Domov » Ktoré si vybrať » Jednoduchý spôsob násobenia trojciferných čísel. Násobenie metódou „malého hradu“.

Jednoduchý spôsob násobenia trojciferných čísel. Násobenie metódou „malého hradu“.

Späť dopredu

Pozor! Ukážky snímok slúžia len na informačné účely a nemusia predstavovať všetky funkcie prezentácie. Ak vás táto práca zaujala, stiahnite si plnú verziu.

"Počítanie a výpočty sú základom poriadku v hlave."
Pestalozzi

Cieľ:

Naučte sa staré techniky násobenia.
Rozšírte svoje znalosti o rôznych technikách násobenia.
Naučte sa vykonávať operácie s prirodzenými číslami pomocou starých metód násobenia.

Starý spôsob násobenia 9 na prstoch
Násobenie Ferrolovou metódou.
Japonský spôsob násobenia.
Taliansky spôsob násobenia („mriežka“)
Ruská metóda násobenia.
Indický spôsob množenia.

Priebeh lekcie

Význam použitia techník rýchleho počítania.

IN moderný život Každý človek musí často vykonávať obrovské množstvo výpočtov a výpočtov. Cieľom mojej práce je preto ukázať ľahké, rýchle a presné metódy počítania, ktoré vám nielen pomôžu pri akýchkoľvek výpočtoch, ale spôsobia nemalé prekvapenie medzi známymi a kamarátmi, pretože voľný výkon počítania môže do značnej miery naznačovať mimoriadna povaha vášho intelektu. Základným prvkom výpočtovej kultúry sú uvedomelé a robustné počítačové zručnosti. Problém rozvoja počítačovej kultúry je relevantný pre celý školský kurz matematiky, počnúc základnými ročníkmi, a vyžaduje si nielen zvládnutie počítačových zručností, ale aj ich využitie v rôznych situáciách. Vlastníctvo počítačových zručností a schopností má veľký význam na zvládnutie študovaného materiálu vám umožňuje pestovať cenné pracovné vlastnosti: zodpovedný prístup k práci, schopnosť odhaliť a napraviť chyby vo vašej práci, starostlivé vykonávanie úlohy, tvorivý prístup k práci. Úroveň výpočtových schopností a transformácií výrazov má však v poslednom čase výrazne klesajúcu tendenciu, študenti robia veľa chýb pri počítaní, čoraz častejšie používajú kalkulačku, neuvažujú racionálne, čo negatívne ovplyvňuje kvalitu vzdelávania a úroveň matematických zručností. znalosti študentov vo všeobecnosti. Jednou zo zložiek výpočtovej kultúry je slovné počítanie, čo má veľký význam. Schopnosť rýchlo a správne robiť jednoduché výpočty „v hlave“ je potrebná pre každého človeka.

Staroveké spôsoby násobenia čísel.

1. Starý spôsob násobenia 9 na prstoch

Je to jednoduché. Ak chcete vynásobiť ľubovoľné číslo od 1 do 9 číslom 9, pozrite sa na svoje ruky. Zložte prst, ktorý zodpovedá násobnému číslu (napríklad 9 x 3 - zložte tretí prst), spočítajte prsty pred zloženým prstom (v prípade 9 x 3 sú to 2), potom počítajte po zložení prst (v našom prípade 7). Odpoveď je 27.

2. Násobenie Ferrolovou metódou.

Na vynásobenie jednotiek súčinu prenásobenia sa jednotky faktorov vynásobia, aby sa získali desiatky, desiatky jedného sa vynásobia jednotkami druhého a naopak a výsledky sa sčítajú, aby sa získali stovky; znásobené. Pomocou Ferrolovej metódy je jednoduché slovne vynásobiť dvojciferné čísla od 10 do 20.

Napríklad: 12x14=168

a) 2x4=8, napíšte 8

b) 1x4+2x1=6, napíšte 6

c) 1x1=1, napíšte 1.

3. Japonský spôsob násobenia

Táto technika pripomína násobenie stĺpcom, no trvá pomerne dlho.

Pomocou techniky. Povedzme, že potrebujeme vynásobiť číslo 13 číslom 24. Nakreslíme nasledujúci obrázok:

Tento výkres pozostáva z 10 riadkov (počet môže byť ľubovoľný)

Tieto riadky predstavujú číslo 24 (2 riadky, zarážka, 4 riadky)
A tieto riadky predstavujú číslo 13 (1 riadok, odsadenie, 3 riadky)

(priesečníky na obrázku sú označené bodkami)

Počet prechodov:

Ľavý horný okraj: 2
Ľavý dolný okraj: 6
Vpravo hore: 4
Vpravo dole: 12

1) Priesečníky v ľavom hornom okraji (2) – prvé číslo odpovede

2) Súčet priesečníkov ľavého dolného a pravého horného okraja (6+4) – druhé číslo odpovede

3) Priesečníky v pravom dolnom okraji (12) – tretie číslo odpovede.

Ukázalo sa: 2; 10; 12.

Pretože Posledné dve čísla sú dvojciferné a nevieme ich zapísať, preto zapisujeme len jednotky a k predchádzajúcemu pridávame desiatky.

4. Taliansky spôsob násobenia ("mriežka")

V Taliansku, ako aj v mnohých východných krajinách si táto metóda získala veľkú obľubu.

Použitie techniky:

Napríklad vynásobme 6827 číslom 345.

1. Nakreslite štvorcovú sieť a napíšte jedno z čísel nad stĺpce a druhé na výšku.

2. Postupne vynásobte číslo každého riadku číslami každého stĺpca.

6*3 = 18. Napíšte 1 a 8
8*3 = 24. Napíšte 2 a 4

Ak výsledkom násobenia je jednociferné číslo, napíšte 0 hore a toto číslo dole.

(Ako v našom príklade, keď násobíme 2 x 3, dostaneme 6. Nahor sme napísali 0 a dole 6)

3. Vyplňte celú mriežku a spočítajte čísla podľa diagonálnych pruhov. Začneme skladať sprava doľava. Ak súčet jednej uhlopriečky obsahuje desiatky, pripočítajte ich k jednotkám ďalšej uhlopriečky.

Odpoveď: 2355315.

5. Ruská metóda násobenia.

Túto techniku násobenia používali ruskí roľníci približne pred 2-4 storočiami a bola vyvinutá v staroveku. Podstata tejto metódy je: "Koľko vydelíme prvý faktor, toľko vynásobíme druhý." Tu je príklad: Musíme vynásobiť 32 číslom 13. Takto by naši predkovia vyriešili tento príklad 3." -pred 4 storočiami:

32 * 13 (32 delené 2 a 13 násobené 2)
16 * 26 (16 delené 2 a 26 násobené 2)
8 * 52 (atď.)
4 * 104
2 * 208
1 * 416 =416

Delenie na polovicu pokračuje, kým podiel nedosiahne 1, pričom sa druhé číslo zdvojnásobí. Posledné zdvojnásobené číslo dáva požadovaný výsledok. Nie je ťažké pochopiť, na čom je táto metóda založená: produkt sa nemení, ak sa jeden faktor zníži na polovicu a druhý sa zdvojnásobí. Je teda jasné, že ako výsledok opakovaného opakovania tejto operácie sa získa požadovaný produkt

Čo však robiť, ak musíte deliť nepárne číslo na polovicu? Ľudová metóda ľahko prekonáva túto ťažkosť. Je potrebné, hovorí pravidlo, v prípade nepárneho čísla jedno vyhodiť a zvyšok rozdeliť na polovicu; ale potom k poslednému číslu pravého stĺpca budete musieť pridať všetky čísla tohto stĺpca, ktoré stoja oproti nepárnym číslam ľavého stĺpca: súčet bude požadovaným súčinom. V praxi sa to robí tak, že všetky riadky s párnymi ľavými číslami sú prečiarknuté; Zostanú len tie, ktoré obsahujú nepárne číslo vľavo. Tu je príklad (hviezdičky označujú, že tento riadok by mal byť prečiarknutý):

19*17
4 *68*
2 *136*
1 *272

Sčítaním neprečiarknutých čísel dostaneme úplne správny výsledok:

17 + 34 + 272 = 323.

odpoveď: 323.

6. Indický spôsob násobenia.

Tento spôsob rozmnožovania sa používal v starovekej Indii.

Na vynásobenie napríklad 793 číslom 92 napíšeme jedno číslo ako násobiteľ a pod neho druhé ako násobiteľ. Na uľahčenie navigácie môžete ako referenciu použiť mriežku (A).

Teraz vynásobíme ľavú číslicu násobiteľa každou číslicou násobiteľa, teda 9x7, 9x9 a 9x3. Výsledné produkty zapisujeme do mriežky (B), pričom máme na pamäti nasledujúce pravidlá:

Pravidlo 1. Jednotky prvého súčinu by mali byť napísané v rovnakom stĺpci ako násobiteľ, teda v tomto prípade pod 9.
Pravidlo 2. Nasledujúce práce musia byť napísané tak, že jednotky sú umiestnené v stĺpci hneď napravo od predchádzajúcej práce.

Zopakujme celý postup s ďalšími číslicami násobiteľa podľa rovnakých pravidiel (C).

Potom spočítame čísla v stĺpcoch a dostaneme odpoveď: 72956.

Ako vidíte, dostávame veľký zoznam diel. Indiáni, ktorí mali rozsiahlu prax, napísali každé číslo nie do zodpovedajúceho stĺpca, ale navrch, pokiaľ to bolo možné. Potom pridali čísla v stĺpcoch a dostali výsledok.

Záver

Vstúpili sme do nového tisícročia! Veľké objavy a úspechy ľudstva. Vieme veľa, dokážeme veľa. Zdá sa niečo nadprirodzené, že pomocou čísel a vzorcov možno vypočítať let kozmickej lode, „ekonomickú situáciu“ v krajine, počasie na „zajtra“ a opísať zvuk tónov v melódii. Poznáme výrok starogréckeho matematika a filozofa, ktorý žil v 4. storočí pred Kristom – Pytagoras – „Všetko je číslo!“

Podľa filozofického názoru tohto vedca a jeho nasledovníkov čísla neovládajú len mieru a váhu, ale aj všetky javy vyskytujúce sa v prírode a sú podstatou harmónie vládnucej vo svete, duši kozmu.

Popisujúc starodávne metódy výpočtu a moderné metódy rýchleho výpočtu som sa snažil ukázať, že tak v minulosti, ako aj v budúcnosti sa človek nezaobíde bez matematiky, vedy, ktorú vytvorila ľudská myseľ.

"Kto študuje matematiku od detstva, rozvíja pozornosť, trénuje mozog, svoju vôľu a pestuje vytrvalosť a vytrvalosť pri dosahovaní cieľov."(A. Markushevich)

Literatúra.

Encyklopédia pre deti. "T.23". Univerzálny encyklopedický slovník \ ed. tabuľa: M. Aksenová, E. Zhuravleva, D. Lyury a ďalší - M.: Svet encyklopédií Avanta +, Astrel, 2008. - 688 s.
Ozhegov S.I. Slovník ruského jazyka: cca. 57 000 slov / Ed. členom - kor. ANSIR N.YU. Švedova. – 20. vyd. – M.: Vzdelávanie, 2000. – 1012 s.
Chcem vedieť všetko! Veľká ilustrovaná encyklopédia inteligencie / Prel. z angličtiny A. Zyková, K. Malková, O. Ozerová. – M.: Vydavateľstvo ECMO, 2006. – 440 s.
Sheinina O.S., Solovyova G.M. Matematika. Školský klub triedy 5-6 ročníkov / O.S. Sheinina, G.M. Solovyová - M.: Vydavateľstvo NTsENAS, 2007. - 208 s.
Kordemsky B. A., Akhadov A. A. Úžasný svetčísla: Kniha žiakov, - M. Školstvo, 1986.
Minskikh E. M. „Od hry k poznaniu“, M., „Osvietenie“ 1982.
Svechnikov A. A. Čísla, čísla, problémy M., Vzdelávanie, 1977.
http://matsievsky. nová pošta. ru/sys-schi/file15.htm
http://sch69.narod. ru/mod/1/6506/history. html

Krestnikov Vasilij

Téma práce „Neobvyklé metódy výpočtu“ je zaujímavá a relevantná, pretože študenti neustále vykonávajú aritmetické operácie s číslami a schopnosť rýchlo vypočítať zvyšuje akademický úspech a rozvíja duševnú flexibilitu.

Vasilij dokázal jasne uviesť dôvody svojho prístupu k tejto téme a správne formuloval účel a ciele práce. Po preštudovaní rôznych zdrojov informácií som našiel zaujímavé a nezvyčajné spôsoby násobenia a naučil som sa ich aplikovať v praxi. Študent zvážil klady a zápory každej metódy a urobil správny záver. Spoľahlivosť záveru potvrdzuje nová metóda násobenia. Žiak zároveň šikovne používa špeciálnu terminológiu a poznatky vonku školské osnovy matematiky. Téma práce zodpovedá obsahu, materiál je podaný prehľadne a prístupne.

Výsledky práce majú praktický význam a môžu byť zaujímavé pre široké spektrum ľudí.

Stiahnuť ▼:

Náhľad:

Mestská vzdelávacia inštitúcia "Kurovskaya stredná škola č. 6"

ABSTRAKT Z MATEMATIKY K TÉME:

„NEOBVYČAJNÉ SPÔSOBY NÁSOBENIA“.

Vyplnil žiak 6. ročníka „b“

Krestnikov Vasilij.

vedúci:

Smirnova Tatyana Vladimirovna.

2011

Úvod ……………………………………………………………………………………………… 2
Hlavná časť. Nezvyčajné spôsoby násobenia………………………...3

2.1. Trochu histórie……………………………………………………………………….. 3

2.2. Násobenie na prstoch ………………………………………………………... 4

2.3. Násobenie 9………………………………………………………………………………………5

2.4. Indický spôsob množenia………………………………………………..6

2.5. Násobenie metódou „Small Castle“………………………………………7

2.6. Násobenie metódou „Žiarlivosti“………………………………………...8

2.7. Roľnícka metóda množenia………………………………………………………9

2.8 Nová cesta…………………………………………………………………..10

Záver………………………………………………………………………………………... 11
Referencie……………………………………………………………………….. 12

I. úvod.

Osoba v Každodenný život bez výpočtov to nejde. Preto nás na hodinách matematiky v prvom rade učia vykonávať operácie s číslami, teda počítať. Násobíme, delíme, sčítame a odčítame bežnými spôsobmi, ktoré sa učia v škole.

Jedného dňa som náhodou natrafil na knihu S. N. Olekhnika, Yu V. Nesterenko a M. K. Potapov, „Staré zábavné problémy“. Keď som listoval v tejto knihe, moju pozornosť upútala stránka s názvom „Násobenie na prstoch“. Ukázalo sa, že násobiť sa dá nielen tak, ako nám to navrhujú v učebniciach matematiky. Zaujímalo by ma, či existujú nejaké iné spôsoby výpočtu. Koniec koncov, schopnosť rýchlo vykonávať výpočty je úprimne prekvapujúca.

Neustále používanie modernej výpočtovej techniky vedie k tomu, že študenti ťažko robia akékoľvek výpočty bez toho, aby mali k dispozícii tabuľky alebo počítací stroj. Znalosť zjednodušených výpočtových techník umožňuje nielen rýchlo vykonávať jednoduché výpočty v mysli, ale aj kontrolovať, vyhodnocovať, nachádzať a opravovať chyby ako výsledok mechanizovaných výpočtov. Ovládanie výpočtových schopností navyše rozvíja pamäť, zvyšuje úroveň matematickej kultúry myslenia a pomáha plne zvládnuť predmety fyzikálneho a matematického cyklu.

Cieľ práce:

Ukážte neobvyklé spôsoby násobenia.

Úlohy:

Nájdite čo najviac neobvyklých metód výpočtu.
Naučte sa ich používať.
Vyberte si pre seba tie najzaujímavejšie alebo jednoduchšie, než aké ponúkajú v škole, a použite ich pri počítaní.

II. Hlavná časť. Nezvyčajné spôsoby násobenia.

2.1. Trochu histórie.

Metódy výpočtu, ktoré teraz používame, neboli vždy také jednoduché a pohodlné. Za starých čias sa používali ťažkopádnejšie a pomalšie techniky. A ak by školák 21. storočia mohol cestovať o päť storočí späť, ohromoval by našich predkov rýchlosťou a presnosťou svojich výpočtov. Chýry o ňom by sa rozšírili po okolitých školách a kláštoroch, čím by zatienili slávu najzručnejších kalkulačiek tej doby, a ľudia by prichádzali zo všetkých strán študovať u nového veľkého majstra.

V knihe V. Bellustina „Ako ľudia postupne dospeli k skutočnej aritmetike“ je načrtnutých 27 metód násobenia a autor poznamenáva: „Je veľmi možné, že v zákutiach knižných depozitárov sú ukryté aj iné metódy, roztrúsené v početných, prevažne ručne písaných zbierky.”

A všetky tieto metódy násobenia - „šach alebo orgán“, „skladanie“, „kríž“, „mriežka“, „odzadu dopredu“, „diamant“ a ďalšie navzájom súťažili a učili sa s veľkými ťažkosťami.

Pozrime sa na najzaujímavejšie a jednoduchými spôsobmi násobenie.

2.2. Násobenie na prstoch.

Staroruská metóda množenia na prstoch je jednou z najčastejšie používaných metód, ktorú ruskí obchodníci úspešne používali po mnoho storočí. Naučili sa na prstoch násobiť jednociferné čísla od 6 do 9. V tomto prípade stačilo mať základné prstové počítanie v „jednotkách“, „dvojiciach“, „trojkách“, „štvorkách“, „päťkách“ a „päťkách“. „desiatky“. Prsty tu slúžili ako pomocné výpočtové zariadenie.

Aby to urobili, na jednej strane natiahli toľko prstov, koľko prvý faktor presahuje číslo 5, a na druhej strane urobili to isté pre druhý faktor. Zvyšné prsty boli ohnuté. Potom sa vzal počet (celkom) predĺžených prstov a vynásobil sa 10, potom sa čísla vynásobili, pričom sa ukázalo, koľko prstov bolo ohnutých, a výsledky sa sčítali.

Napríklad vynásobme 7 x 8. V uvažovanom príklade budú ohnuté 2 a 3 prsty. Ak spočítate počet zohnutých prstov (2+3=5) a vynásobíte počet neohnutých prstov (2 3=6), dostanete čísla desiatok a jednotiek požadovaného súčinu 56, resp. Týmto spôsobom môžete vypočítať súčin akýchkoľvek jednociferných čísel väčších ako 5.

2.3. Vynásobte 9.

Násobenie pre číslo 9- 9·1, 9·2 ... 9·10 - je jednoduchšie vymazať z pamäte a je ťažšie prepočítať manuálne pomocou metódy sčítania, avšak konkrétne pre číslo 9 sa násobenie ľahko reprodukuje „na prstoch“. Roztiahnite prsty na oboch rukách a otočte ruky dlaňami smerom od seba. Mentálne priraďte svojim prstom čísla od 1 do 10, počnúc malíčkom ľavej ruky a končiac malíčkom pravej ruky (to je znázornené na obrázku).

Povedzme, že chceme vynásobiť 9 x 6. Ohneme prst s číslom, ktoré sa rovná číslu, ktorým budeme násobiť deväť. V našom príklade potrebujeme ohnúť prst s číslom 6. Počet prstov naľavo od ohnutého prsta nám ukazuje počet desiatok v odpovedi, počet prstov vpravo ukazuje počet jednotiek. Na ľavej strane máme 5 neohnutých prstov, na pravej strane - 4 prsty. Teda 9·6=54. Na nasledujúcom obrázku je podrobne znázornený celý princíp „výpočtu“.

Ďalší príklad: musíte vypočítať 9·8=?. Povedzme, že prsty nemusia nevyhnutne fungovať ako „počítací stroj“. Vezmite si napríklad 10 buniek v zošite. Prečiarknite 8. políčko. Vľavo zostáva 7 buniek, vpravo 2 bunky. Takže 9·8=72. Všetko je veľmi jednoduché.

7 buniek 2 bunky.

2.4. Indický spôsob množenia.

Najcennejší príspevok do pokladnice matematických vedomostí bol urobený v Indii. Hinduisti navrhli metódu, ktorú používame na písanie čísel pomocou desiatich znakov: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Základom tejto metódy je myšlienka, že tá istá číslica predstavuje jednotky, desiatky, stovky alebo tisíce v závislosti od toho, kde sa číslica nachádza. Obsadené miesto, ak neexistujú žiadne číslice, je určené nulami priradenými číslam.

Indiáni boli skvelí v počítaní. Prišli na veľmi jednoduchý spôsob množenia. Uskutočnili násobenie od najvýznamnejšej číslice a zapísali neúplné produkty tesne nad multiplikandom, kúsok po kúsku. V tomto prípade bola okamžite viditeľná najvýznamnejšia číslica celého produktu a navyše bolo eliminované vynechanie akejkoľvek číslice. Znak násobenia ešte nebol známy, preto medzi faktormi nechali malý odstup. Vynásobme ich napríklad metódou 537 číslom 6:

537 6

(5 ∙ 6 =30) 30

537 6

(300 + 3 ∙ 6 = 318) 318

537 6

(3180 +7 ∙ 6 = 3222) 3222

2.5. Násobenie metódou „MALÁ HRAD“.

Násobenie čísel sa dnes študuje na prvom stupni školy. Ale v stredoveku len málokto ovládal umenie násobenia. Bol to vzácny aristokrat, ktorý sa mohol pochváliť znalosťou násobilky, aj keď vyštudoval európsku univerzitu.

V priebehu tisícročí vývoja matematiky bolo vynájdených mnoho spôsobov násobenia čísel. Taliansky matematik Luca Pacioli vo svojom pojednaní „Summa aritmetiky, pomerov a proporcionality“ (1494) uvádza osem rôznych metód násobenia. Prvý z nich sa nazýva „Malý hrad“ a druhý sa nemenej romanticky nazýva „Žiarlivosť alebo množenie mriežok“.

Výhodou metódy násobenia „Little Castle“ je, že najvýznamnejšie číslice sa určujú od úplného začiatku, čo môže byť dôležité, ak potrebujete rýchlo odhadnúť hodnotu.

Číslice horného čísla, počnúc najvýznamnejšou číslicou, sa postupne vynásobia dolným číslom a zapíšu sa do stĺpca s požadovaným počtom núl. Výsledky sa potom sčítajú.

2.6. Násobenie čísel metódou „žiarlivosti“.

Druhá metóda má romantický názov „žiarlivosť“ alebo „násobenie mriežky“.

Najprv sa nakreslí obdĺžnik rozdelený na štvorce a rozmery strán obdĺžnika zodpovedajú počtu desatinných miest násobilky a násobiteľa. Potom sa štvorcové bunky diagonálne rozdelia a „... výsledkom je obrázok podobný mriežkovým uzáverom,“ píše Pacioli. "Takéto okenice boli zavesené na oknách benátskych domov, aby okoloidúci nemohli vidieť dámy a mníšky sediace pri oknách."

Takto vynásobme 347 číslom 29 Nakreslíme tabuľku, nad ňu napíšeme číslo 347 a napravo číslo 29.

Do každého riadku napíšeme súčin čísel nad touto bunkou a napravo od nej, pričom nad lomku napíšeme desatinnú číslicu súčinu a pod ňu číslicu jednotiek. Teraz pridáme čísla do každého šikmého prúžku a vykonáme túto operáciu sprava doľava. Ak je množstvo menšie ako 10, napíšeme ho pod spodné číslo prúžku. Ak sa ukáže, že je väčšia ako 10, potom napíšeme iba jednotkovú číslicu súčtu a k ďalšiemu súčtu pripočítame číslicu desiatky. V dôsledku toho získame požadovaný produkt 10063.

3 4 7

10 0 6 3

2.7. Roľnícka metóda množenia.

Najprirodzenejším a najjednoduchším spôsobom množenia je podľa môjho názoru metóda, ktorú používajú ruskí roľníci. Táto technika vôbec nevyžaduje znalosť tabuľky násobenia nad číslom 2. Jej podstatou je, že násobenie ľubovoľných dvoch čísel sa redukuje na sériu postupných delení jedného čísla na polovicu pri súčasnom zdvojnásobení druhého čísla. Delenie na polovicu pokračuje, kým podiel nedosiahne 1, pričom sa druhé číslo zdvojnásobí. Posledné zdvojnásobené číslo dáva požadovaný výsledok.

Ak je číslo nepárne, odstráňte jeden a zvyšok rozdeľte na polovicu; ale k poslednému číslu pravého stĺpca budete musieť pridať všetky čísla tohto stĺpca, ktoré stoja oproti nepárnym číslam ľavého stĺpca: súčet bude požadovaný produkt

37……….32

74……….16

148……….8

296……….4

592……….2

1184……….1

Súčin všetkých párov zodpovedajúcich čísel je rovnaký, takže

37 ∙ 32 = 1184 ∙ 1 = 1184

V prípade, že jedno z čísel je nepárne alebo obe čísla sú nepárne, postupujte nasledovne:

24 ∙ 17

24 ∙ 16 =

48 ∙ 8 =

96 ∙ 4 =

192 ∙ 2 =

384 ∙ 1 = 384

24 ∙ 17 = 24∙(16+1)=24 ∙ 16 + 24 = 384 + 24 = 408

2.8. Nový spôsob množenia.

Nedávno bola ohlásená zaujímavá nová metóda násobenia. Vynálezca nového systému mentálneho počítania, kandidát filozofie Vasilij Okoneshnikov, tvrdí, že človek je schopný zapamätať si obrovské množstvo informácií, hlavné je, ako si tieto informácie usporiadať. Podľa samotného vedca je v tomto smere najvýhodnejší deväťnásobný systém – všetky údaje sú jednoducho umiestnené do deviatich buniek, umiestnených ako tlačidlá na kalkulačke.

Pomocou takejto tabuľky je veľmi jednoduché vypočítať. Napríklad číslo 15647 vynásobme 5. V časti tabuľky zodpovedajúcej piatim vyberte čísla zodpovedajúce číslicam čísla v poradí: jedna, päť, šesť, štyri a sedem. Dostaneme: 05 25 30 20 35

Ľavú číslicu (v našom príklade nulu) necháme nezmenenú a do párov pridáme nasledujúce čísla: päť s dvojkou, päť s trojkou, nula s dvojkou, nula s trojkou. Posledná číslica je tiež nezmenená.

Výsledkom je: 078235. Číslo 78235 je výsledkom násobenia.

Ak sa pri pridávaní dvoch číslic získa číslo väčšie ako deväť, jeho prvá číslica sa pridá k predchádzajúcej číslici výsledku a druhá sa zapíše na svoje „vlastné“ miesto.

III. Záver.

Zo všetkých nezvyčajných metód počítania, ktoré som našiel, sa mi zdala zaujímavejšia metóda „násobenia mriežky alebo žiarlivosti“. Ukázal som to spolužiakom a aj im sa to veľmi páčilo.

Najjednoduchšou metódou sa mi zdalo „zdvojenie a rozdelenie“, ktoré používali ruskí roľníci. Používam ho pri násobení nie príliš veľkých čísel (veľmi vhodné je ho použiť pri násobení dvojciferných čísel).

Zaujala ma nová metóda násobenia, pretože mi umožňuje „prehadzovať“ v mysli obrovské čísla.

Myslím si, že naša metóda násobenia podľa stĺpca nie je dokonalá a vieme vymyslieť ešte rýchlejšie a spoľahlivejšie metódy.

Literatúra.

Depman I. "Príbehy o matematike." – Leningrad: Školstvo, 1954. – 140 s.
Kornejev A.A. Fenomén ruského násobenia. Príbeh. http://numbernautics.ru/
Olehnik S. N., Nesterenko Yu V., Potapov M. K. "Staré zábavné problémy." – M.: Veda. Hlavná redakcia fyzikálnej a matematickej literatúry, 1985. – 160 s.
Perelman Ya.I. Rýchly počet. Tridsať jednoduchých techník duševného počítania. L., 1941 - 12 s.
Perelman Ya.I. Zaujímavá aritmetika. M. Rusanová, 1994--205 s. https://accounts.google.com
Popisy snímok:
Prácu vykonal Vasilij Krestnikov, študent 6. „B“ triedy. Vedúci: Tatyana Vladimirovna Smirnova Neobvyklé metódy násobenia
Cieľ práce: Ukázať nezvyčajné spôsoby násobenia. Ciele: Nájsť neobvyklé spôsoby násobenia. Naučte sa ich používať. Vyberte si pre seba tie najzaujímavejšie alebo jednoduchšie a použite ich pri počítaní.
Násobenie na prstoch.
Vynásobte 9
Taliansky matematik Luca Pacioli sa narodil v roku 1445.
Násobenie metódou "Small Castle".
Násobenie metódou „žiarlivosť“.
Násobenie pomocou mriežkovej metódy. 3 4 7 2 9 6 8 1 4 3 6 6 3 7 2 3 6 0 10 347 29=10063
Ruská sedliacka metóda 37 32 37……….32 74……….16 148……….8 296……….4 592……….2 1184………1 37 32=1184
Ďakujem za tvoju pozornosť

Niekoľko rýchlych spôsobov orálne množenie Už sme na to prišli, teraz sa pozrime bližšie na to, ako rýchlo násobiť čísla v hlave pomocou rôznych pomocných metód. Možno už viete a niektoré z nich sú celkom exotické, ako napríklad staroveké čínsky spôsob násobenie čísel.

Rozloženie podľa hodností

Je to najjednoduchšia technika rýchleho násobenia dvojciferných čísel. Oba faktory je potrebné rozdeliť na desiatky a jednotky a následne všetky tieto nové čísla navzájom vynásobiť.

Táto metóda vyžaduje schopnosť uchovávať v pamäti až štyri čísla súčasne a robiť s týmito číslami výpočty.

Napríklad musíte vynásobiť čísla 38 A 56 . Robíme to takto:

38 * 56 = (30 + 8) * (50 + 6) = 30 * 50 + 8 * 50 + 30 * 6 + 8 * 6 = 1500 + 400 + 180 + 48 = 2128 Ústne násobenie dvojciferných čísel v troch operáciách bude ešte jednoduchšie. Najprv musíte vynásobiť desiatky, potom pridať dva súčiny jednotiek po desiatkach a potom pridať súčin jednotiek po jednotkách. Vyzerá to takto: 38 * 56 = (30 + 8) * (50 + 6) = 30 * 50 + (8 * 50 + 30 * 6) + 8 * 6 = 1500 + 580 + 48 = 2128 Aby ste túto metódu úspešne použili, musíte dobre poznať násobilku, vedieť rýchlo sčítať dvojciferné a trojciferné čísla a prepínať medzi matematickými operáciami bez toho, aby ste zabudli na medzivýsledky. Posledná zručnosť sa dosiahne pomocou pomoci a vizualizácie.

Táto metóda nie je najrýchlejšia a najefektívnejšia, preto sa oplatí preskúmať aj iné metódy orálneho množenia.

Prispôsobenie čísel

Môžete sa pokúsiť preniesť aritmetický výpočet do pohodlnejšej formy. Napríklad súčin čísel 35 A 49 možno si to predstaviť takto: 35 * 49 = (35 * 100) / 2 — 35 = 1715
Táto metóda môže byť účinnejšia ako predchádzajúca, ale nie je univerzálna a nie je vhodná pre všetky prípady. Nie vždy je možné nájsť vhodný algoritmus na zjednodušenie problému.

Pri tejto téme som si spomenul na anekdotu o tom, ako sa matematik plavil po rieke okolo farmy a hovoril svojim partnerom, že je schopný rýchlo spočítať počet oviec v ohrade, 1358 oviec. Na otázku, ako to urobil, povedal, že je to jednoduché - musíte spočítať počet nôh a vydeliť 4.

Vizualizácia stĺpcového násobenia

Ide o jeden z najuniverzálnejších spôsobov ústneho násobenia čísel, rozvíjanie priestorovej predstavivosti a pamäti. Najprv by ste sa mali naučiť násobiť dvojciferné čísla jednocifernými číslami v stĺpci v hlave. Potom môžete jednoducho vynásobiť dvojciferné čísla v troch krokoch. Najprv treba dvojciferné číslo vynásobiť desiatkami iného čísla, potom vynásobiť jednotkami iného čísla a potom výsledné čísla sčítať.

Vyzerá to takto: 38 * 56 = (38 * 5) * 10 + 38 * 6 = 1900 + 228 = 2128

Vizualizácia s usporiadaním čísel

Veľmi zaujímavým spôsobom Násobenie dvojciferných čísel je nasledovné. Musíte postupne násobiť číslice v číslach, aby ste dostali stovky, jednotky a desiatky.

Povedzme, že sa potrebujete množiť 35 na 49 .

Najprv sa množte 3 na 4 , dostanete 12 , potom 5 A 9 , dostanete 45 . Nahrávanie 12 A 5 , s medzerou medzi nimi a 4 zapamätaj si.

Príjmeš: 12 __ 5 (pamätajte si 4 ).

Teraz sa množte 3 na 9 , A 5 na 4 a zhrnúť: 3 * 9 + 5 * 4 = 27 + 20 = 47 .

Teraz musíme 47 pridať 4 ktoré si pamätáme. Dostaneme 51 .

Píšeme 1 v strede a 5 pridať k 12 , dostaneme 17 .

Celkovo je číslo, ktoré sme hľadali 1715 , to je odpoveď:

35 * 49 = 1715
Skúste násobiť v hlave rovnakým spôsobom: 18 * 34, 45 * 91, 31 * 52 .

Čínske alebo japonské násobenie

V ázijských krajinách je zvykom násobiť čísla nie v stĺpci, ale kreslením čiar. Pre východné kultúry je dôležitá túžba po kontemplácii a vizualizácii, zrejme preto prišli s tak krásnou metódou, ktorá umožňuje násobiť ľubovoľné čísla. Táto metóda je komplikovaná len na prvý pohľad. V skutočnosti väčšia prehľadnosť umožňuje použiť túto metódu oveľa efektívnejšie ako násobenie stĺpcov.

Okrem toho znalosť tejto starodávnej orientálnej metódy zvyšuje vašu erudíciu. Súhlasíte, nie každý sa môže pochváliť tým, čo vie staroveký systém násobenie, ktoré Číňania používali pred 3000 rokmi.

Video o tom, ako Číňania násobia čísla

Podrobnejšie informácie získate v sekciách „Všetky kurzy“ a „Pomôcky“, ku ktorým sa dostanete cez horné menu stránky. V týchto sekciách sú články zoskupené podľa tém do blokov obsahujúcich čo najpodrobnejšie (pokiaľ je to možné) informácie o rôznych témach.

Môžete sa tiež prihlásiť na odber blogu a dozvedieť sa o všetkých nových článkoch.
Nezaberie to veľa času. Stačí kliknúť na odkaz nižšie:

Svet matematiky je veľmi veľký, ale vždy som sa zaujímal o metódy násobenia. Pri práci na tejto téme som sa naučil veľa zaujímavých vecí a naučil som sa z prečítaného vyberať materiál, ktorý som potreboval. Naučili sa riešiť určité zábavné úlohy, hádanky a príklady násobenia rôzne cesty, ako aj to, na čom sú založené aritmetické triky a intenzívne techniky výpočtu.

O NÁSOBENÍ

Čo zostáva v mysliach väčšiny ľudí z toho, čo kedysi študovali v škole? Samozrejme Iný ľudia- rôzne, ale násobilku má asi každý. Okrem úsilia vynaloženého na jeho „prevŕtanie“ si spomeňme na stovky (ak nie tisíce) problémov, ktoré sme s jeho pomocou vyriešili. Pred tristo rokmi v Anglicku bol človek, ktorý poznal násobilku, považovaný za učeného človeka.

Bolo vynájdených veľa metód násobenia. Taliansky matematik z konca 15. – začiatku 16. storočia Luca Pacioli vo svojom pojednaní o aritmetike uvádza 8 rôznych metód násobenia. V prvom, ktorý sa nazýva „malý hrad“, sa číslice horného čísla, počnúc najvyšším, postupne vynásobia dolným číslom a zapíšu sa do stĺpca s požadovaným počtom núl. Výsledky sa potom sčítajú. Výhodou tejto metódy oproti bežnej je, že počty najvýznamnejších číslic sa určujú od samého začiatku, čo môže byť dôležité pre hrubé výpočty.

Druhá metóda má nemenej romantický názov „žiarlivosť“ (alebo mriežkové násobenie). Vykreslí sa mriežka, do ktorej sa potom zadajú výsledky medzivýpočtov, presnejšie čísla z násobilky. Mriežka je obdĺžnik rozdelený na štvorcové bunky, ktoré sú zase rozdelené na polovicu uhlopriečkami. Prvý faktor bol napísaný vľavo (zhora nadol) a druhý hore. Na priesečníku príslušného riadku a stĺpca bol napísaný súčin čísel v nich. Potom sa výsledné čísla pridali pozdĺž nakreslených uhlopriečok a výsledok sa zapísal na koniec takého stĺpca. Výsledok sa odčítal pozdĺž spodnej a pravej strany obdĺžnika. „Taká mreža,“ píše Luca Pacioli, „pripomína mrežové okenice, ktoré boli zavesené na benátskych oknách a bránia okoloidúcim vidieť dámy a mníšky sediace pri oknách.“

Všetky metódy násobenia opísané v knihe Luca Pacioliho používali tabuľku násobenia. Ruskí roľníci sa však vedeli množiť aj bez stola. Ich metóda násobenia používala iba násobenie a delenie 2. Na vynásobenie dvoch čísel sa písali vedľa seba a potom sa ľavé číslo vydelilo 2 a pravé sa vynásobilo 2. Ak delením vznikol zvyšok, bolo to vyradené. Potom boli prečiarknuté riadky v ľavom stĺpci obsahujúce párne čísla. Zvyšné čísla v pravom stĺpci boli sčítané. Výsledkom bol súčin pôvodných čísel. Skontrolujte na niekoľkých pároch čísel, že je to naozaj tak. Dôkaz platnosti tejto metódy je znázornený pomocou binárneho číselného systému.

Starodávna ruská metóda násobenia.

Od staroveku a takmer až do osemnásteho storočia robili Rusi výpočty bez násobenia a delenia: používali iba dve aritmetické operácie - sčítanie a odčítanie, ako aj takzvané „zdvojnásobenie“ a „rozdvojenie“. Podstata starodávnej ruskej metódy násobenia spočíva v tom, že násobenie akýchkoľvek dvoch čísel sa redukuje na sériu postupných delení jedného čísla na polovicu (sekvenčné, bifurkácia) pri súčasnom zdvojnásobení druhého čísla. Ak sa v produkte, napríklad 24 X 5, multiplikand zníži 2-krát („double“) a multiplikátor sa zväčší 2-krát

(„double“), potom sa produkt nezmení: 24 x 5 = 12 X 10 = 120. Príklad:

Delenie násobiteľa na polovicu pokračuje, kým sa kvocient neukáže ako 1, pričom sa násobiteľ zdvojnásobí. Posledné zdvojnásobené číslo dáva požadovaný výsledok. Takže 32 x 17 = 1 x 544 = 544.

V tých dávnych dobách sa zdvojnásobenie a bifurkácia dokonca považovali za špeciálne aritmetické operácie. Aké sú špeciálne. akcie? Veď napríklad zdvojnásobenie čísla nie je špeciálna akcia, ale len pridanie daného čísla k sebe samému.

Všimnite si, že čísla sú deliteľné 2 vždy bezo zvyšku. Ale čo ak je multiplikand deliteľný 2 so zvyškom? Príklad:

Ak násobenec nie je deliteľný 2, potom sa od neho najprv odčíta jedna a potom sa vydelí 2. Riadky s párnymi násobiteľmi sa prečiarknu a pridajú sa pravé časti riadkov s nepárnymi násobiteľmi.

21 x 17 = (20 + 1) x 17 = 20 x 17 + 17.

Zapamätajme si číslo 17 (prvý riadok nie je prečiarknutý!) a nahraďte súčin 20 X 17 rovnakým súčinom 10 X 34. Ale súčin 10 X 34 je možné nahradiť rovnakým súčinom 5 X 68; takže druhý riadok je prečiarknutý:

5 x 68 = (4 + 1) x 68 = 4 x 68 + 68.

Zapamätajme si číslo 68 (tretí riadok nie je prečiarknutý!) a súčin 4 X 68 nahraďme rovnakým súčinom 2 X 136. Súčin 2 X 136 však môžeme nahradiť rovnakým súčinom 1 X 272; preto je štvrtý riadok prečiarknutý. To znamená, že ak chcete vypočítať súčin 21 X 17, musíte pridať čísla 17, 68, 272 - pravé strany riadkov s nepárnymi násobiteľmi. Produkty s párnym multiplikandom je možné vždy nahradiť zdvojnásobením multiplikandu a zdvojnásobením faktora rovnakými produktmi; preto sú takéto riadky vylúčené z výpočtu konečného produktu.

Snažil som sa rozmnožiť staromódnym spôsobom. Zobral som čísla 39 a 247 a toto je to, čo som dostal:

Stĺpce sa ukážu byť ešte dlhšie ako moje, ak vezmeme multiplikand viac ako 39. Potom som sa rozhodol, ten istý príklad v modernom štýle:

Ukazuje sa, že naša školská metóda násobenia čísel je oveľa jednoduchšia a ekonomickejšia ako stará ruská metóda!

Násobiteľskú tabuľku musíme poznať v prvom rade my, no naši predkovia ju nepoznali. Okrem toho musíme dobre poznať aj samotné pravidlo násobenia, ale oni vedeli len zdvojnásobiť a zdvojnásobiť čísla. Ako vidíte, môžete násobiť oveľa lepšie a rýchlejšie ako najznámejšia kalkulačka v staroveká Rus. Mimochodom, pred niekoľkými tisíckami rokov Egypťania vykonávali násobenie takmer presne rovnakým spôsobom ako Rusi za starých čias.

Je skvelé, že ľudia z rozdielne krajiny, vynásobené rovnakým spôsobom.

Nie je to tak dávno, len asi pred sto rokmi, bolo pre študentov veľmi ťažké naučiť sa násobilku. Aby presvedčili študentov o potrebe poznať tabuľky naspamäť, autori matematických kníh sa už dlho uchyľujú. k poézii.

Tu je niekoľko riadkov z u nás neznámej knihy: „Ale na násobenie potrebujete mať nasledujúcu tabuľku, len ju mať pevne v pamäti, aby každé číslo, ktoré sa ním vynásobí, bez akéhokoľvek oneskorenia v reči povie, resp. napíš, aj 2 krát 2 je 4 alebo 2 krát 3 je 6 a 3 krát 3 je 9 a tak ďalej."

Ak niekto neopakuje tabuľku a je hrdý na všetku vedu, nie je oslobodený od múk,

Koľkoo nemôže vedieť bez učenia podľa čísla, že násobenie tuniaka ho deprimuje

Je pravda, že v tejto pasáži a veršoch nie je všetko jasné: akosi nie je napísaná celkom v ruštine, pretože to všetko napísal pred viac ako 250 rokmi, v roku 1703, Leonty Filippovič Magnitsky, úžasný učiteľ ruštiny, a odvtedy ruský jazyk sa výrazne zmenil.

L. F. Magnitsky napísal a vydal prvú tlačenú učebnicu aritmetiky v Rusku; pred ním boli len ručne písané matematické knihy. Veľký ruský vedec M. V. Lomonosov, ako aj mnohí ďalší významní ruskí vedci osemnásteho storočia, študovali z „Aritmetiky“ L. F. Magnitského.

Ako sa rozmnožili v tých dňoch, v čase Lomonosova? Pozrime sa na príklad.

Ako vieme, akcia násobenia bola vtedy zapísaná takmer rovnakým spôsobom ako v našej dobe. Len multiplikand sa nazýval „množstvo“ a produkt sa nazýval „produkt“ a navyše sa násobilka nepísala.

Ako vtedy vysvetlili násobenie?

Je známe, že M.V. Lomonosov vedel naspamäť celú „Aritmetiku“ Magnitského. V súlade s touto učebnicou by malý Misha Lomonosov vysvetlil násobenie čísla 48 číslom 8 takto: „8 krát 8 je 64, pod čiaru napíšem 4 proti 8 a v mysli mám 6 desatinných miest. A potom 8 krát 4 je 32 a v mysli si ponechám 3 a k 2 pridám 6 desatinných miest a bude to 8. A toto 8 napíšem vedľa 4, v rade po mojej ľavej ruke a zatiaľ čo 3 je v mojej mysli, napíšem v rade blízko 8, na ľavú ruku. A z vynásobenia 48 číslom 8 bude súčin 384.“

Áno, a vysvetľujeme to takmer rovnako, len hovoríme moderne, nie starodávne, a navyše pomenúvame kategórie. Napríklad 3 by malo byť napísané na treťom mieste, pretože to budú stovky, a nie len „v rade vedľa 8, po ľavej ruke“.

Príbeh „Masha je kúzelník“.

„Viem odhadnúť nielen narodeniny, ako to urobil Pavlík naposledy, ale aj rok narodenia,“ začala Masha.

Vynásobte číslo mesiaca, v ktorom ste sa narodili, číslom 100 a potom pridajte svoje narodeniny. , vynásobte výsledok 2. , pridajte 2 k výslednému číslu; vynásobte výsledok číslom 5, k výslednému číslu pridajte 1, k výsledku pridajte nulu. , k výslednému číslu pripočítajte ďalšiu 1 a nakoniec pripočítajte počet svojich rokov.

Hotovo, mám 20721. - Hovorím.

* Správne,“ potvrdil som.

A dostal som 81321,“ hovorí Vitya, tretiačka.

"Ty, Máša, si sa musela pomýliť," pochybovala Petya. - Ako sa to stane: Vitya je z tretej triedy a tiež sa narodila v roku 1949 ako Sasha.

Nie, Masha uhádla správne,“ potvrdzuje Vitya. Len ja som bol jeden rok dlho chorý a preto som išiel dvakrát do druhej triedy.

* A dostal som 111521,“ hlási Pavlik.

Ako je to možné, pýta sa Vasya, Pavlík má tiež 10 rokov ako Sasha a narodil sa v roku 1948. Prečo nie v roku 1949?

Ale pretože je teraz september a Pavlík sa narodil v novembri a má stále len 10 rokov, hoci sa narodil v roku 1948,“ vysvetlila Masha.

Uhádla dátumy narodenia troch alebo štyroch ďalších študentov a potom vysvetlila, ako to urobila. Ukázalo sa, že od posledného čísla odpočíta 111 a zvyšok sa pridá na tri strany sprava doľava, každá po dve číslice. Stredné dve číslice označujú narodeniny, prvé dve alebo jedna označujú mesiac a posledné dve číslice označujú počet rokov. Keď viete, koľko rokov má človek, nie je ťažké určiť rok narodenia. Napríklad mi vyšlo číslo 20721. Ak od neho odčítate 111, dostanete 20610. To znamená, že teraz mám 10 rokov a narodil som sa 6. februára. Keďže je teraz september 1959, znamená to, že som sa narodil v roku 1949.

Prečo potrebujete odpočítať 111 a nie nejaké iné číslo? - opýtali sme sa. -A prečo sú narodeniny, mesiac a počet rokov rozdelené práve takto?

Ale pozri,“ vysvetlila Masha. - Napríklad Pavlík, ktorý splnil moje požiadavky, vyriešil tieto príklady:

1)11 x 100 = 1100; 2) 1100 + J4 = 1114; 3) 1114 x 2 =

2228; 4) 2228 + 2 = 2230; 57 2230 X 5 = 11 150; 6) 111501 = 11151; 7) 11151 x 10 = 111510

8)111510 1 1-111511; 9)111511 + 10=111521.

Ako vidíte, vynásobil číslo mesiaca (11) 100, potom 2, potom ďalšími 5 a nakoniec ďalšími 10 (pridal vrece) a celkovo 100 X 2 X 5 X 10, to znamená o 10 000 To znamená, že 11 sa stalo desiatkami tisíc, to znamená, že tvoria tretiu stranu, ak spočítate dve číslice sprava doľava. Takto zistia číslo mesiaca, v ktorom ste sa narodili. Svoje narodeniny (14) vynásobil 2, potom 5 a nakoniec ešte 10 a celkovo 2 X 5 X 10, teda 100. To znamená, že narodeniny treba hľadať medzi stovkami, v r. druhá tvár, ale tu sú stovky cudzincov. Pozri: pridal číslo 2, ktoré vynásobil 5 a 10. To znamená, že dostal navyše 2x5x10=100 - 1 sto. Túto 1 stovku odpočítam od 15 stoviek v čísle 111521, výsledkom čoho je 14 stoviek. Takto zistím svoje narodeniny. Počet rokov (10) nebol násobený ničím. To znamená, že toto číslo treba hľadať medzi jednotkami, na prvý pohľad, ale sú tu cudzie jednotky. Pozri: pridal číslo 1, ktoré vynásobil 10, a potom pridal ďalšiu 1. To znamená, že dostal iba 1 x TO + 1 = 11 jednotiek navyše. Odpočítam týchto 11 jednotiek od 21 jednotiek v čísle 111521, vyjde mi 10. Takto zistím počet rokov A celkovo, ako vidíte, od čísla 111521 som odčítal 100 + 11 = 111. Keď som od čísla 111521 odčítal 111, ukázalo sa, že je to PNU. znamená,

Pavlík sa narodil 14. novembra a má 10 rokov. Teraz je rok 1959, ale 10 som odrátal nie od roku 1959, ale od roku 1958, keďže Pavlík mal minulý rok v novembri 10 rokov.

Samozrejme, toto vysvetlenie si hneď nezapamätáte, ale snažil som sa to pochopiť na svojom príklade:

1) 2 x 100 = 200; 2) 200 + 6 = 206; 3) 206 x 2 = 412;

4) 412 + 2 = 414; 5) 414 x 5 = 2070; 6) 2070 + 1 = 2071; 7) 2071 x 10 = 20 710; 8) 20710 + 1 = 20711; 9) 20711 + + 10 = 20721; 20721 - 111 = 2" OBT; 1959 - 10 = 1949;

Puzzle.

Prvá úloha: Na poludnie odchádza osobný parník zo Stalingradu do Kujbyševa. O hodinu neskôr odchádza z Kujbyševa do Stalingradu nákladná a osobná loď, ktorá sa pohybuje pomalšie ako prvá loď. Keď sa lode stretnú, ktorá z nich bude ďalej od Stalingradu?

Toto nie je obyčajný aritmetický problém, ale vtip! Parníky budú v rovnakej vzdialenosti od Stalingradu, ako aj od Kuibysheva.

A tu je druhá úloha: Minulú nedeľu náš oddiel a oddiel piateho ročníka vysadili stromy pozdĺž ulice Bolshaya Pionerskaya. Tímy museli vysadiť rovnaký počet stromov na každej strane ulice. Ako si pamätáte, náš tím prišiel do práce skoro a pred príchodom piatakov sa nám podarilo zasadiť 8 stromov, ale ako sa ukázalo, nie na našej strane ulice: nadchli sme sa a začali sme pracovať v zlom. miesto. Potom sme pracovali na našej strane ulice. Piataci ukončili prácu predčasne. Nezostali nám však dlžní: prešli na našu stranu a vysadili najskôr 8 stromov („splatili dlh“) a potom ďalších 5 stromov a dielo sme dokončili.

Otázka znie, o koľko viac stromov vysadili piataci ako my?

: Samozrejme, piataci vysadili len o 5 stromov viac ako my: keď na našej strane vysadili 8 stromov, splatili tým dlh; a keď vysadili ďalších 5 stromov, bolo to, ako keby nám dali 5 stromov na pôžičku. Tak sa ukázalo, že vysadili len o 5 stromov viac ako my.

Nie, zdôvodnenie je nesprávne. Je pravda, že piataci nám urobili láskavosť, keď nám vysadili 5 stromčekov. Aby sme však dostali správnu odpoveď, musíme uvažovať takto: svoju úlohu sme nesplnili o 5 stromov, kým piataci prekročili svoju o 5 stromov. Ukazuje sa teda, že rozdiel medzi počtom vysadených stromčekov piatakov a nami vysadených stromčekov nie je 5, ale 10 stromčekov!

A je tu posledná hlavolamová úloha Hranie lopty, 16 žiakov bolo rozmiestnených po stranách štvorcovej plochy tak, aby na každej strane boli 4 ľudia. Potom 2 študenti odišli a zvyšok sa pohol tak, že na každej strane námestia boli opäť 4 ľudia. Nakoniec odišli ešte 2 študenti, ale zvyšok sa usadil tak, že na každej strane námestia boli stále 4 ľudia. Ako sa to mohlo stať?

Dva triky na rýchle násobenie

Jedného dňa učiteľ ponúkol svojim študentom tento príklad: 84 X 84. Jeden chlapec rýchlo odpovedal: 7056. "Čo ste počítali?" - spýtal sa učiteľ žiaka. "Vzal som 50 x 144 a hodil 144," odpovedal. Nuž, vysvetlíme, ako študent myslel.

84 x 84 = 7 X 12 X 7 X 12 = 7 X 7 X 12 X 12 = 49 X 144 = (50 - 1) X 144 = 50 X 144 - 144 a 144 päťdesiat je 72 sto, takže 84 X 84 = 7200 - 144 =

Teraz rovnakým spôsobom vypočítajme, koľko je 56 x 56.

56 X 56 = 7 X 8 X 7 X 8 = 49 X 64 = 50 X 64 - 64, teda 64 päťdesiat alebo 32 stoviek (3200), bez 64, t. j. na vynásobenie čísla číslom 49 potrebujete toto číslo vynásobte 50 (päťdesiatimi) a toto číslo odčítajte od výsledného súčinu.

Tu sú príklady inej metódy výpočtu, 92 X 96, 94 X 98.

Odpovede: 8832 a 9212. Príklad, 93 X 95. Odpoveď: 8835. Naše výpočty dali rovnaké číslo.

Takto rýchlo môžete počítať, len keď sa čísla blížia k 100. K týmto číslam nájdeme doplnky do 100: pre 93 bude 7 a pre 95 bude 5, od prvého daného čísla odčítame doplnok druhý: 93 - 5 = 88 - to bude v súčine stovky, vynásobte súčty: 7 X 5 = 3 5 - toľko bude v súčine jednotiek. To znamená 93 X 95 = 8835. A prečo by sa to malo robiť, nie je ťažké vysvetliť.

Napríklad 93 je 100 bez 7 a 95 je 100 bez 5. 95 X 93 = (100 – 5) x 93 = 93 X 100 – 93 x 5.

Ak chcete odpočítať 5 krát 93, môžete odpočítať 5 krát 100, ale pridať 5 krát 7. Potom to dopadne:

95 x 93 = 93 x 100 - 5 x 100 + 5 x 7 = 93 buniek. - 5 stoviek. + 5 X 7 = (93 - 5) buniek. + 5 x 7 = 8800 + 35= = 8835.

97 x 94 = (97 - 6) x 100 + 3 x 6 = 9100 + 18 = 9118, 91 x 95 = (91 - 5) x 100 + 9 x 5 = 8600 + 45 = 8645.

Násobenie c. domino

Pomocou kociek domino je ľahké znázorniť niektoré prípady násobenia viacciferných čísel jednociferným číslom. Napríklad:

402 x 3 a 2663 x 4

Víťazom sa stane ten, komu sa podarí využiť najväčší počet dominové kosti, ktoré tvoria príklady násobenia troj- a štvorciferných čísel jednociferným číslom.

Príklady na násobenie štvorciferných čísel jednocifernými číslami.

2234 X 6; 2425 X 6; 2336 X 1; 526 x 6.

Ako vidíte, bolo použitých iba 20 kociek domina. Boli zostavené príklady na násobenie nielen štvorciferných čísel jednociferným, ale aj troj-, päť- a šesťciferných čísel jednociferným číslom. Použilo sa 25 kociek a zostavili sa tieto príklady:

Stále je však možné použiť všetkých 28 kociek.

Príbehy o tom, ako dobre vedel starý Hottabych aritmetiku.

Príbeh „Dostávam „5“ z aritmetiky.

Hneď ako som na druhý deň išiel za Mišom, hneď sa ma spýtal: „Čo bolo nové alebo zaujímavé na krúžku?“ Ukázal som Mišovi a jeho priateľom, akí múdri boli Rusi za starých čias. Potom som ich požiadal, aby si v duchu spočítali, koľko by bolo 97 X 95, 42 X 42 a 98 X 93, samozrejme, bez ceruzky a papiera to nedokázali a boli veľmi prekvapení, keď som takmer okamžite dal správne odpovede tieto príklady. Nakoniec sme všetci spoločne vyriešili zadaný problém domov. Ukazuje sa, že je veľmi dôležité, ako sú bodky umiestnené na liste papiera. V závislosti od toho môžete nakresliť jednu, štyri alebo šesť priamych čiar cez štyri body, ale nie viac.

Potom som vyzval deti, aby vytvorili príklady násobenia pomocou kociek domino, rovnako ako to urobili na hrnčeku. Podarilo sa nám použiť 20, 24 a dokonca 27 kociek, ale zo všetkých 28 sme nikdy nedokázali vytvoriť príklady, hoci sme pri tejto úlohe sedeli dlho.

Misha si spomenula, že dnes sa v kine premietal film „Old Man Hottabych“. Rýchlo sme skončili s počítaním a utekali do kina.

Aký obraz! Aj keď je to rozprávka, stále je zaujímavá: rozpráva o nás chlapcoch, o školskom živote a tiež o excentrickom mudrcovi - Genie Hottabych. A Hottabych urobil veľkú chybu, keď dal Volkovi pár zemepisných tipov! Zrejme v dávnych časoch aj indiánski mudrci – džinovia – poznali zemepis veľmi, veľmi slabo. Hottabych pravdepodobne ani poriadne nevedel aritmetiku.

Indický spôsob množenia.

Povedzme, že potrebujeme vynásobiť 468 číslom 7. Naľavo napíšeme násobiteľ a napravo násobiteľ:

Indiáni nemali násobilku.

Teraz vynásobím 4 7, dostaneme 28. Toto číslo napíšeme nad číslicu 4.

Teraz vynásobíme 8 číslom 7, dostaneme 56. Pripočítame 5 k 28, dostaneme 33; Poďme vymazať 28, zapísať 33, napísať 6 nad číslo 8:

Ukázalo sa to celkom zaujímavo.

Teraz vynásobíme 6 7, dostaneme 42, pridáme 4 k 36, dostaneme 40; Vymažeme 36 a zapíšeme 40; Napíšme 2 nad číslo 6. Takže vynásobte 486 číslom 7, dostanete 3402:

Riešenie bolo správne, ale nie veľmi rýchlo a pohodlne, presne takto sa množili najznámejšie kalkulačky tej doby.

Ako vidíte, starý Hottabych vedel celkom dobre aritmetiku. Svoje počínanie však zaznamenával inak ako my.

Kedysi dávno, pred viac ako tisíctristo rokmi, boli Indovia najlepšími kalkulačkami. Ešte však nemali papier a všetky výpočty sa vykonávali na malej čiernej doske, na ktorú sa písalo trstinovým perom a používala sa veľmi tekutá biela farba, ktorá zanechávala stopy, ktoré sa dali ľahko zmazať.

Keď píšeme kriedou na tabuľu, trochu to pripomína indický spôsob písania: na čiernom pozadí sa objavujú biele značky, ktoré sa dajú ľahko vymazať a opraviť.

Indiáni robili výpočty aj na bielej tabuľke posypanej červeným práškom, na ktorú písali znamenia malou tyčinkou, takže na červenom poli sa objavili biele znaky. Približne rovnaký obrázok získame, keď napíšeme kriedou na červenú alebo hnedú dosku - linoleum.

Násobiace znamienko vtedy ešte neexistovalo a medzi násobilkou a násobilkou zostala len určitá medzera. Indický spôsob by bol násobiť počnúc jednotkami. Samotní Indovia však násobili od najvyššej číslice a kúsok po kúsku zapisovali neúplné produkty tesne nad multiplikandom. V tomto prípade bola okamžite viditeľná najvýznamnejšia číslica celého produktu a navyše bolo eliminované vynechanie akejkoľvek číslice.

Príklad násobenia na indický spôsob.

Arabská metóda násobenia.

No, ako v samotnom dátume môžete vykonať násobenie indickým spôsobom, ak si to zapíšete na papier?

Túto metódu násobenia na písanie na papier prispôsobili Arabi už viac ako tisíc rokov známy staroveký uzbecký vedec Muhammad ibn Musa Alkhwariz-mi (Muhammad syn Musa z Khorezmu, mesta ležiaceho na území modernej Uzbeckej SSR). pred vykonaním násobenia na pergamene takto:

Zrejme nepotrebné čísla nezmazal (už na papieri je to nepohodlné), ale prečiarkol; Nové čísla si zapisoval nad prečiarknuté, samozrejme, kúsok po kúsku.

Príklad násobenia rovnakým spôsobom, robenie poznámok do zošita.

To znamená 7264 X 8 = 58112. Ale ako vynásobiť dvojciferným číslom, viacciferným číslom?

Spôsob násobenia zostáva rovnaký, no nahrávanie sa stáva oveľa komplikovanejším. Napríklad musíte vynásobiť číslo 746 číslom 64. Najprv vynásobte číslom 3 desiatky.

Takže 746 x 34 = 25364.

Ako vidíte, prečiarknutie nepotrebných číslic a ich nahradenie novými číslicami pri násobení aj dvojciferným číslom vedie k príliš ťažkopádnemu zaznamenávaniu. Čo sa stane, ak vynásobíte troj- alebo štvorciferným číslom?!

Áno, arabská metóda násobenia nie je príliš pohodlná.

Tento spôsob rozmnožovania pretrval v Európe až do osemnásteho storočia, teda celých tisíc rokov. Nazývalo sa to krížová metóda alebo chiasmus, pretože medzi násobené čísla sa vložilo grécke písmeno X (chi), ktoré sa postupne nahradilo šikmým krížom. Teraz jasne vidíme, že naša moderná metóda násobenia je najjednoduchšia a najpohodlnejšia, pravdepodobne najlepšia zo všetkých možné spôsoby násobenie.

Áno, samotná naša školská metóda násobenia viacciferných čísel je veľmi dobrá. Násobenie sa však dá zapísať aj inak. Možno by bolo najlepšie to urobiť napríklad takto:

Táto metóda je naozaj dobrá: násobenie začína od najvyššej číslice násobiteľa, najnižšia číslica neúplných súčinov sa zapisuje pod zodpovedajúcu číslicu násobiteľa, čo eliminuje možnosť chyby v prípade, že sa na niektorej číslici násobiteľa vyskytne nula. multiplikátor. Približne takto píšu československí školáci násobenie viacciferných čísel. To je zaujímavé. A to sme si mysleli, že aritmetické operácie sa dajú písať len tak, ako je to u nás zaužívané.

Ešte pár hádaniek.

Tu je vaša prvá jednoduchá úloha: Turista dokáže prejsť 5 km za hodinu. Koľko kilometrov prejde za 100 hodín?

Odpoveď: 500 kilometrov.

A toto je tiež veľká otázka! Potrebujeme presnejšie vedieť, ako turista kráčal týchto 100 hodín: bez odpočinku alebo s prestávkami. Inými slovami, musíte vedieť: 100 hodín je čas, ktorý turista cestuje alebo jednoducho čas, ktorý strávi na ceste. Osoba pravdepodobne nie je schopná byť v pohybe 100 hodín v rade: to je viac ako štyri dni; a rýchlosť pohybu by neustále klesala. Iná vec je, ak turista kráčal s prestávkami na obed, spánok atď. Potom za 100 hodín pohybu prejde celých 500 km; len ten by mal byť na ceste nie štyri dni, ale asi dvanásť dní (ak prejde priemerne 40 km za deň). Ak bol na ceste 100 hodín, mohol prejsť len približne 160-180 km.

Rôzne odpovede. To znamená, že k vyhláseniu problému je potrebné niečo pridať, inak nie je možné odpovedať.

Vyriešme teraz nasledujúci problém: 10 kurčiat zje 1 kg obilia za 10 dní. Koľko kilogramov obilia zje 100 kurčiat za 100 dní?

Riešenie: 10 kurčiat zje 1 kg obilia za 10 dní, čo znamená, že 1 kura zje za tých 10 dní 10x menej, teda 1000 g: 10 = 100 g.

Za jeden deň kura zje ďalších 10x menej, teda 100 g: 10 = 10 g Teraz vieme, že 1 kura zje za 1 deň 10 g obilia. To znamená, že 100 kurčiat denne zje 100-krát viac, tzn

10 g X 100 = 1 000 g = 1 kg. Za 100 dní zjedia ďalších 100-krát viac, teda 1 kg X 100 = 100 kg = 1 kg. To znamená, že 100 kurčiat zožerie celé centy zrna za 100 dní.

Existuje rýchlejšie riešenie: kurčiat je 10-krát viac a treba ich kŕmiť 10-krát dlhšie, čo znamená, že celkovo potrebné obilie je 100-krát viac, teda 100 kg. Vo všetkých týchto argumentoch je však jeden nedostatok. Zamyslime sa a nájdime chybu v uvažovaní.

: -Pozorme na poslednú úvahu: „100 sliepok zje za jeden deň 1 kg obilia a za 100 dní ich zožerie 100-krát viac. »

Koniec koncov, za 100 dní (to je viac ako tri mesiace!) kurčatá citeľne vyrastú a už nezjedia 10 gramov obilia denne, ale 40-50 gramov, keďže obyčajné kura zje asi 100 gramov obilia denne . To znamená, že za 100 dní nezje 100 kurčiat nie 1 cent obilia, ale oveľa viac: dva alebo tri centy.

A tu je pre vás posledná hlavolamová úloha týkajúca sa viazania uzla: „Na stole je v rovnej línii natiahnutý kus lana. Musíte vziať jeden koniec lana jednou rukou, druhý koniec druhou rukou a bez toho, aby ste pustili konce lana z rúk, uviazať uzol. „Je dobre známym faktom, že niektoré problémy sa dajú ľahko analyzovať od údajov k problémovej otázke, zatiaľ čo iné, naopak, od problémovej otázky k údajom.

Takže sme sa pokúsili analyzovať tento problém, od otázky k údajom. Nech už je na lane uzol a jeho konce sú vo vašich rukách a nie sú uvoľnené. Skúsme sa vrátiť od vyriešeného problému k jeho údajom, do pôvodnej polohy: lano leží natiahnuté na stole a jeho konce nie sú uvoľnené z rúk.

Ukazuje sa, že ak narovnáte lano bez toho, aby ste pustili jeho konce z rúk, potom ľavá ruka, idúca pod natiahnuté lano a nad pravou rukou, drží pravý koniec lana; a pravá ruka, idúca nad povraz a pod ľavou rukou, drží ľavý koniec povrazu

Myslím, že po tejto analýze problému bolo každému jasné, ako uviazať uzol na lano, musíte urobiť všetko v opačnom poradí.

Ďalšie dve techniky rýchleho násobenia.

Ukážem vám, ako rýchlo násobiť čísla ako 24 a 26, 63 a 67, 84 a 86 atď. p., teda keď sú vo faktoroch rovnaké počty desiatok a jednotky spolu tvoria presne 10. Uveďte príklady.

* 34 a 36, 53 a 57, 72 a 78,

* Získate 1224, 3021, 5616.

Napríklad musíte vynásobiť 53 x 57. Vynásobím 5 x 6 (1 viac ako 5), ukáže sa 30 - toľko stoviek v produkte; Vynásobím 3 x 7, ukáže sa 21 - toľko jednotiek je v produkte. Takže 53 x 57 = 3021.

* Ako to vysvetliť?

(50 + 3) X 57 = 50 X 57 + 3 X 57 = 50 X (50 + 7) + 3 X (50 + 7) = 50 X 50 + 7 X 50 + 3 x 50 + 3 X 7 = 2500 + + 50 X (7 + 3) + 3 X 7 = 2 500 + 50 X 10 + 3 X 7 = =: 25 sto. + 5 stoviek. +3 X 7 = 30 buniek. + 3 X 7 = 5 X 6 buniek. + 21.

Pozrime sa, ako môžete rýchlo vynásobiť dvojciferné čísla v rámci 20. Napríklad, ak chcete vynásobiť 14 číslom 17, musíte pridať jednotky 4 a 7, dostanete 11 - toľko desiatok bude v súčine (tj. je 10 jednotiek). Potom musíte vynásobiť 4 x 7, dostanete 28 - toľko jednotiek bude v produkte. Navyše k výsledným číslam 110 a 28 musíme pripočítať presne 100. To znamená, že 14 X 17 = 100 + 110 + 28 = 238. V skutočnosti:

14 X 17 = 14 X (10 + 7) = 14 X 10 + 14 X 7 = (10 + + 4) X 10 + (10 + 4) X 7 = 10 X 10 + 4 X 10 + 10 X 7 + 4 X7 = 100 + (4 + 7) X10 + 4 X7 = 100 + 110 + + 28.

Potom sme vyriešili nasledujúce príklady: 13 x 16 = 100 + (3 + 6) X 10 + 3 x 6 = 100 + 90 + + 18 = 208; 14 x 18 = 100 + 120 + 32 = 252.

Násobenie na počítadle

Tu je niekoľko techník, pomocou ktorých bude každý, kto vie, ako rýchlo pridať na počítadle, schopný rýchlo vykonať príklady násobenia, s ktorými sa v praxi stretáva.

Násobenie 2 a 3 je nahradené dvojitým a trojitým sčítaním.

Pri násobení 4 najprv vynásobte 2 a tento výsledok pripočítajte k sebe.

Násobenie čísla 5 sa robí na počítadle takto: posuňte celé číslo o jeden drôt vyššie, to znamená, vynásobte ho 10 a potom toto 10-násobné číslo rozdeľte na polovicu (ako delenie 2 pomocou počítadla.

Namiesto násobenia 6, násobte 5 a pridajte to, čo sa násobí.

Namiesto násobenia 7, násobte 10 a odpočítajte vynásobené trikrát.

Násobenie číslom 8 sa nahradí násobením číslom 10 mínus dva krát.

Rovnakým spôsobom sa násobia 9: nahradia to násobením 10 mínus jedna násobená.

Pri násobení 10 preneste, ako sme už povedali, všetky čísla o jeden drôt vyššie.

Čitateľ zrejme sám príde na to, ako postupovať pri násobení číslami väčšími ako 10 a aké zámeny tu budú najvýhodnejšie. Faktor 11 treba samozrejme nahradiť 10 + 1. Faktor 12 treba nahradiť 10 + 2 alebo prakticky 2 + 10, to znamená, že najprv dajú bokom zdvojnásobené číslo a potom pripočítajú desaťnásobok. Násobiteľ 13 sa nahradí 10 + 3 atď.

Pozrime sa na niekoľko špeciálnych prípadov pre prvých sto multiplikátorov:

Mimochodom, je ľahké vidieť, že pomocou počítadla je veľmi vhodné násobiť číslami, ako sú 22, 33, 44, 55 atď.; Preto sa pri delení faktorov musíme snažiť používať podobné čísla s rovnakými číslicami.

Podobné techniky sa používajú aj pri násobení číslami väčšími ako 100. Ak sú takéto umelé techniky zdĺhavé, potom, samozrejme, vždy môžeme násobiť pomocou počítadla. všeobecné pravidlo, vynásobením každej číslice násobiteľa a zapísaním čiastkových súčinov - to ešte dáva určité skrátenie času.

"Ruská" metóda násobenia

Nemôžete násobiť viacciferné čísla, dokonca ani dvojciferné, pokiaľ si nezapamätáte všetky výsledky násobenia jednociferných čísel, teda toho, čo sa nazýva násobilka. V starodávnej „aritmetike“ Magnitského, o ktorej sme sa už zmienili, je potreba solídnych znalostí násobilky oslavovaná v nasledujúcich veršoch (moderných ušiach cudzích):

Pokiaľ niekto neopakuje tabuľky a nie je hrdý, nemôže vedieť číslom, čo má násobiť

A podľa všetkých vied nie som oslobodený od mučenia, Koliko neučí tuniaka a deprimuje ma

A nebude to prospešné, ak zabudne.

Autor týchto veršov zjavne nevedel alebo prehliadol, že existuje spôsob, ako násobiť čísla bez znalosti násobilky. Táto metóda, podobná našim školským metódam, sa používala v každodennom živote ruských roľníkov a bola u nich zdedená z dávnych čias.

Jeho podstatou je, že násobenie akýchkoľvek dvoch čísel sa redukuje na sériu postupných delení jedného čísla na polovicu pri súčasnom zdvojnásobení druhého čísla. Tu je príklad:

Delenie na polovicu pokračuje dovtedy, kým sa výška v kvociente neukáže ako 1, pričom sa súčasne zdvojnásobí druhé číslo. Posledné zdvojnásobené číslo dáva požadovaný výsledok. Nie je ťažké pochopiť, na čom je táto metóda založená: produkt sa nemení, ak sa jeden faktor zníži na polovicu a druhý sa zdvojnásobí. Je teda jasné, že v dôsledku mnohonásobného opakovania tejto operácie sa získa požadovaný produkt.

Čo však robiť, ak zároveň... Je možné rozdeliť nepárne číslo na polovicu?

Ľudová metóda ľahko prekonáva túto ťažkosť. Je potrebné, hovorí pravidlo, v prípade nepárneho čísla hodiť jeden a zvyšok rozdeliť na polovicu; ale potom k jedinému číslu pravého stĺpca bude potrebné pripočítať všetky tie čísla tohto stĺpca, ktoré sú oproti nepárnym číslam ľavého stĺpca - bude sa hľadať súčet? pracujem. V praxi sa to robí tak, že všetky riadky s párnymi ľavými číslami sú prečiarknuté; Zostanú len tie, ktoré obsahujú nepárne číslo vľavo.

Tu je príklad (hviezdičky označujú, že tento riadok by mal byť prečiarknutý):

Sčítaním neprečiarknutých čísel dostaneme úplne správny výsledok: 17 + 34 + 272 = 32 Na čom je táto technika založená?

Správnosť techniky sa ukáže, ak to vezmeme do úvahy

19X17 = (18+ 1)X17= 18X17+17, 9X34 = (8 + 1)X34=; 8X34 + 34 atď.

Je jasné, že čísla 17, 34 atď., ktoré sa stratia pri delení nepárneho čísla na polovicu, musia byť pripočítané k výsledku posledného násobenia, aby sa získal súčin.

Príklady zrýchleného násobenia

Už sme spomenuli, že existujú aj pohodlné spôsoby vykonávania tých jednotlivých operácií násobenia, na ktoré sa rozkladá každá z vyššie uvedených techník. Niektoré z nich sú veľmi jednoduché a pohodlne použiteľné, robia výpočty tak jednoduché, že nie je na škodu si ich zapamätať, aby ste ich mohli použiť v bežných výpočtoch.

Ide napríklad o techniku krížového násobenia, ktorá je veľmi pohodlná pri práci s dvojcifernými číslami. Metóda nie je nová; siaha až ku Grékom a Hindom a v staroveku sa nazývala „metóda blesku“ alebo „násobenie krížom“. Teraz je to zabudnuté a nezaškodí si to pripomenúť1.

Predpokladajme, že chcete vynásobiť 24X32. Mentálne usporiadajte číslo podľa nasledujúci diagram, jeden pod druhým:

Teraz postupne vykonáme nasledujúce kroky:

1)4X2 = 8 je posledná číslica výsledku.

2)2X2 = 4; 4X3=12; 4+12=16; 6 - predposledná číslica výsledku; 1 pamätať.

3) 2X3 = 6 a máme na pamäti aj jednotku

7 je prvá číslica výsledku.

Získame všetky číslice súčinu: 7, 6, 8 -- 768.

Po krátkom cvičení sa táto technika naučí veľmi ľahko.

Iná metóda, ktorá spočíva v použití takzvaných „sčítaní“, sa pohodlne používa v prípadoch, keď sa násobené čísla blížia k 100.

Povedzme, že chcete vynásobiť 92x96. „Sčítanie“ pre 92 až 100 bude 8, pre 96 - 4. Akcia sa vykonáva podľa nasledujúcej schémy: multiplikátory: 92 a 96 „sčítanie“: 8 a 4.

Prvé dve číslice výsledku sa získajú jednoduchým odčítaním „doplnku“ násobiteľa od násobiteľa alebo naopak, t. j. 4 sa odpočíta od 92 alebo 8 sa odpočíta od 96.

V oboch prípadoch máme 88; k tomuto číslu sa pripočíta súčin „sčítaní“: 8X4 = 32. Dostaneme výsledok 8832.

To, že získaný výsledok musí byť správny, je jasne vidieť z nasledujúcich transformácií:

92x9b = 88X96 = 88(100-4) = 88 X 100-88X4

1 4X96= 4 (88 + 8)= 4X 8 + 88X4 92x96 8832+0

Ďalší príklad. Musíte vynásobiť 78 x 77: faktory: 78 a 77 „prírastky“: 22 a 23.

78 – 23 = 55, 22 x 23 = 506, 5 500 + 506 = 6 006.

Tretí príklad. Vynásobte 99 x 9.

multiplikátory: 99 a 98 „extra“: 1 a 2.

99-2 = 97, 1 x 2 = 2.

V tomto prípade si musíme uvedomiť, že 97 tu znamená počet stoviek. Tak to zrátame.

Agafurov Maxim

Recenzia študentskej výskumnej práce.

Výskumnú prácu vykonal študent 7. triedy „A“ MBOU „Stredná škola č. 2“ Agafurov Maxim.
Vedúci výskumu: učiteľ matematiky – Lukyanova O.A.
Téma: "Neobvyklé metódy násobenia." Druh práce: abstrakt. táto práca je dnes relevantné, pretože znalosť zjednodušených metód mentálnych výpočtov zostáva nevyhnutná aj pri úplnej mechanizácii všetkých najnáročnejších výpočtových procesov. Mentálne výpočty umožňujú nielen rýchlo vykonávať mentálne výpočty, ale aj sledovať, vyhodnocovať, vyhľadávať a opravovať chyby vo výsledkoch výpočtov vykonávaných pomocou kalkulačky. Zvládnutie výpočtových schopností navyše rozvíja pamäť a pomáha školákom plne zvládnuť učivo z fyziky a matematiky.
Výskumná časť práce bola ukončená. Uvádzajú sa vysvetlenia týchto príkladov a vyvodzujú sa príslušné závery.
Ciele a ciele vedy výskumná práca formulované správne a zodpovedajú uvedenej téme.
Odborná literatúra bola preštudovaná kvalitatívne s dostatočnou hĺbkou.
Závery výskumnej práce sú logické a teoreticky opodstatnené.
Práca prezentuje výskumnú časť na dostatočnej úrovni. Jej popis zodpovedá zisteniam. Väčšina z práca bola vykonávaná prevažne samostatne, s malým množstvom usmerňujúcich rád a úkonov zo strany manažéra.

Stiahnuť ▼:

Náhľad:


Úvod
Spôsoby násobenia viacciferných čísel
1.1. „Žiarlivosť alebo množenie mriežky“………………………………..4


1.2. „Ruský sedliacky spôsob“………………………………………5 1.3. „Čínsky spôsob množenia“………………………………………....6
Výskumná časť.
2.1. Umocnenie ľubovoľného dvojciferného čísla………………………...6 2.2. Druhá mocnina čísla blízkeho „okrúhlemu“…………………………………7
2.4. Nový spôsob odmocňovania čísel od 40 do 60……………… 2.5. Umocnenie čísla končiaceho na 5………………………8 2.6 Umocnenie čísla končiaceho na 1………………………8 2.7. Umocnenie čísla končiaceho na 6………………………8 2.8. Umocnenie čísla končiaceho na 9………………………8 2.9. Umocnenie čísla končiaceho na 4………………………8 Záver. Bibliografia.

Úvod « Počítanie a výpočty -

Základy poriadku v hlave.“

Johann Heinrich Pestalozzi (1746 - 1827)

Každý, kto od detstva študuje matematiku, rozvíja pozornosť, trénuje mozog, vôľu a rozvíja vytrvalosť a vytrvalosť pri dosahovaní cieľov.

Relevantnosť: Matematika je jednou z najdôležitejších vied na zemi a práve s ňou sa človek stretáva každý deň vo svojom živote. Mentálna aritmetika je najstarší a najjednoduchší spôsob výpočtu. Znalosť zjednodušených metód mentálnych výpočtov zostáva nevyhnutná aj pri úplnej mechanizácii všetkých najnáročnejších výpočtových procesov. Mentálne výpočty umožňujú nielen rýchlo vykonávať mentálne výpočty, ale aj sledovať, vyhodnocovať, vyhľadávať a opravovať chyby vo výsledkoch výpočtov vykonávaných pomocou kalkulačky. Zvládnutie výpočtových schopností navyše rozvíja pamäť a pomáha školákom plne zvládnuť učivo z fyziky a matematiky.

Bez výpočtov sa človek v každodennom živote nezaobíde. Preto nás na hodinách matematiky v prvom rade učia vykonávať operácie s číslami, teda počítať. Násobíme, delíme, sčítame a odčítame bežnými spôsobmi, ktoré sa učia v škole.

Zaujímalo by ma, či existujú nejaké iné spôsoby výpočtu? Ukázalo sa, že množiť sa dá nielen tak, ako nám to ponúkajú učebnice matematiky, ale aj inak. Pomocou online zdrojov som sa naučil veľa nezvyčajných spôsobov množenia. Koniec koncov, schopnosť rýchlo vykonávať výpočty je úprimne prekvapujúca.

Účel štúdie :

Nájdite čo najviac neobvyklých metód výpočtu.
Naučte sa ich používať.
Vyberte si pre seba tie najzaujímavejšie, než aké ponúkajú v škole, a použite ich pri počítaní.

Ciele výskumu:

1. Zoznámte sa so starými metódami násobenia, ako sú: „Žiarlivosť, alebo mriežkové násobenie“, „Hrad“, „Ruská sedliacka metóda“, „Lineárna metóda“.

2. Preskúmajte techniky slovného umocňovania čísel a aplikujte ich v praxi.

Trochu histórie.

Operácie násobenia a delenia boli obzvlášť ťažké za starých čias. Potom neexistovala žiadna metóda vyvinutá praxou pre každú akciu.Naopak, súčasne sa používal takmer tucet rôznych metód násobenia a delenia - techniky jedna zložitejšia ako druhá, ktoré si človek s priemernými schopnosťami nedokázal zapamätať. Každý učiteľ počítania sa držal svojej obľúbenej techniky, každý „majster divízie“ (takíto špecialisti boli) chválil svoj vlastný spôsob vykonávania tejto akcie.V priebehu tisícročí vývoja matematiky bolo vynájdených mnoho metód násobenia. Okrem násobiliek sú všetky ťažkopádne, zložité a ťažko zapamätateľné. Verilo sa, že zvládnutie umenia rýchleho množenia si vyžaduje zvláštny prirodzený talent. K obyčajným ľuďom Pre tých, ktorí nemali špeciálne matematické nadanie, bolo toto umenie nedostupné.

Pozrime sa na najzaujímavejšie a najjednoduchšie spôsoby násobenia.

1.1. "Žiarlivosť alebo množenie mriežky"

Taliansky matematik Luca Pacioli z 15. storočia uvádza 8 spôsobov násobenia. Najzaujímavejšie z nich sú podľa mňa „žiarlivosť alebo množenie mriežok“ a „hrad“.

Vynásobme 347 číslom 29.

Nakreslite obdĺžnik, rozdeľte ho na štvorce, štvorce rozdeľte diagonálne. Výsledkom je obraz podobný mriežkovým okeniciam benátskych domov. Odtiaľ pochádza aj názov metódy.

V hornej časti tabuľky napíšeme číslo 347 a vpravo zhora nadol - 29

Do každého štvorca zadáme súčin čísel umiestnených v jednom riadku a jednom stĺpci s týmto štvorcom. Desiatky sú umiestnené v hornom trojuholníku a jednotky sú umiestnené v dolnom trojuholníku. Čísla sa pridávajú pozdĺž každej uhlopriečky. Výsledky sú zapísané naľavo a napravo od tabuľky.

Odpoveď je 10063.

Nevýhody tejto metódy spočívajú v tom, že zostrojenie pravouhlej tabuľky je náročné na prácu, pričom samotný proces násobenia je zaujímavý a vypĺňanie tabuľky pripomína hru.

1.2. "Ruský sedliacky spôsob"

V Rusku bola medzi roľníkmi bežná metóda, ktorá nevyžadovala znalosť celej násobilky. Všetko, čo potrebujete, je schopnosť násobiť a deliť čísla 2.

Na jeden riadok napíšeme jedno číslo vľavo a druhé vpravo Ľavé číslo vydelíme 2, pravé číslo vynásobíme 2 a výsledky zapíšeme do stĺpca. Ak pri delení vznikne zvyšok, zahodí sa. Násobenie a delenie 2 pokračuje, kým naľavo nezostane 1.

Potom prečiarkneme tie riadky zo stĺpca, v ktorom sú vľavo párne čísla. Teraz spočítajte zostávajúce čísla v pravom stĺpci.

Odpoveď je 1972026.

1.3.Čínska metóda násobenia.

Teraz si predstavme metódu násobenia, o ktorej sa na internete intenzívne diskutuje a ktorá sa nazýva čínska metóda. Pri násobení čísel sa vypočítajú priesečníky čiar, ktoré zodpovedajú počtu číslic každej číslice oboch faktorov.

Na list papiera nakreslíme čiary jednu po druhej, ktorých počet je určený z tohto príkladu.

Prvých 32: 3 červené čiary a trochu nižšie - 2 modré. Potom 21: kolmo na tie, ktoré už boli nakreslené, najprv nakreslite 2 zelené, potom 1 karmínovú. DÔLEŽITÉ: riadky prvého čísla sú nakreslené v smere z ľavého horného rohu do pravého dolného rohu, riadky druhého čísla - z ľavého dolného rohu do pravého horného rohu. Potom spočítame počet priesečníkov v každej z troch oblastí (na obrázku sú oblasti označené ako kruhy). Takže v prvom regióne (región stoviek) je 6 bodov, v druhom (región desiatok) - 7 bodov, v treťom (región jednotiek) - 2 body. Preto je odpoveď 672.

2. Výskumná časť

Techniky rýchleho počítania rozvíjajú pamäť. Týka sa to nielen matematiky, ale aj iných predmetov, ktoré sa v škole študujú.

Do práce by som rád pridal aj spôsoby slovného odmocnenia čísel bez použitia kalkulačky a, čo je nevyhnutné pri riešení problémov GIA a Jednotnej štátnej skúšky, je aj dobrým mentálnym tréningom.

A Teraz prejdime k niekoľkým zaujímavým a páčili sa mi spôsoby slovného umocňovania čísel,používa sa na hodinách algebry a geometrie.

2.1. Umocnenie ľubovoľného dvojciferného čísla.

Ak si zapamätáte druhé mocniny všetkých čísel od 1 do 25, potom je ľahké nájsť druhú mocninu akéhokoľvek dvojciferného čísla väčšieho ako 25.

Aby ste našli druhú mocninu ľubovoľného dvojciferného čísla, musíte vynásobiť rozdiel medzi týmto číslom a 25 číslom 100 a k výslednému súčinu pripočítať druhú mocninu doplnku daného čísla na 50 alebo druhú mocninu jeho prebytku nad 50.

Pozrime sa na príklad:

37 2 =12*100+13 2 =1200+169=1369

(M-25)*100+ (50-M)2=100M-2500+2500-100M+M2=M2.

2.2. Druhá mocnina čísla blízkeho „okrúhlemu“.

Výpočet štvorcov v diskutovaných príkladoch je založený na vzorci

A² = (a + b) (a – b) + b²,

V ktorom úspešný výber čísel V výrazne zjednodušuje výpočty: po prvé, jedným z faktorov musí byť „okrúhle“ číslo (je žiaduce, aby iba prvá číslica bola nenulová), po druhé, samotné číslo V by mal byť ľahko štvorcový, t. j. mal by byť malý. Tieto podmienky sú realizované presne v číslach A , blízko k „okrúhlemu“.

192² = 200*184 + 8² = 36864, / (192+8)(192-8)+ 8²/

412² = 400*424 + 12² = 169744, /(412-12)(412+12)+ 12²/

2.3. Umocnenie čísel od 40 do 50.

2.4. Umocnenie čísel od 50 do 60.

Na druhú mocninu čísla šiestej desiatky (51,52,53,54,55,56,57,58,59)
k počtu jednotiek treba pripočítať 25 a k tomuto súčtu pripočítať druhú mocninu počtu jednotiek.
Napríklad:
54*54=(4+25)*100+4*4=2916
57*57=(7+25)*100+7*7=3249

2.5. Umocnenie čísla končiaceho na 5.

Vynásobte počet desiatok nasledujúcim počtom desiatok a pridajte 25.

15*15 = 10*20+ 25=225 alebo (1*2 a pridajte 25 doprava)

35*35 =30*40 +25= 1225 (3*4 a pridajte 25 doprava)

65*65 = 60*70+25=4225 (6*7 a pridajte 25 doprava)

2.6. Druhá mocnina čísla končiaceho na 1.

Keď umocňujete číslo končiace na 1, musíte túto jednotku nahradiť 0, odmocniť nové číslo a pridať k tomuto štvorcu pôvodné číslo a číslo získané nahradením 1 nulou.

Príklad č. 6. 71 2 = ?

71→70→70 2 =4900→4900+70+71=5041=71 2 .

2.7. Druhá mocnina čísla končiaceho na 6.

Keď umocňujete číslo končiace na 6, musíte nahradiť 6 číslom 5, odmocniť nové číslo (ako bolo popísané vyššie) a pridať k tomuto štvorcu pôvodné číslo a číslo získané nahradením 6 číslom 5.

Príklad č.7. 56 2 =?

56→55→55 2 =3025(5 6=30→3025) →3025+55+56 = 3136= 56 2 .

2.8. Druhá mocnina čísla končiaceho na 9.

Pri kvadratúre čísla končiaceho na 9 je potrebné túto číslicu 9 nahradiť 0 (dostaneme ďalšie prirodzené číslo), odmocniť nové číslo a od tohto štvorca odčítať pôvodné číslo a číslo získané nahradením 9 nulou.

Príklad č. 8. 59 2 =?

59 → 60→60 2 =3600→ 3600 – 60 – 59 = 3481= 59 2 .

2.9. Druhá mocnina čísla končiaceho na 4.

Pri umocňovaní čísla končiaceho na 4 je potrebné nahradiť číslicu 4 číslom 5, odmocniť nové číslo a od tohto štvorca odčítať pôvodné číslo a číslo získané nahradením 4 číslom 5.

Príklad č. 9. 84 2 =?

84→85→85 2 =7225(8 9=72→7225) →7225 – 85 – 84 = 7056 =84 2 .

2.10. Pri kvadratúre je často vhodné použiť vzorec (a b) 2 = a 2 + b 2 2ab.

Príklad č.10.

41 2 = (40+1) 2 =1600+1+80=1681.

Záver

Pri vykonávaní výskumnej práce som potreboval nielen vedomosti, ktoré mám, ale aj potrebnú prácu s doplnkovou literatúrou.

1. V priebehu práce som našiel a osvojil si rôznymi spôsobmi násobenie viacciferných čísel a môžem konštatovať nasledovné - väčšina metód násobenia viacciferných čísel je založená na znalosti násobilky

Metóda „násobenia mriežky“ nie je horšia ako všeobecne akceptovaná metóda. Je to ešte jednoduchšie, keďže čísla sa zadávajú do buniek tabuľky priamo z násobilky bez súčasného sčítania, ktoré je bežné pri štandardnej metóde;

- metóda násobenia „ruský roľník“ je oveľa jednoduchšia ako predtým diskutované metódy. Ale je tiež veľmi objemný.

Ako najjednoduchšia metóda sa mi zdala čínska metóda násobenia, ktorú používali Číňania, keďže nevyžaduje znalosť násobilky. Keď som sa naučil počítať všetkými prezentovanými spôsobmi, dospel som k záveru, že najjednoduchšie metódy sú tie, ktoré študujeme v škole, možno sú nám známejšie.

2. Naučil som sa niekoľko techník duševného počítania, ktoré mi pomôžu v živote. Práca na projekte ma veľmi zaujala. Naučil som sa spôsoby násobenia, ktoré boli pre mňa nové, a pozrel som sa na rôzne techniky kvadratúry čísel. Mnohé z výpočtov zahŕňajú skrátené vzorce násobenia, ktoré som sa naučil na hodine algebry. Pomocou zjednodušených mentálnych výpočtových techník môžem teraz vykonávať časovo najnáročnejšie aritmetické operácie bez použitia kalkulačky alebo počítača. Začal som sa zaujímať nielen ja, ale aj moji rodičia. Ukázal som techniky orálneho násobenia svojim priateľom a spolužiakom. Znalosť techník zjednodušených mentálnych výpočtov je dôležitá najmä v prípadoch, keď nemáte k dispozícii tabuľky alebo kalkulačku. Mal som túžbu pokračovať v tejto práci a naučiť sa viac techník duševného počítania. Myslím si, že moja práca nebude pre mňa márna, všetky získané vedomosti budem môcť využiť pri absolvovaní Štátnej skúšky a Jednotnej štátnej skúšky.

Donskoy, 2013