedros regulares hay? (5,13,8,muchos) 2. ¿Qué poliedros regulares tienen 15 ejes de simetría y 15 planos de simetría? (icosaedro, tetraedro, dodecaedro, octaedro) 3. ¿Quién matemático estableció la relación entre el número de vértices, aristas y caras de un poliedro convexo? (Platón, Arquímedes, Euler, Kepler) 4. Según la teoría de la conexión entre la estructura de la Tierra y los poliedros regulares, ¿cuyas proyecciones aparecen en la corteza terrestre las figuras inscritas en el globo? (icosaedro, hexaedro, dodecaedro, octaedro) 5. ¿Quién es el autor de la imagen filosófica del mundo, donde los poliedros regulares desempeñan el papel principal? (Euler, Kepler, Arquímedes, Platón) Tarea:

Poliedros estelares

Prueba "Poliedros regulares" 1. ¿Cuántos tipos de poliedros regulares existen? 2. ¿Qué poliedros regulares tienen 15 ejes de simetría y 15 planos de simetría? IcosaedroTetraedroDodecaedroOctaedro 3. ¿Qué matemático estableció la relación entre el número de vértices, aristas y caras de un poliedro convexo? PlatónArquímedesEulerKepler 4. Según la teoría sobre la conexión entre la estructura de la Tierra y los poliedros regulares, ¿cuyas proyecciones aparecen en la corteza terrestre las figuras inscritas en el globo? (icosaedro, hexaedro, dodecaedro, octaedro) 5. ¿Quién es el autor de la imagen filosófica del mundo, donde los poliedros regulares desempeñan el papel principal? EulerKeplerArquímedesPlatón

Diapositiva 1

Poliedros convexos regulares
Sólidos platónicos

Diapositiva 2

Hay un número sorprendentemente pequeño de poliedros regulares, pero este grupo muy modesto logró adentrarse en las profundidades de diversas ciencias. carroll

Diapositiva 3

tetraedro regular
Formado por cuatro triángulos equiláteros. Cada uno de sus vértices es el vértice de tres triángulos. Por tanto, la suma de los ángulos planos en cada vértice es 180º.
Arroz. 1

Diapositiva 4

Formado por ocho triángulos equiláteros. Cada vértice del octaedro es el vértice de cuatro triángulos. Por tanto, la suma de los ángulos planos en cada vértice es 240º.
Octaedro regular
Arroz. 2

Diapositiva 5

Icosaedro regular
Formado por veinte triángulos equiláteros. Cada vértice del icosaedro es el vértice de cinco triángulos. Por tanto, la suma de los ángulos planos en cada vértice es 300º.
Arroz. 3

Diapositiva 6

Formado por seis cuadrados. Cada vértice del cubo es el vértice de tres cuadrados. Por tanto, la suma de los ángulos planos en cada vértice es 270º.
Cubo (hexaedro)
Arroz. 4

Diapositiva 7

Dodecaedro regular
Compuesto por doce pentágonos regulares. Cada vértice del dodecaedro es el vértice de tres pentágonos regulares. Por tanto, la suma de los ángulos planos en cada vértice es 324º.
Arroz. 5

Diapositiva 8

provienen de la Antigua Grecia, indican el número de caras: “edra” - cara; “tetra” – 4; “hexa” – 6; "okta" - 8; “Ikosa” – 20; "dodeka" - 12.
Nombres de poliedros

Diapositiva 9

Los poliedros regulares a veces se denominan sólidos platónicos porque ocupan un lugar destacado en la cosmovisión filosófica desarrollada por el gran pensador de la antigua Grecia, Platón (c. 428 - c. 348 a. C.). Platón creía que el mundo está construido a partir de cuatro "elementos": fuego, tierra, aire y agua, y los átomos de estos "elementos" tienen la forma de cuatro poliedros regulares. El tetraedro personifica el fuego, ya que su vértice apunta hacia arriba, como una llama ardiente. El icosaedro es como el más aerodinámico: el agua. El cubo es la figura más estable: la Tierra. Octaedro - aire. Hoy en día, este sistema se puede comparar con los cuatro estados de la materia: sólido, líquido, gaseoso y en llamas. El quinto poliedro, el dodecaedro, simbolizaba el mundo entero y era considerado el más importante. Este fue uno de los primeros intentos de introducir la idea de sistematización en la ciencia.
Poliedros regulares en la imagen filosófica del mundo de Platón

Diapositiva 10

La "Copa Cósmica" de Kepler
Kepler sugirió que existía una conexión entre los cinco poliedros regulares y los seis planetas del sistema solar descubiertos en ese momento. Según esta suposición, en la esfera de la órbita de Saturno se puede inscribir un cubo, en el que encaja la esfera de la órbita de Júpiter. En ella encaja, a su vez, el tetraedro descrito cerca de la esfera de la órbita de Marte. El dodecaedro encaja en la esfera de la órbita de Marte, en la que encaja la esfera de la órbita de la Tierra. Y se describe cerca del icosaedro, en el que está inscrita la esfera de la órbita de Venus. La esfera de este planeta se describe alrededor del octaedro, en el que encaja la esfera de Mercurio. Este modelo del Sistema Solar (Fig. 6) fue llamado “Copa Cósmica” de Kepler. El científico publicó los resultados de sus cálculos en el libro "El misterio del universo". Creía que el secreto del Universo había sido revelado. Año tras año, el científico perfeccionó sus observaciones, volvió a verificar los datos de sus colegas, pero finalmente encontró la fuerza para abandonar la tentadora hipótesis. Sin embargo, sus huellas son visibles en la tercera ley de Kepler, que habla de cubos a distancias medias del Sol.
Modelo del sistema solar de I. Kepler
Arroz. 6

Diapositiva 11

Las ideas de Platón y Kepler sobre la conexión de los poliedros regulares con la estructura armoniosa del mundo en nuestro tiempo tuvieron continuación en una interesante hipótesis científica, que a principios de los años 80. expresado por los ingenieros moscovitas V. Makarov y V. Morozov. Creen que el núcleo de la Tierra tiene la forma y las propiedades de un cristal en crecimiento, lo que influye en el desarrollo de todos los procesos naturales que ocurren en el planeta. Los rayos de este cristal, o mejor dicho, su campo de fuerza, determinan la estructura icosaedro-dodecaedro de la Tierra (Fig. 7). Se manifiesta en el hecho de que en la corteza terrestre aparecen proyecciones de poliedros regulares inscritos en el globo: el icosaedro y el dodecaedro. Muchos depósitos minerales se extienden a lo largo de una cuadrícula de icosaedro-dodecaedro; Los 62 vértices y puntos medios de las aristas de los poliedros, llamados por los autores nodos, tienen una serie de propiedades específicas que permiten explicar algunos fenómenos incomprensibles. Aquí se encuentran los centros de culturas y civilizaciones antiguas: Perú, el norte de Mongolia, Haití, la cultura Ob y otras. En estos puntos se observan presiones atmosféricas máximas y mínimas y remolinos gigantes del Océano Mundial. Estos nodos contienen el lago Ness y el Triángulo de las Bermudas. Otros estudios de la Tierra pueden determinar la actitud ante esta hipótesis científica, en la que, como puede verse, los poliedros regulares ocupan un lugar importante.
Estructura icosaédrica-dodecaédrica de la Tierra.
Estructura icosaédrica-dodecaédrica de la Tierra.
Arroz. 7

Diapositiva 12

Poliedro regular Número Número Número
Poliedro regular de caras de vértices de aristas
Tetraedro 4 4 6
Cubo 6 8 12
Octaedro 8 6 12
Dodecaedro 12 20 30
Icosaedro 20 12 30
Cuadro No. 1

Diapositiva 13

Número de poliedro regular Número
Poliedro regular de caras y vértices (G + V) de aristas (P)
Tetraedro 4 + 4 = 8 6
Cubo 6 + 8 = 14 12
Octaedro 8 + 6 = 14 12
Dodecaedro 12 + 20 = 32 30
Icosaedro 20 + 12 = 32 30
Cuadro No. 2

Diapositiva 14

La suma del número de caras y vértices de cualquier poliedro es igual al número de aristas aumentado en 2. Г + В = Р + 2
la fórmula de euler
El número de caras más el número de vértices menos el número de aristas en cualquier poliedro es 2. Г + В  Р = 2

Diapositiva 15

Salvador Dalí
"La última cena"

Diapositiva 16

Poliedros regulares y naturaleza.
Los poliedros regulares se encuentran en la naturaleza viva. Por ejemplo, el esqueleto del organismo unicelular Feodaria (Circjgjnia icosahtdra) tiene forma de icosaedro (Fig. 8). ¿Qué causó esta geometrización natural de feodaria? Aparentemente, debido a que todos los poliedros tienen el mismo número de caras, es el icosaedro el que tiene el mayor volumen con la menor superficie. Esta propiedad ayuda al organismo marino a superar la presión de la columna de agua. Los poliedros regulares son las figuras más "rentables". Y la naturaleza hace un amplio uso de esto. Esto lo confirma la forma de algunos cristales. Tomemos como ejemplo la sal de mesa, de la que no podemos prescindir. Se sabe que es soluble en agua y sirve como conductor de corriente eléctrica. Y los cristales de sal de mesa (NaCl) tienen forma de cubo. En la producción de aluminio se utiliza cuarzo de aluminio y potasio (K  12H2O), cuyo monocristal tiene la forma de un octaedro regular. La producción de ácido sulfúrico, hierro y tipos especiales de cemento no está completa sin pirita-sulfuro (FeS). Los cristales de esta sustancia química tienen forma de dodecaedro. En diversas reacciones químicas se utiliza sulfato de sodio y antimonio (Na5(SbO4(SO4))), una sustancia sintetizada por los científicos. El cristal de sulfato de sodio y antimonio tiene la forma de un tetraedro. El último poliedro regular, el icosaedro, transmite la forma de cristales de boro (B). Hubo un tiempo en que el boro se utilizaba para crear semiconductores de primera generación.
Feodaria (Circjgjnia icosahtdra)
Arroz. 8

Diapositiva 17

Determine el número de caras, vértices y aristas del poliedro que se muestra en la Figura 9. Compruebe la viabilidad de la fórmula de Euler para este poliedro.
Tarea
Arroz. 9

Presentación sobre el tema "Los sólidos platónicos: la clave para la estructura de la Tierra y el Universo" en álgebra en formato PowerPoint. Esta presentación para escolares explica qué es el sólido platónico y su papel en el entretenimiento matemático. Autor de la presentación: matemáticas profesora Artamonova L. EN.

Fragmentos de la presentación

La tierra, si la miras desde arriba, parece una bola cosida con doce piezas de cuero... (c) Platón, "Fedón"

Estudia uno. Sartén esférica

• La idea de una Tierra dodecaédrica fue retomada en 1829 por el geólogo francés, miembro de la Academia de París, Elie de Beaumont. Planteó la hipótesis de que el planeta inicialmente líquido, cuando se solidificó, tomó la forma de un dodecaedro. De Beaumont construyó una red formada por los bordes del dodecaedro y su icosaedro dual, y luego comenzó a moverla por todo el mundo. Así que buscó una posición que reflejara mejor la topografía de nuestro planeta. Y encontró una opción cuando las caras del icosaedro coincidían más o menos con las zonas más estables de la corteza terrestre, y sus treinta aristas coincidían con cadenas montañosas y lugares donde se producían sus fracturas y arrugas.
• Cien años después, la idea fue recogida por nuestro compatriota S.I. Kislitsyn, quien propuso combinar los dos vértices opuestos del icosaedro con los polos de la Tierra, mientras que los mayores depósitos de diamantes parecían estar en algunos de sus otros vértices. Y en el último tercio del siglo pasado, el modelo de Beaumont con la orientación de Kislitsyn comenzó a ser desarrollado en nuestro país por N.F. Goncharov, V.A. Makarov y V.S. Morozov.
• Goncharov, Makarov y Morozov creían que dentro de la Tierra surgía un núcleo sólido en forma de dodecaedro, que dirigía los flujos de materia hacia la superficie; Como resultado, se formó una especie de estructura energética del planeta, repitiendo la estructura del núcleo. Sin embargo, según nuestro famoso cristalógrafo y mineralogista I. I. Shafranovsky, el dodecaedro y el icosaedro con sus ejes de simetría de quinto orden no tienen simetría cristalográfica y, por lo tanto, la suposición sobre la formación de tales cuerpos en el núcleo del planeta es incorrecta.
• La teselación de una esfera únicamente con hexágonos es imposible, ya que contradice el teorema de Euler, que relaciona el número de vértices, aristas y caras de cualquier poliedro. Ivanyuk y Goryainov creen que la esfera se cubrirá con una cuadrícula de pentágonos, ya que son los más cercanos a los hexágonos, pero se pueden utilizar para pavimentar la superficie de la esfera. Entonces, ¡obtienes un dodecaedro! La misma conclusión seguirá siendo válida si la capa de líquido sobre la superficie de la esfera se vuelve más gruesa y el radio de la esfera se hace más pequeño, de modo que el líquido llena casi todo el volumen de la bola.
• En relación con la Tierra, esto significa que si durante miles de millones de años fue un núcleo caliente rodeado por un líquido viscoso, entonces podrían surgir en él células convectivas pentagonales (cuyo lado es proporcional al radio del planeta). Y luego los flujos de materia en ellos, enfriándose y endureciéndose, formarían ese marco dodecaédrico del que hablaron De Beaumont y sus seguidores.

Estudio dos. musica congelada

• A primera vista, la distribución de los continentes y océanos parece mal ordenada, pero, como se ha observado desde hace mucho tiempo, todavía existen algunos patrones.
• En primer lugar, los dos hemisferios separados por el ecuador son muy diferentes: el hemisferio norte está dominado por la tierra y el hemisferio sur está dominado por el mar.
• En segundo lugar, las formas de los continentes y océanos son casi triangulares, con triángulos continentales con sus bases mirando al norte y sus extremos ahusados ​​hacia el sur; oceánico - por el contrario.
• En tercer lugar, los diámetros dibujados a través de la tierra, en la gran mayoría de los casos, pasarán al otro lado del globo a través del agua, es decir, se observa la antípoda de continentes y océanos.
• Este último hecho significa que la superficie de la Tierra no tiene un centro de simetría, pero sí un centro de antisimetría o simetría de dos colores, cuya idea fue desarrollada por nuestro mayor cristalógrafo, el académico A.V. Shubnikov. La cuestión es que los elementos inicialmente iguales y centralmente simétricos de una determinada figura se dividen en dos clases, que convencionalmente se marcan con dos colores. Y luego, la operación de reflexión desde el centro transforma un elemento de un color en un elemento de otro, en un antielemento.
• Shafranovsky señaló que las propiedades mencionadas de la topografía de la Tierra pueden ser, en una primera aproximación, cubiertas por el modelo geométrico propuesto en los años 50 por el destacado geólogo soviético B.L. Lichkov. Se basa en un octaedro, cuyas ocho caras están pintadas en dos colores, de modo que las caras adyacentes son de colores diferentes. Está claro que la coloración del “ajedrez” corresponde a la antisimetría: frente a cada cara hay una cara de diferente color.
• Dejemos que los bordes blancos representen los continentes y los azules los océanos. Pongamos el octaedro en la cara blanca, que será la Antártida. Luego, el borde azul superior representará el Océano Ártico, y los tres bordes blancos triangulares que lo rodean se convertirán en los triángulos que son visibles en el mundo: América del Norte y del Sur, Europa más África y Asia. Al girar el octaedro, obtenemos una imagen diferente: alrededor del borde blanco (Antártida) hay tres océanos azules.

Conclusión

• En ambos estudios, las ideas básicas son similares: algún proceso físico rompe la simetría continua de la esfera y como resultado surge una simetría discreta de uno de los sólidos platónicos. Es posible que en un momento en que la Tierra "estaba informe y vacía", tales efectos determinaran las características principales de su superficie. Y como en diferentes eras geológicas también intervinieron muchos otros factores, el panorama final resultó mucho más complejo y confuso.
• Al parecer, los poliedros regulares desempeñarán un papel cada vez más importante en diversos campos del conocimiento. Y aquí no se trata sólo de ludi mathematici (juegos matemáticos): estas figuras están internamente conectadas con fenómenos naturales. Como dijo Platón, de todos los cuerpos visibles son los más maravillosos y cada uno de ellos es hermoso a su manera. Probablemente éste sea el caso cuando la belleza y la verdad son una.

18.03.2018 04:55

La presentación se realizó para el trabajo de investigación, que se presentó en el Complejo Científico y de Producción Regional “Un Paso hacia la Ciencia” y en el Centro de Cultura Juvenil de toda Rusia “Siberia”. La parte principal del trabajo examina los conceptos de poliedros regulares, sus tipos y desarrollos, las bolas de kusudama y sus tipos, y realiza un estudio de las bolas de kusudama. Los poliedros regulares se fabrican con escariadores y las bolas de kusudama se fabrican con origami modular. Se comprueba la implementación de la fórmula de Euler. Se hace una comparación de poliedros regulares con bolas de kusudama. Se encontraron similitudes y diferencias. El trabajo tiene un gran valor práctico y teórico, se puede utilizar en matemáticas, lecciones de tecnología y actividades extracurriculares. Los métodos utilizados son modelado, diseño, método de búsqueda, análisis y comparación de datos. El trabajo recibió un diploma de tercer grado en la Conferencia Científica y Práctica de toda Rusia. Publicado en el sitio de investigación "Trainer"

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"Presentación del trabajo de investigación "Los sólidos platónicos y de Arquímedes como principales formas de las bolas de kusudama""

“Juventud, ciencia, cultura - Siberia”

MBOU "Escuela secundaria de Duldurga"

Conferencia científica y práctica de toda Rusia

Distrito de Duldurginsky 7-a clase Supervisor: Kibireva Irina Valerievna profesora de matemáticas de la categoría de calificación más alta

Trabajador honorario de educación general de la Federación de Rusia.

MBOU "Escuela secundaria de Duldurga"

Los sólidos platónicos y de Arquímedes como formas principales de las bolas de kusudama.

Pitágoras (570 - 497 aC) Platón (nombre real Aristócles,

427-347 aC)

Euclides (365-300 a. C.)

Leonhard Euler (1707-1783)

En la pintura del artista. Salvador Dalí "La última cena" Cristo y sus discípulos están representados sobre el fondo de un enorme dodecaedro transparente.

Según los antiguos, el UNIVERSO tenía la forma de un dodecaedro, es decir. Creían que vivíamos dentro de una bóveda con la forma de la superficie de un dodecaedro regular.

Poliedros en la arquitectura de Moscú

Catedral de la Inmaculada Concepción

Virgen María

en Malaya Gruzinskaya

Museo Historico

Hallazgos geológicos

Granates: Andradita y Grossularia (encontrado en la cuenca del río Akhtaranda, Yakutia)

Objetivo del trabajo:

Descubre qué poliedros pertenecen a los sólidos platónicos y de Arquímedes y cómo se relacionan con las bolas de kusudama. ¿Las bolas de kusudama realmente tienen forma?

Objeto de estudio: Sólidos platónicos y de Arquímedes, bolas de kusudama.

Tema de estudio: origametria

Hipótesis:

Si estudias los poliedros regulares, semirregulares y las bolas de kusudama, podrás ver similitudes en ellas y dar una descripción de las bolas de kusudama desde un punto de vista geométrico.

Investigar objetivos:

• Recopile y estudie literatura sobre los temas "Sólidos platónicos y de Arquímedes", "Bolas de Kusudama".
• Usando desarrollos para hacer poliedros regulares.
• 3.Haz bolas de kusudama
• 4. Comprobar el cumplimiento de la fórmula de Euler para poliedros regulares y semirregulares.
• 4. Encuentra la relación entre poliedros y bolas de kusudama.

Métodos y medios:

• modelado
• diseño
• método de búsqueda
• análisis y comparación de datos

Etapas de la investigación:

• Estudiar la literatura sobre poliedros regulares (sólidos platónicos), poliedros semirregulares (sólidos de Arquímedes), bolas de kusudama.
• Modelado de poliedros y bolas de kusudama.
• Comparando y contrastando bolas de kusudama con poliedros regulares.
• Descripción de los datos recibidos.

Poliedro

• Un poliedro es una superficie cerrada formada por polígonos.

• Se llama convexo , si está todo situado a un lado del plano de cada una de sus caras.

Ejecución de la fórmula de Euler para poliedros regulares.

tetraedro

Picos

costillas

Bordes

la fórmula de euler

Dodecaedro

icosaedro

Formas de estrellas

La estelación del octaedro es una estrella octogonal.

Pequeño dodecaedro estrellado

bolas de kusudama

• Los Kusudama son antiguos productos decorativos tradicionales japoneses que utilizan la técnica del origami.
• Kusudama es un tipo de origami; manualidad de papel que se asemeja a una bola de flores.

Cubo

Analógico de un cubo

Giroscopio

Las caras son triángulos que no son explícitamente visibles. Si pones un triángulo cada tres vértices, obtienes un octaedro. Cuál:

El número total de vértices es 8;

número total de vértices – 6,

número total de costillas – 12,

Tiene forma de octaedro.

número total de caras – 6.

número total de costillas – 12,

el número total de caras es 8.

Icosaedro triangular

Tiene forma de icosaedro.

bola de flores

Es una de las formas estrelladas del icosaedro: el pequeño icosaedro triámbico.

Tiene forma de dodecaedro, en el que:

Tiene forma de icosaedro.

Tiene forma de dodecaedro.

número total de vértices – 20,

Para cual:

número total de vértices – 32;

número total de costillas – 30,

número total de costillas – 60,

el número total de caras es 12.

el número total de caras es 20.

Tiene forma de dodecaedro, en el que:

número total de vértices – 20,

Tiene forma de dodecaedro.

Si doblas las orejas del kusudama, puedes ver claramente que tiene forma de cubo. Por tanto, aparte de las orejas, podemos decir que tiene:

número total de costillas – 30,

número total de vértices – 8;

Con forma de cubo

el número total de caras es 12.

número total de costillas – 12,

número total de caras – 6.

pelota flexible

Tiene forma de icosaedro, en el que:

número total de vértices – 12,

Tiene forma de icosaedro.

número total de costillas – 30,

el número total de caras es 20.

Cubo sin esquinas

Kusudama clásico

Tiene forma de cubo truncado.

Tiene forma de cubo truncado. Cuál:

número total de vértices – 24,

número total de costillas – 36,

número total de vértices – 24,

Tiene forma de cubo truncado.

el número total de caras es 14.

número total de costillas – 36,

el número total de caras es 14.

Caras: 8 – triángulos (no visibles),

6 - octágonos

6 - octágonos

Tiene forma de cubo truncado.

rosa kusudama

Tiene forma de cubo truncado.

Tiene forma de cubo truncado. Cuál:

Cuál:

número total de vértices – 24,

número total de vértices – 24,

Tiene forma de cubo truncado.

número total de costillas – 36,

número total de costillas – 36,

el número total de caras es 14.

el número total de caras es 14.

Caras: 8 – triángulos (no visibles),

6 – octágonos (si doblas las orejas

6 - octágonos

Octaedro estrella

Es la intersección de dos tetraedros. Él tiene:

Cestas de estrellas

Tiene la forma de un octaedro estrellado.

Este es un análogo del gran dodecaedro estrellado. Él tiene:

número total de vértices – 14,

número total de costillas – 36,

número total de vértices – 32,

Con forma de gran dodecaedro estrellado.

el número total de caras es 24.

número total de costillas – 90,

el número total de caras es 60.

Rizador Kusudama

Es difícil determinar el número total de vértices, aristas y caras de este kusudama. Pero definitivamente podemos decir que tiene forma de estrella. Esta puede ser la decimoséptima estelación del icosaedro.

Ejecución de la fórmula de Euler para sólidos de Arquímedes y bolas de kusudama.

Nombre del poliedro

tetraedro truncado

Picos

costillas

Octaedro truncado

cubo truncado

Bordes

la fórmula de euler

Icosaedro truncado

Dodecaedro truncado

24 + 14 = 36 + 2

cuboctaedro

24 + 14 = 36 + 2

icosidodecaedro

60 + 32 = 90 + 2

rombicuboctaedro

60 + 32 = 90 + 2

rombicosidodecaedro

Cuboctaedro truncado rómbico

12 + 14 = 24 + 2

30 + 32 = 60 + 2

Icosidodecaedro truncado rómbico

24 + 26 = 48 + 2

cubo desaire

dodecaedro chato

60 + 62 = 120 + 2

48 + 26 = 72 + 2

120 + 62 = 180 + 2

24 + 38 = 60 + 2

60 + 92 = 150 + 2

Conclusión:

• Los Kusudama son similares a los poliedros en muchos aspectos. En su mayoría constan de una gran cantidad de piezas y tienen una forma geométrica clara. Plegar las piezas no suele ser difícil, pero montar el producto completo a veces requiere algo de esfuerzo.
• La base del kusudama, por regla general, es algún poliedro regular (generalmente un cubo, un dodecaedro o un icosaedro). Con algo menos de frecuencia, se toma como base un poliedro semirregular.
• Los modelos de bolas de kusudama en forma de poliedros causan una impresión estética en una persona y pueden usarse como adornos decorativos.
• Objetos tan asombrosos y perfectos del mundo moderno como el kusudama han sido poco estudiados.

CONCEPTOS BÁSICOS Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado en todos sus lados por polígonos planos llamados caras. Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado en todos sus lados por polígonos planos llamados caras. Los lados de las caras son las aristas del poliedro y los extremos de las aristas son los vértices del poliedro. Los lados de las caras son las aristas del poliedro y los extremos de las aristas son los vértices del poliedro. Según el número de caras se distinguen tetraedros, pentaedros, etc.

CONCEPTOS BÁSICOS Un poliedro se llama convexo si está situado íntegramente en un lado del plano, cada una de sus caras. Un poliedro se llama convexo si se encuentra íntegramente situado en un lado del plano, cada una de sus caras. Un poliedro convexo se llama regular si todas sus caras son polígonos regulares idénticos, el mismo número de aristas convergen en cada vértice y las caras adyacentes forman ángulos iguales. Un poliedro convexo se llama regular si todas sus caras son polígonos regulares idénticos, el mismo número de aristas convergen en cada vértice y las caras adyacentes forman ángulos iguales. Todos los poliedros regulares tienen un número diferente de caras y llevan el nombre de este número. Todos los poliedros regulares tienen un número diferente de caras y llevan el nombre de este número. Hay exactamente cinco poliedros regulares, ni más ni menos. Hay exactamente cinco poliedros regulares, ni más ni menos.

CONCEPTOS BÁSICOS El tetraedro (del griego tetra - cuatro y hedra - cara) está formado por 4 triángulos regulares, 3 aristas se unen en cada vértice. El tetraedro (del griego tetra - cuatro y hedra - cara) está formado por 4 triángulos regulares, con 3 aristas que se unen en cada vértice.

CONCEPTOS BÁSICOS Un hexaedro (del griego hexa - seis y hedra - cara) tiene 6 caras cuadradas, 3 aristas convergen en cada vértice. Un hexaedro (del griego hexa - seis y hedra - cara) tiene 6 caras cuadradas, 3 aristas convergen en cada vértice. El hexaedro es más conocido como cubo (del latín, cubus; del griego, kubos. El hexaedro es mejor conocido como cubo (del latín, cubus; del griego, kubos).

CONCEPTOS BÁSICOS El octaedro (del griego okto - ocho y hedra - cara) tiene 8 caras (triangular), 4 aristas convergen en cada vértice. El octaedro (del griego okto - ocho y hedra - cara) tiene 8 caras (triangular), 4 aristas convergen en cada vértice.

CONCEPTOS BÁSICOS El dodecaedro (del griego dodeka - doce y hedra - cara) tiene 12 caras (pentagonal), 3 aristas convergen en cada vértice. El dodecaedro (del griego dodeka - doce y hedra - cara) tiene 12 caras (pentagonal), 3 aristas convergen en cada vértice.

CONCEPTOS BÁSICOS El icosaedro (del griego eikosi - veinte y hedra - cara) tiene 20 caras (triangular), 5 aristas convergen en cada vértice. El icosaedro (del griego eikosi - veinte y hedra - cara) tiene 20 caras (triangular), 5 aristas convergen en cada vértice.

ANTECEDENTES HISTÓRICOS El antiguo filósofo griego Platón (428 o 427 a. C. 348 o 347), quien mantuvo conversaciones con sus alumnos en el bosque de Academus (Academus es un héroe mitológico griego antiguo que, según la leyenda, fue enterrado en un bosque sagrado cerca Atenas, de donde viene el nombre, academia), proclamó uno de los lemas de su escuela: “¡Aquellos que no saben geometría no son admitidos!” El antiguo filósofo griego Platón (428 o 427 a. C. 348 o 347), que mantuvo conversaciones con sus alumnos en el bosque de Academus (Academus es un antiguo héroe mitológico griego que, según la leyenda, fue enterrado en un bosque sagrado cerca de Atenas , de donde surgió el nombre (academia), proclamó uno de los lemas de su escuela: “¡Aquellos que no saben geometría no son admitidos!”

INFORMACIÓN HISTÓRICA En el diálogo, Timeo Platón asoció los poliedros regulares con los cuatro elementos principales. El tetraedro simbolizaba el fuego, porque. su parte superior está dirigida hacia arriba; icosaedro - agua, porque es el más “simplificado”; cubo - tierra, como el más "estable"; octaedro - aire, como el más "aireado". El quinto poliedro, el dodecaedro, encarnaba "todo lo que existe", simbolizaba el universo entero y era considerado el principal. Aunque los pitagóricos conocían los poliedros regulares varios siglos antes que Platón, se les llama sólidos platónicos. En el diálogo, Timeo Platón asoció los poliedros regulares con los cuatro elementos principales. El tetraedro simbolizaba el fuego, porque. su parte superior está dirigida hacia arriba; icosaedro - agua, porque es el más “simplificado”; cubo - tierra, como el más "estable"; octaedro - aire, como el más "aireado". El quinto poliedro, el dodecaedro, encarnaba "todo lo que existe", simbolizaba el universo entero y era considerado el principal. Aunque los pitagóricos conocían los poliedros regulares varios siglos antes que Platón, se les llama sólidos platónicos. Los poliedros regulares ocuparon un lugar importante en el sistema de estructura armoniosa del mundo de I. Kepler. Los poliedros regulares ocuparon un lugar importante en el sistema de estructura armoniosa del mundo de I. Kepler.

NOTA HISTÓRICA A partir de poliedros regulares (sólidos platónicos) se pueden obtener los llamados poliedros semirregulares o sólidos de Arquímedes. Sus caras también son polígonos regulares, pero opuestos. A partir de poliedros regulares, los sólidos platónicos, podemos obtener los llamados poliedros semirregulares o sólidos de Arquímedes. Sus caras también son polígonos regulares, pero opuestos.

Fórmula de Euler Poliedro Vértices Caras Aristas B+G-R Tetraedro4462 Hexaedro86122 Octaedro68122 Dodecaedro Icosaedro Contemos el número de vértices (V), caras (D), aristas (P) y escribamos los resultados en la tabla. Contemos el número de vértices (B), caras (D), aristas (P) y escribamos los resultados en la tabla. En la última columna para todos los poliedros hay el mismo resultado: B+G-P=2. En la última columna para todos los poliedros hay el mismo resultado: B+G-P=2. ¡La fórmula es válida no sólo para los poliedros regulares, sino para todos los poliedros! ¡La fórmula es válida no sólo para los poliedros regulares, sino para todos los poliedros!

Ley de Reciprocidad Los poliedros regulares tienen una característica interesante: una peculiar ley de reciprocidad. Los centros de las caras del cubo son los vértices del octaedro y los centros de las caras del octaedro son los vértices del cubo. Los poliedros regulares tienen una característica interesante: una especie de ley de reciprocidad. Los centros de las caras del cubo son los vértices del octaedro y los centros de las caras del octaedro son los vértices del cubo.

Ley de reciprocidad El tetraedro se distingue de estos 4 poliedros: si consideramos los centros de sus caras como los vértices de un nuevo poliedro, obtenemos nuevamente un tetraedro. El tetraedro se distingue de estos 4 poliedros: si consideramos los centros de sus caras como los vértices de un nuevo poliedro, obtenemos nuevamente un tetraedro. El tetraedro es dual consigo mismo. El tetraedro es dual consigo mismo.

Ley de reciprocidad Cubo y octaedro, dodecaedro e icosaedro son dos pares de poliedros duales. Tienen el mismo número de aristas (12 para el cubo y el octaedro; 30 para el dodecaedro y el icosaedro), y el número de vértices y caras está reordenado. El cubo y el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro son dos pares de poliedros duales. Tienen el mismo número de aristas (12 para el cubo y el octaedro; 30 para el dodecaedro y el icosaedro), y el número de vértices y caras está reordenado.

Poliedros regulares que nos rodean La teoría de los polígonos y poliedros regulares es una de las ramas más fascinantes y vibrantes de las matemáticas. Pero los patrones descubiertos por los matemáticos están sorprendentemente relacionados con la simetría de la naturaleza viva e inanimada: con las formas de varios cristales, la forma exacta de los virus, con las teorías modernas de la física, la biología y otros campos del conocimiento. La teoría de los polígonos y poliedros regulares es una de las ramas más fascinantes y vibrantes de las matemáticas. Pero los patrones descubiertos por los matemáticos están sorprendentemente relacionados con la simetría de la naturaleza viva e inanimada: con las formas de varios cristales, la forma exacta de los virus, con las teorías modernas de la física, la biología y otros campos del conocimiento.

Poliedros regulares que nos rodean Por ejemplo: los organismos unicelulares de Feodaria tienen la forma de un icosaedro; los organismos unicelulares de Feodaria tienen la forma de un icosaedro; el cubo transmite la forma de cristales de sal de mesa; el cubo transmite la forma de una mesa cristales de sal; un monocristal de alumbre de aluminio y potasio tiene la forma de un octaedro; un monocristal de alumbre de aluminio y potasio tiene la forma de un octaedro; un cristal de pirita de azufre FeS tiene la forma de un dodecaedro. Un cristal de pirita de azufre FeS tiene la forma de un dodecaedro sulfato de antimonio y sodio – tetraedro sulfato de antimonio y sodio – tetraedro boro – icosaedro boro – icosaedro

Bibliografía 1. Dorofeev G.V., Peterson L.G. Matemáticas. 6to grado. Parte 3 – M.: Balass, Dorofeev G.V., Peterson L.G. Matemáticas. 6to grado. Parte 3 – M.: Balass, Sheinina O.S., Solovyova G.M. Matemáticas. Actividades del club escolar. 5-6 grados. Manual para profesores. – M.: Editorial NC ENAS, Sheinina O.S., Solovyova G.M. Matemáticas. Actividades del club escolar. 5-6 grados. Manual para profesores. – M.: Editorial NC ENAS, Sharygin I.F., Erganzhieva L.N. Geometría visual. Libro de texto para los grados V – VI. – M.: Miros, Sharygin I.F., Erganzhieva L.N. Geometría visual. Libro de texto para los grados V – VI. – M.: Miros, Enciclopedia para niños. T. 11. Matemáticas. – M.: Avanta+, Enciclopedia para niños. T. 11. Matemáticas. – M.: Avanta+, Enciclopedia para niños. Exploro el mundo Matemáticas. – M.: Editorial AST, Enciclopedia para niños. Exploro el mundo Matemáticas. – M.: Editorial AST, 1999