Tipuri de unghiuri. Semne de paralelism a două drepte

Unghiuri.

Concepte de bază.

Colţ este o figură formată din două raze care emană dintr-un punct.

Colțul de sus- acesta este punctul din care ies două raze care formează acest unghi.

Bisectoare- Aceasta este o rază care iese din partea de sus a unghiului și împarte unghiul la jumătate.

Unghi drept- este un unghi ale cărui laturi se află pe același plan; egal cu 180? si este drept.

Unghi drept- acesta este un unghi egal cu jumătate din unghiul desfășurat; egal cu 90?.

Unghi ascuțit este un unghi mai mic decât un unghi drept.

Unghi obtuz- Acesta este un unghi care este mai mare decât un unghi drept, dar mai mic decât un unghi drept.

Un unghi sparge un plan în două părți. Fiecare parte este numită unghi plat.

Se numesc unghiuri plate cu laturile comune adiţional.

Dacă un unghi plan face parte dintr-un semiplan, atunci măsura gradului său se numește măsura gradului unui unghi obișnuit cu aceleași laturi.

Dacă un unghi plan conține un semiplan, atunci măsura gradului său este egală cu 360 º - α, unde α este măsura gradului unui unghi plan suplimentar.

Unghiuri egale.

Acestea sunt unghiurile care coincid atunci când sunt suprapuse.

Colțuri adiacente.

Cele două unghiuri se numesc adiacent, dacă au o latură în comun, iar celelalte laturi ale acestor unghiuri sunt semilinii suplimentare.

Colțurile din imagine (anunț)Şi (CD) adiacent. Au o latură d general, și laturile oŞi c- linii suplimentare semidreapte.

Teorema:

Suma unghiurilor adiacente este de 180º.

Din teoremă rezultă:

Dacă două unghiuri sunt egale, atunci unghiurile lor adiacente sunt egale.

Dacă unghiul nu este rotit, atunci măsura gradului său este mai mică de 180º.

Un unghi adiacent unui unghi drept este un unghi drept.

Unghiuri verticale.

Cele două unghiuri se numesc vertical, dacă laturile unui unghi sunt semilinii complementare ale laturilor celuilalt. Sunt create prin intersecția a două drepte și nu sunt adiacente, au un vârf comun și aceeași măsură de grad.

În figură, unghiurile (A 1 B 1) și (A 2 B 2) sunt verticale. Laturile A 2 și B 2 ale celui de-al doilea unghi sunt semidreapte complementare ale laturilor A 1 și B 1 ale primului unghi.

Teorema:

Unghiurile verticale sunt egale.

Colț central.

Unghiul centralîntr-un cerc este un unghi plat cu un vârf în centru (Fig. 1).

Se numește partea de cerc situată în interiorul unui unghi plan arc de cerc, corespunzător acestui unghi central (în Fig. 1, arcul AB este un arc de cerc).

Măsura gradului arcul de cerc se numește gradul de măsură a unghiului central corespunzător.

Unghiuri înscrise într-un cerc.

Se numește un unghi al cărui vârf se află pe un cerc și ale cărui laturi intersectează acest cerc înscris într-un cerc(Fig. 2).

Proprietăți:

Unghiuri la intersecția a două drepte cu o a treia.

Când liniile se intersectează oŞi b secantă c se formează opt unghiuri, care sunt indicate prin numere în figură. Unele perechi de aceste unghiuri au denumiri speciale:
unghiurile corespunzătoare: 1 și 5, 4 și 8, 2 și 6, 3 și 7;

unghiuri transversale: 3 și 5, 4 și 6;
unghiuri unilaterale: 4 și 5, 3 și 6.

Fiecare unghi, în funcție de dimensiunea sa, are propriul său nume:

Tip unghi	Dimensiunea în grade	Exemplu
Picant	Sub 90°
Direct	Egal cu 90°. Într-un desen, un unghi drept este de obicei notat printr-un simbol desenat dintr-o parte a unghiului pe cealaltă.
Bont	Mai mult de 90°, dar mai puțin de 180°
Extins	Egal cu 180° Un unghi drept este egal cu suma a două unghiuri drepte, iar un unghi drept este jumătate dintr-un unghi drept.
Convex	Mai mult de 180°, dar mai puțin de 360°
Deplin	Egal cu 360°

Cele două unghiuri se numesc adiacent, dacă au o latură în comun, iar celelalte două laturi formează o linie dreaptă:

Unghiuri MOPŞi PON adiacent, din moment ce grinda OP- partea comună și celelalte două părți - OMŞi PE alcătuiește o linie dreaptă.

Latura comună a unghiurilor adiacente se numește oblic spre drept, pe care se află celelalte două laturi, numai în cazul în care unghiurile adiacente nu sunt egale între ele. Dacă unghiurile adiacente sunt egale, atunci latura lor comună va fi perpendicular.

Suma unghiurilor adiacente este de 180°.

Cele două unghiuri se numesc vertical, dacă laturile unui unghi completează laturile celuilalt unghi cu linii drepte:

Unghiurile 1 și 3, precum și unghiurile 2 și 4, sunt verticale.

Unghiurile verticale sunt egale.

Să demonstrăm că unghiurile verticale sunt egale:

Suma lui ∠1 și ∠2 este un unghi drept. Și suma lui ∠3 și ∠2 este un unghi drept. Deci aceste două sume sunt egale:

∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.

În această egalitate, există un termen identic la stânga și la dreapta - ∠2. Egalitatea nu va fi încălcată dacă acest termen din stânga și dreapta este omis. Atunci o primim.

Cursul video „Obțineți un A” include toate subiectele necesare pentru succes promovarea examenului de stat unificat la matematică pentru 60-65 de puncte. Complet toate sarcinile 1-13 ale Examenului de stat Profil unificat la matematică. De asemenea, potrivit pentru promovarea examenului de stat unificat de bază la matematică. Dacă vrei să promovezi examenul de stat unificat cu 90-100 de puncte, trebuie să rezolvi partea 1 în 30 de minute și fără greșeli!

Curs de pregătire pentru Examenul Unificat de Stat pentru clasele 10-11, precum și pentru profesori. Tot ce aveți nevoie pentru a rezolva partea 1 a examenului de stat unificat la matematică (primele 12 probleme) și problema 13 (trigonometrie). Și acesta este mai mult de 70 de puncte la examenul de stat unificat și nici un student cu 100 de puncte, nici un student la științe umaniste nu se pot descurca fără ele.

Toată teoria necesară. Căi rapide soluții, capcane și secrete ale examenului de stat unificat. Au fost analizate toate sarcinile curente ale părții 1 din Banca de activități FIPI. Cursul respectă pe deplin cerințele Examenului de stat unificat 2018.

Cursul conține 5 subiecte mari, câte 2,5 ore fiecare. Fiecare subiect este dat de la zero, simplu și clar.

Sute de sarcini de examen de stat unificat. Probleme cu cuvinte și teoria probabilității. Algoritmi simpli și ușor de reținut pentru rezolvarea problemelor. Geometrie. Teorie, material de referință, analiza tuturor tipurilor de sarcini de examinare unificată de stat. Stereometrie. Soluții complicate, cheat sheets utile, dezvoltarea imaginației spațiale. Trigonometrie de la zero la problema 13. Înțelegerea în loc de înghesuială. Explicații clare ale conceptelor complexe. Algebră. Rădăcini, puteri și logaritmi, funcție și derivată. Baza soluției sarcini complexe 2 părți ale examenului de stat unificat.

Editat de Ivanitskaya V.P. - M.: Editura educaţională şi pedagogică de stat a Ministerului Educaţiei al RSFSR, 1959. - 272 p.
Descărcați(link direct) : egnnsholaster1959.djvu Anterior 1 .. 11 > .. >> Următorul

Dacă unghiurile adiacente sunt egale, atunci fiecare dintre ele se numește unghi drept. Latura lor comună se numește perpendiculară pe linia formată de celelalte două laturi. De asemenea, putem spune că bisectoarea unui unghi invers este perpendiculară pe dreapta formată de laturile sale.

Teorema. Dacă unghiurile sunt egale, atunci unghiurile adiacente sunt egale.

Fie (h, k) = ^. (I, m) și fie ^ (h!, k) și ^ (/", t) unghiurile adiacente corespunzătoare (Fig. 20). Fie, mai departe, / mișcarea la care ^ (h, k) este afișat în (I, tri Cu această mișcare, ^ extins (h, K) va fi mapat în extins (I, /"). Rezultă că ^(h", k) va fi mapat în ^(V, m), adică ^(h!, k) = ^(V, m).

Teorema. Există o bisectoare a oricărui unghi și, în plus, una unică.

Fie ^(A, k) diferit de cel expandat și fie regiunea sa interioară convexă. Să trasăm segmentele egale OA și OB pe laturile sale de la vârful O (Desenul 21, a) și să conectăm punctele A și B. În triunghiul isoscel AOB A = ^B (§ 8). Conectând mijlocul C al segmentului AB cu punctul O, obținem triunghiuri L OS și BOC care sunt egale în primul atribut. Prin urmare, AOC = BOC și, prin urmare, raza OS este o bisectoare (h, k).

Dacă (h, k) nu este convexă (în desen regiunea sa internă nu este umbrită), atunci conform precedentului

6}
t^

Conform teoremei, bisectoarea sa este raza m complementară razei /.

Din egalitatea triunghiurilor ACO și BCO rezultă, de asemenea, că ^ ACO = BCO1, adică raza CO este bisectoarea unui unghi inversat cu laturile CA și CB.

Să fie dat acum un ^(p, extins<7) (черт.21,6). Совершим движение, при котор ом р азвер нутый

ACB este afișat în

(p, q). Fasciculul de CO este mapat în fasciculul t. Deoarece ^ (p, t) = ^lBCO , ^BCO= ^ACO și ^ACO= = (q, t), atunci (p, t) = = ^(q, t), adică t -bisectoare (p, q ).

Fie / să fie bisectoarea

(A, A) și Г este o rază arbitrară care iese din vârful unghiului și se află în regiunea sa interioară. Dacă Γ se află în regiunea interioară ^(A, /), atunci ^(A, /")<^ (А, /) и ^ (А, Г) >^ (A, /). Prin urmare, ^(A, G)<^ (А, /"). Отсюда следует, что угол имеет единственную биссектрису. Теорема доказана.

Corolarul 1. Există una și doar una perpendiculară pe o dreaptă dată, care emană dintr-un punct dat de pe ea și se află într-un semiplan dat delimitat de această dreaptă.

Corolarul 2. Jumătățile de unghiuri egale sunt egale între ele.

Într-adevăr, dacă ^(A, A) = ^(A", A"), atunci există o mișcare / în care unul dintre ele este mapat în celălalt. Conform teoremei dovedite, bisectoarele lor / și Г pentru o mișcare dată ar trebui, de asemenea, mapate una în alta. Prin urmare ^(A, /) = ^(A", Г).

Deoarece toate unghiurile drepte sunt egale, un caz special al Corolarul 2 este propoziția: toate unghiurile drepte sunt egale între ele.

Dreaptele a și A care formează unghiuri drepte atunci când se intersectează se numesc perpendiculare (a ± b).

Reflecție dintr-o linie dreaptă. Fie ca linia dreaptă a se află în planul a. Semiplanurile formate în acest caz vor fi notate cu X și p. (Figura 22). Să luăm raza A pe o linie dreaptă

ieșind din punctul O. Prin proprietatea a 6 mișcări (§ 7), există o mișcare unică care mapează raza h în sine și semiplanul X în semiplanul jx. Toate punctele acestei raze, conform proprietății celor 5 mișcări, sunt mapate în sine. Toate punctele razei k, complementare razei directe h, sunt de asemenea mapate pe ele însele.

Deci, în timpul mișcării luate în considerare, toate punctele liniei a sunt mapate pe ele însele. Este ușor, mai departe, să vezi asta

Să luăm acum un punct în afara dreptei a.

Teorema. Prin orice punct care nu se află pe o dreaptă trece o singură linie perpendiculară pe dreapta dată.

Dovada. Fie M un punct situat în afara dreptei a (Fig. 23). Linia a împarte planul definit de această dreaptă și

punctul M, în două semiplane: semiplanul X care conține punctul M și semiplanul jx. Când este reflectat din dreapta a, punctul M este mapat la punctul M" al semiplanului jx. Deoarece punctele M și M" se află în semiplane diferite,

ah, apoi drept MM" și la naiba 23

se intersectează la unele

punctul M0, care, atunci când este reflectat, este mapat pe el însuși. Rezultă că linia dreaptă MM" este mapată pe ea însăși și, prin urmare, unghiurile / și 2 formate de aceasta cu linia dreaptă a (vezi Fig. 23) sunt mapate unul în celălalt.

Semiplanul jx este mapat în semiplanul X.

Mișcarea luată în considerare se numește reflexie din dreapta a.

Din existența bisectoarei unui unghi invers rezultă că prin orice punct situat pe dreapta a, este întotdeauna posibil să se tragă o dreaptă b perpendiculară pe dreapta a.

Aceasta înseamnă că aceste unghiuri sunt egale și, deoarece sunt, în plus, adiacente, atunci MM" ± a. Acum să fie trasată o altă dreaptă prin M, intersectând linia a într-un punct Af0. Va fi mapată în linia M "N0, un ^ MN0M0 va fi mapat în M"N0M0 Deci, ^ 3 = ^i4 Dar, în virtutea Axiomei 1 (§ 2), punctele M1 N0 și M" nu se află pe aceeași linie dreaptă. prin urmare, suma unghiurilor 3 și 4, adică ^ MN0M", nu este un unghi inversat. Rezultă că unghiurile 3 și 4 sunt diferite de un unghi drept și dreapta MN0 nu va fi perpendiculară pe dreapta a. Linia MM" este , prin urmare, singura dreaptă perpendiculară pe a și care trece prin punctul M.

Semne de paralelism a două drepte

Teorema 1. Dacă, când două drepte se intersectează cu o secante:

unghiurile încrucișate sunt egale sau

unghiurile corespunzătoare sunt egale sau

atunci suma unghiurilor unilaterale este de 180°

liniile sunt paralele(Fig. 1).

Dovada. Ne limităm la a demonstra cazul 1.

Fie dreptele care se intersectează a și b să fie transversale și unghiurile AB egale. De exemplu, ∠ 4 = ∠ 6. Să demonstrăm că a || b.

Să presupunem că liniile a și b nu sunt paralele. Apoi se intersectează într-un punct M și, prin urmare, unul dintre unghiurile 4 sau 6 va fi unghiul exterior al triunghiului ABM. Pentru certitudine, fie ∠ 4 unghiul extern al triunghiului ABM, iar ∠ 6 unghiul intern. Din teorema unghiului exterior al unui triunghi rezultă că ∠ 4 este mai mare decât ∠ 6, iar aceasta contrazice condiția, ceea ce înseamnă că dreptele a și 6 nu se pot intersecta, deci sunt paralele.

Corolarul 1. Două drepte diferite dintr-un plan perpendicular pe aceeași dreaptă sunt paralele(Fig. 2).

Comentariu. Modul în care tocmai am demonstrat cazul 1 al teoremei 1 se numește metoda demonstrației prin contradicție sau reducere la absurd. Această metodă și-a primit prenumele deoarece la începutul argumentului se face o presupunere care este contrară (opusă) a ceea ce trebuie dovedit. Se numește duce la absurd datorită faptului că, raționând pe baza presupunerii făcute, ajungem la o concluzie absurdă (la absurd). Primirea unei astfel de concluzii ne obligă să respingem presupunerea făcută la început și să o acceptăm pe cea care trebuia dovedită.

Sarcina 1. Construiți o dreaptă care trece printr-un punct dat M și paralelă cu o dreaptă dată a, care nu trece prin punctul M.

Soluţie. Desenăm o dreaptă p prin punctul M perpendicular pe dreapta a (Fig. 3).

Apoi trasăm o dreaptă b prin punctul M perpendicular pe dreapta p. Linia b este paralelă cu dreapta a conform corolarului teoremei 1.

Din problema luată în considerare rezultă o concluzie importantă:
printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată, este întotdeauna posibil să se tragă o dreaptă paralelă cu cea dată.

Proprietatea principală a dreptelor paralele este următoarea.

Axioma dreptelor paralele. Printr-un punct dat care nu se află pe o dreaptă dată, trece doar o singură dreaptă paralelă cu cea dată.

Să luăm în considerare câteva proprietăți ale dreptelor paralele care decurg din această axiomă.

1) Dacă o dreaptă intersectează una dintre cele două drepte paralele, atunci ea o intersectează și pe cealaltă (Fig. 4).

2) Dacă două linii diferite sunt paralele cu o a treia linie, atunci ele sunt paralele (Fig. 5).

Următoarea teoremă este de asemenea adevărată.

Teorema 2. Dacă două drepte paralele sunt intersectate de o transversală, atunci:

unghiurile transversale sunt egale;

unghiurile corespunzătoare sunt egale;

suma unghiurilor unilaterale este de 180°.

Corolarul 2. Dacă o dreaptă este perpendiculară pe una dintre cele două drepte paralele, atunci este și perpendiculară pe cealaltă(vezi fig. 2).

Comentariu. Teorema 2 se numește inversul teoremei 1. Concluzia teoremei 1 este condiția teoremei 2. Și condiția teoremei 1 este concluzia teoremei 2. Nu orice teoremă are inversă, adică dacă o anumită teoremă este adevărat, atunci teorema inversă poate fi falsă.

Să explicăm acest lucru folosind exemplul teoremei unghiurilor verticale. Această teoremă poate fi formulată după cum urmează: dacă două unghiuri sunt verticale, atunci ele sunt egale. Teorema inversă ar fi: dacă două unghiuri sunt egale, atunci ele sunt verticale. Și acest lucru, desigur, nu este adevărat. Două unghiuri egale nu trebuie să fie verticale.

Exemplul 1. Două linii paralele sunt traversate de o a treia. Se știe că diferența dintre două unghiuri interne unilaterale este de 30°. Găsiți aceste unghiuri.

Soluţie. Figura 6 îndeplinește condiția.