Cum să găsiți cea mai mare valoare derivată dintr-un grafic. Derivată a unei funcții

Au apărut noi sarcini. Să ne uităm la soluția lor.

Prototipul sarcinii B8 (nr. 317543)

Figura prezintă un grafic al funcției y=f(x) și punctele -2, -1, 1, 2 sunt marcate În care dintre aceste puncte este cea mai mare valoare a derivatei? Vă rugăm să indicați acest punct în răspunsul dvs.

După cum știm, se numește

limita raportului dintre incrementul unei funcții și incrementul argumentului, când incrementul argumentului tinde spre zero:

Derivata la un punct arată rata de schimbare a funcțieiîn acest moment. Cu cât funcția se schimbă mai repede, adică cu cât creșterea funcției este mai mare, cu atât unghiul de înclinare al tangentei este mai mare. Deoarece problema necesită determinarea punctului în care valoarea derivatei este cea mai mare, excludem din considerare punctele cu abscisa -1 și 1 - în aceste puncte funcția scade, iar derivata la ele este negativă.

Funcția crește în punctele -2 și 2. Cu toate acestea, crește la ele diferit - în punctul -2 graficul funcției crește mai abrupt decât în ​​punctul 2 și, prin urmare, creșterea funcției în acest punct și, prin urmare, derivata, este mai mare.

Raspuns: -2

Și o sarcină similară:

Prototipul sarcinii B8 (nr. 317544)

Figura prezintă un grafic al funcției și punctele -2, -1, 1, 4 sunt marcate În care dintre aceste puncte este derivata cea mai mică? Vă rugăm să indicați acest punct în răspunsul dvs.

Soluția la această problemă este similară cu soluția anterioară „exact opusul”

Suntem interesați de punctul în care derivata capătă cea mai mică valoare, adică căutăm punctul în care funcția scade cel mai repede - pe grafic acesta este punctul în care are loc cea mai abruptă „coborâre”. Acesta este punctul 4 de abscisă.

Problema B9 oferă un grafic al unei funcții sau derivate din care trebuie să determinați una dintre următoarele mărimi:

1. Valoarea derivatei la un punct x 0,
2. Puncte maxime sau minime (puncte extreme),
3. Intervale de funcții crescătoare și descrescătoare (intervale de monotonitate).

Funcțiile și derivatele prezentate în această problemă sunt întotdeauna continue, făcând soluția mult mai ușoară. În ciuda faptului că sarcina aparține secțiunii de analiză matematică, chiar și cei mai slabi elevi o pot face, deoarece nu există cunoștințe teoretice nu este necesar aici.

Pentru a găsi valoarea derivatei, punctelor extreme și intervalelor de monotonitate, există algoritmi simpli și universali - toți vor fi discutați mai jos.

Citiți cu atenție condițiile problemei B9 pentru a evita greșeli stupide: uneori dați peste texte destul de lungi, dar sunt puține condiții importante care afectează cursul soluției.

Calculul valorii derivate. Metoda în două puncte

Dacă problemei i se dă un grafic al unei funcții f(x), tangentă la acest grafic la un punct x 0 și este necesar să se găsească valoarea derivatei în acest punct, se aplică următorul algoritm:

1. Găsiți două puncte „adecvate” pe graficul tangentei: coordonatele lor trebuie să fie întregi. Să notăm aceste puncte ca A (x 1 ; y 1) și B (x 2 ; y 2). Notați corect coordonatele - acesta este un punct cheie în soluție și orice greșeală aici va duce la un răspuns incorect.
2. Cunoscând coordonatele, este ușor de calculat incrementul argumentului Δx = x 2 − x 1 și incrementul funcției Δy = y 2 − y 1 .
3. În final, găsim valoarea derivatei D = Δy/Δx. Cu alte cuvinte, trebuie să împărțiți incrementul funcției cu incrementul argumentului - și acesta va fi răspunsul.

Să remarcăm încă o dată: punctele A și B trebuie căutate exact pe tangentă, și nu pe graficul funcției f(x), așa cum se întâmplă adesea. Linia tangentă va conține în mod necesar cel puțin două astfel de puncte - altfel problema nu va fi formulată corect.

Luați în considerare punctele A (−3; 2) și B (−1; 6) și găsiți incrementele:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

Să aflăm valoarea derivatei: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al funcției y = f(x) și o tangentă la aceasta în punctul cu abscisa x 0. Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x 0 .

Luați în considerare punctele A (0; 3) și B (3; 0), găsiți incrementele:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

Acum găsim valoarea derivatei: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al funcției y = f(x) și o tangentă la aceasta în punctul cu abscisa x 0. Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x 0 .

Luați în considerare punctele A (0; 2) și B (5; 2) și găsiți incrementele:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

Rămâne de găsit valoarea derivatei: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Din ultimul exemplu, putem formula o regulă: dacă tangenta este paralelă cu axa OX, derivata funcției în punctul de tangență este zero. În acest caz, nici măcar nu trebuie să numărați nimic - doar uitați-vă la grafic.

Calculul punctelor maxime și minime

Uneori, în loc de graficul unei funcții, problema B9 oferă un grafic al derivatei și necesită găsirea punctului maxim sau minim al funcției. În această situație, metoda în două puncte este inutilă, dar există un alt algoritm și mai simplu. Mai întâi, să definim terminologia:

1. Punctul x 0 se numește punctul maxim al funcției f(x) dacă în vreo vecinătate a acestui punct este valabilă următoarea inegalitate: f(x 0) ≥ f(x).
2. Punctul x 0 se numește punctul minim al funcției f(x) dacă într-o vecinătate a acestui punct este valabilă următoarea inegalitate: f(x 0) ≤ f(x).

Pentru a găsi punctele maxime și minime din graficul derivat, trebuie doar să urmați acești pași:

1. Redesenați graficul derivat, eliminând toate informațiile inutile. După cum arată practica, datele inutile doar interferează cu decizia. Prin urmare, marchem zerourile derivatei pe axa de coordonate - și asta este tot.
2. Aflați semnele derivatei pe intervalele dintre zerouri. Dacă pentru un punct x 0 se știe că f'(x 0) ≠ 0, atunci sunt posibile doar două opțiuni: f'(x 0) ≥ 0 sau f'(x 0) ≤ 0. Semnul derivatei este ușor de determinat din desenul original: dacă graficul derivat se află deasupra axei OX, atunci f'(x) ≥ 0. Și invers, dacă graficul derivat se află sub axa OX, atunci f'(x) ≤ 0.
3. Verificăm din nou zerourile și semnele derivatei. Acolo unde semnul se schimbă de la minus la plus este punctul minim. În schimb, dacă semnul derivatei se schimbă de la plus la minus, acesta este punctul maxim. Numărarea se face întotdeauna de la stânga la dreapta.

Această schemă funcționează numai pentru funcții continue - nu există altele în problema B9.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe intervalul [−5; 5]. Aflați punctul minim al funcției f(x) pe acest segment.

Să scăpăm de informațiile inutile și să lăsăm doar granițele [−5; 5] și zerourile derivatei x = −3 și x = 2,5. De asemenea, notăm semnele:

Evident, în punctul x = −3 semnul derivatei se schimbă din minus în plus. Acesta este punctul minim.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe intervalul [−3; 7]. Aflați punctul maxim al funcției f(x) pe acest segment.

Să redesenăm graficul, lăsând doar limitele [−3; 7] și zerourile derivatei x = −1,7 și x = 5. Să notăm semnele derivatei pe graficul rezultat. Avem:

Evident, în punctul x = 5 semnul derivatei se schimbă de la plus la minus - acesta este punctul maxim.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x), definită pe intervalul [−6; 4]. Aflați numărul de puncte maxime ale funcției f(x) aparținând segmentului [−4; 3].

Din condițiile problemei rezultă că este suficient să se considere doar partea din grafic limitată de segmentul [−4; 3]. Prin urmare, construim un nou grafic pe care marchem doar limitele [−4; 3] și zerourile derivatei din interiorul acesteia. Și anume, punctele x = −3,5 și x = 2. Se obține:

Pe acest grafic există un singur punct maxim x = 2. În acest punct semnul derivatei se schimbă de la plus la minus.

O mică notă despre punctele cu coordonate care nu sunt întregi. De exemplu, în ultima problemă a fost considerat punctul x = −3,5, dar cu același succes putem lua x = −3,4. Dacă problema este compilată corect, astfel de modificări nu ar trebui să afecteze răspunsul, deoarece punctele „fără un loc fix de reședință” nu participă direct la rezolvarea problemei. Desigur, acest truc nu va funcționa cu puncte întregi.

Găsirea intervalelor de funcție crescătoare și descrescătoare

Într-o astfel de problemă, precum punctele maxime și minime, se propune utilizarea graficului derivat pentru a găsi zone în care funcția în sine crește sau scade. Mai întâi, să definim ce sunt crescătoare și descrescătoare:

1. Se spune că o funcție f(x) este în creștere pe un segment dacă pentru oricare două puncte x 1 și x 2 din acest segment este adevărată următoarea afirmație: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Cu alte cuvinte, cu cât valoarea argumentului este mai mare, cu atât valoarea funcției este mai mare.
2. O funcție f(x) se numește descrescătoare pe un segment dacă pentru oricare două puncte x 1 și x 2 din acest segment este adevărată următoarea afirmație: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Aceste. O valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mici a funcției.

Să formulăm condiții suficiente pentru creștere și scădere:

1. Pentru ca o funcție continuă f(x) să crească pe segment, este suficient ca derivata ei în interiorul segmentului să fie pozitivă, i.e. f’(x) ≥ 0.
2. Pentru ca o funcție continuă f(x) să scadă pe segment, este suficient ca derivata ei în interiorul segmentului să fie negativă, adică. f’(x) ≤ 0.

Să acceptăm aceste afirmații fără dovezi. Astfel, obținem o schemă pentru găsirea intervalelor de creștere și descreștere, care este în multe privințe similară cu algoritmul de calcul al punctelor extreme:

1. Eliminați toate informațiile inutile. În graficul original al derivatei, ne interesează în primul rând zerourile funcției, așa că le vom lăsa doar pe acestea.
2. Marcați semnele derivatei la intervalele dintre zerouri. Unde f’(x) ≥ 0, funcția crește, iar unde f’(x) ≤ 0, ea scade. Dacă problema stabilește restricții asupra variabilei x, le marchem suplimentar pe un nou grafic.
3. Acum că știm comportamentul funcției și constrângerile, rămâne de calculat cantitatea necesară în problemă.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe intervalul [−3; 7,5]. Aflați intervalele de scădere ale funcției f(x). În răspunsul dvs., indicați suma numerelor întregi incluse în aceste intervale.

Ca de obicei, să redesenăm graficul și să marchem limitele [−3; 7.5], precum și zerourile derivatei x = −1.5 și x = 5.3. Apoi notăm semnele derivatei. Avem:

Deoarece derivata este negativă pe intervalul (− 1,5), acesta este intervalul funcției descrescătoare. Rămâne să însumăm toate numerele întregi care se află în acest interval:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x), definită pe intervalul [−10; 4]. Aflați intervalele de creștere ale funcției f(x). În răspunsul dvs., indicați lungimea celui mai mare dintre ele.

Să scăpăm de informațiile inutile. Să lăsăm doar limitele [−10; 4] și zerourile derivatei, dintre care au fost patru de data aceasta: x = −8, x = −6, x = −3 și x = 2. Să marchem semnele derivatei și să obținem următoarea imagine:

Suntem interesați de intervalele funcției crescătoare, i.e. astfel încât f’(x) ≥ 0. Există două astfel de intervale pe grafic: (−8; −6) și (−3; 2). Să le calculăm lungimile:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Deoarece trebuie să găsim lungimea celui mai mare dintre intervale, notăm valoarea l 2 = 5 ca răspuns.

Arătând legătura dintre semnul derivatei și natura monotonității funcției.

Vă rugăm să fiți extrem de atenți la următoarele. Uite, programul CE ți se dă! Funcția sau derivata ei

Dacă se oferă un grafic al derivatei, atunci ne vor interesa doar semnele și zerourile funcției. În principiu, nu ne interesează niciun „deal” sau „hollow”!

Sarcina 1.

Figura prezintă un grafic al unei funcții definite pe interval. Determinați numărul de puncte întregi la care derivata funcției este negativă.

Soluţie:

În figură, zonele cu funcție descrescătoare sunt evidențiate în culoare:

Aceste regiuni descrescătoare ale funcției conțin 4 valori întregi.

Sarcina 2.

Figura prezintă un grafic al unei funcții definite pe interval. Aflați numărul de puncte la care tangenta la graficul funcției este paralelă sau coincide cu dreapta.

Soluţie:

Odată ce tangenta la graficul unei funcții este paralelă (sau coincide) cu o dreaptă (sau, care este același lucru), având pantă, egal cu zero, atunci tangenta are un coeficient unghiular .

Aceasta înseamnă, la rândul său, că tangenta este paralelă cu axa, deoarece panta este tangenta unghiului de înclinare a tangentei la axă.

Prin urmare, găsim puncte extreme (puncte maxime și minime) pe grafic - tocmai în aceste puncte funcțiile tangente la grafic vor fi paralele cu axa.

Există 4 astfel de puncte.

Sarcina 3.

Figura prezintă un grafic al derivatei unei funcții definite pe interval. Aflați numărul de puncte la care tangenta la graficul funcției este paralelă sau coincide cu dreapta.

Soluţie:

Deoarece tangenta la graficul unei funcții este paralelă (sau coincide) cu o dreaptă care are o pantă, atunci tangenta are și o pantă.

Acest lucru înseamnă, la rândul său, că la punctele de atingere.

Prin urmare, ne uităm la câte puncte de pe grafic au o ordonată egală cu .

După cum puteți vedea, există patru astfel de puncte.

Sarcina 4.

Figura prezintă un grafic al unei funcții definite pe interval. Aflați numărul de puncte la care derivata funcției este 0.

Soluţie:

Derivata este egala cu zero la punctele extreme. Avem 4 dintre ele:

Sarcina 5.

Figura prezintă un grafic al unei funcții și unsprezece puncte pe axa x:. În câte dintre aceste puncte derivata funcției este negativă?

Soluţie:

La intervale de funcție descrescătoare, derivata sa ia valori negative. Și funcția scade la puncte. Există 4 astfel de puncte.

Sarcina 6.

Figura prezintă un grafic al unei funcții definite pe interval. Aflați suma punctelor extreme ale funcției.

Soluţie:

Puncte extreme– acestea sunt punctele maxime (-3, -1, 1) și punctele minime (-2, 0, 3).

Suma punctelor extreme: -3-1+1-2+0+3=-2.

Sarcina 7.

Figura prezintă un grafic al derivatei unei funcții definite pe interval. Aflați intervalele de creștere ale funcției. În răspunsul dvs., indicați suma punctelor întregi incluse în aceste intervale.

Soluţie:

Figura evidențiază intervalele în care derivata funcției este nenegativă.

Nu există puncte întregi pe intervalul crescător mic pe intervalul crescător există patru valori întregi: , , și .

Suma lor:

Sarcina 8.

Figura prezintă un grafic al derivatei unei funcții definite pe interval. Aflați intervalele de creștere ale funcției. În răspunsul dvs., indicați lungimea celui mai mare dintre ele.

Soluţie:

În figură, toate intervalele la care derivata este pozitivă sunt evidențiate color, ceea ce înseamnă că funcția în sine crește pe aceste intervale.

Lungimea celui mai mare dintre ele este de 6.

Sarcina 9.

Figura prezintă un grafic al derivatei unei funcții definite pe interval. În ce punct de pe segment face cea mai mare valoare.

Soluţie:

Să vedem cum se comportă graficul pe segment, care este ceea ce ne interesează doar semnul derivatului .

Semnul derivatei pe este minus, deoarece graficul de pe acest segment este sub axă.

Buna ziua! Să ajungem la următorul examen de stat unificat cu pregătire sistematică de înaltă calitate și perseverență în măcinarea granitului științei!!! ÎNExistă o sarcină de concurs la sfârșitul postării, fii primul! Într-unul din articolele din această secțiune, tu și cu mine, în care s-a dat graficul funcției și s-au pus diverse întrebări referitoare la extreme, intervale de creștere (scădere) și altele.

În acest articol vom lua în considerare problemele incluse în examenul de stat unificat la matematică, în care este dat un grafic al derivatei unei funcții și se pun următoarele întrebări:

1. În ce punct al unui segment dat funcția ia cea mai mare (sau cea mai mică) valoare.

2. Aflați numărul de puncte maxime (sau minime) ale funcției aparținând unui segment dat.

3. Aflați numărul de puncte extreme ale funcției aparținând unui segment dat.

4. Aflați punctul extrem al funcției aparținând segmentului dat.

5. Aflați intervalele funcției crescătoare (sau descrescătoare) și indicați în răspuns suma punctelor întregi incluse în aceste intervale.

6. Aflați intervalele de creștere (sau scădere) ale funcției. În răspunsul dvs., indicați lungimea celui mai mare dintre aceste intervale.

7. Aflați numărul de puncte la care tangenta la graficul funcției este paralelă sau coincide cu o dreaptă de forma y = kx + b.

8. Aflați abscisa punctului în care tangenta la graficul funcției este paralelă cu axa absciselor sau coincide cu aceasta.

S-ar putea să apară și alte întrebări, dar nu vă vor crea dificultăți dacă înțelegeți și (sunt furnizate link-uri către articole care oferă informațiile necesare soluției, recomand să le repetați).

Informații de bază (pe scurt):

1. Derivata la intervale crescatoare are semn pozitiv.

Dacă derivata la un anumit punct dintr-un anumit interval are o valoare pozitivă, atunci graficul funcției pe acest interval crește.

2. La intervale descrescătoare, derivata are semn negativ.

Dacă derivata la un anumit punct dintr-un anumit interval are o valoare negativă, atunci graficul funcției scade pe acest interval.

3. Derivata in punctul x este egala cu panta tangentei trasate la graficul functiei in acelasi punct.

4. În punctele de extremum (maximum-minim) ale funcției, derivata este egală cu zero. Tangenta la graficul funcției în acest punct este paralelă cu axa x.

Acest lucru trebuie înțeles și amintit clar!!!

Graficul derivat „derutează” mulți oameni. Unii oameni îl confundă din greșeală cu graficul funcției în sine. Prin urmare, în astfel de clădiri, unde vezi că este dat un grafic, concentrează-ți imediat atenția în condiția asupra a ceea ce este dat: graficul funcției sau graficul derivatei funcției?

Dacă este un grafic al derivatei unei funcții, atunci tratați-l ca pe o „reflecție” a funcției în sine, care pur și simplu vă oferă informații despre acea funcție.

Luați în considerare sarcina:

Figura prezintă un grafic y =f„(X)- derivata unei functii f(X), definit pe intervalul (–2;21).

Vom răspunde la următoarele întrebări:

1. În ce punct al segmentului se află funcția f(X) ia cea mai mare valoare.

Pe un interval dat, derivata unei funcții este negativă, ceea ce înseamnă că funcția pe acest interval scade (descrește de la limita stângă a intervalului la dreapta). Astfel, cea mai mare valoare a funcției este atinsă pe marginea din stânga a segmentului, adică la punctul 7.

Raspuns: 7

2. În ce punct al segmentului se află funcția f(X)

Din acest grafic derivat putem spune următoarele. Pe un interval dat, derivata funcției este pozitivă, ceea ce înseamnă că funcția pe acest interval crește (crește de la limita stângă a intervalului la dreapta). Astfel, cea mai mică valoare a funcției se realizează pe marginea din stânga a segmentului, adică în punctul x = 3.

Raspuns: 3

3. Aflați numărul maxim de puncte ale funcției f(X)

Punctele maxime corespund punctelor în care semnul derivatei se schimbă de la pozitiv la negativ. Să luăm în considerare unde se schimbă semnul în acest fel.

Pe segmentul (3;6) derivata este pozitivă, pe segmentul (6;16) este negativă.

Pe segmentul (16;18) derivata este pozitivă, pe segmentul (18;20) este negativă.

Astfel, pe un segment dat funcția are două puncte maxime x = 6 și x = 18.

Raspuns: 2

4. Aflați numărul de puncte minime ale funcției f(X), aparținând segmentului.

Punctele minime corespund punctelor în care semnul derivat se schimbă de la negativ la pozitiv. Derivata noastră este negativă pe intervalul (0;3) și pozitivă pe intervalul (3;4).

Astfel, pe segment funcția are un singur punct minim x = 3.

*Atenție când scrieți răspunsul - se înregistrează numărul de puncte, nu valoarea x poate fi făcută din cauza neatenției;

Raspuns: 1

5. Aflați numărul de puncte extreme ale funcției f(X), aparținând segmentului.

Vă rugăm să rețineți ce trebuie să găsiți cantitate puncte extremum (acestea sunt ambele puncte maxime și minime).

Punctele extreme corespund punctelor în care semnul derivatei se modifică (de la pozitiv la negativ sau invers). În graficul dat în condiție, acestea sunt zerourile funcției. Derivata dispare la punctele 3, 6, 16, 18.

Astfel, funcția are 4 puncte extreme pe segment.

Raspuns: 4

6. Aflați intervalele funcției crescătoare f(X)

Intervale de creștere a acestei funcții f(X) corespund intervalelor la care derivata sa este pozitivă, adică intervalele (3;6) și (16;18). Vă rugăm să rețineți că limitele intervalului nu sunt incluse în acesta (paranteze rotunde - limitele nu sunt incluse în interval, paranteze drepte - incluse). Aceste intervale conțin puncte întregi 4, 5, 17. Suma lor este: 4 + 5 + 17 = 26

Raspuns: 26

7. Aflați intervalele funcției descrescătoare f(X) la un interval dat. În răspunsul dvs., indicați suma punctelor întregi incluse în aceste intervale.

Intervalele descrescătoare ale unei funcții f(X) corespund intervalelor la care derivata functiei este negativa. În această problemă, acestea sunt intervalele (–2;3), (6;16), (18:21).

Aceste intervale conțin următoarele puncte întregi: –1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Suma lor este:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

Raspuns: 140

*Acordați atenție condiției: dacă limitele sunt incluse sau nu în interval. Dacă sunt incluse limite, atunci în intervalele luate în considerare în procesul de soluționare trebuie luate în considerare și aceste limite.

8. Aflați intervalele funcției crescătoare f(X)

Intervale de creștere a funcției f(X) corespund intervalelor la care derivata functiei este pozitiva. Le-am indicat deja: (3;6) și (16:18). Cel mai mare dintre ele este intervalul (3;6), lungimea sa este de 3.

Raspuns: 3

9. Aflați intervalele funcției descrescătoare f(X). În răspunsul dvs., indicați lungimea celui mai mare dintre ele.

Intervalele descrescătoare ale unei funcții f(X) corespund intervalelor la care derivata functiei este negativa. Le-am indicat deja; acestea sunt intervalele (–2;3), (6;16), (18;21), lungimile lor sunt respectiv 5, 10, 3.

Lungimea celui mai mare este de 10.

Raspuns: 10

10. Aflați numărul de puncte la care tangenta la graficul funcției f(X) paralel cu sau coincide cu linia dreaptă y = 2x + 3.

Valoarea derivatei în punctul de tangență este egală cu panta tangentei. Deoarece tangenta este paralelă cu dreapta y = 2x + 3 sau coincide cu aceasta, coeficienții lor unghiulari sunt egali cu 2. Aceasta înseamnă că este necesar să găsim numărul de puncte la care y′(x 0) = 2. Din punct de vedere geometric, acesta corespunde numărului de puncte de intersecție a graficului derivat cu linia dreaptă y = 2. Există 4 astfel de puncte pe acest interval.

Raspuns: 4

11. Aflați punctul extrem al funcției f(X), aparținând segmentului.

Punctul extremum al unei funcții este punctul în care derivata sa este egală cu zero, iar în vecinătatea acestui punct derivata își schimbă semnul (de la pozitiv la negativ sau invers). Pe segment, graficul derivatului intersectează axa x, derivata își schimbă semnul din negativ în pozitiv. Prin urmare, punctul x = 3 este un punct extrem.

Raspuns: 3

12. Aflați abscisa punctelor în care tangentele la graficul y = f (x) sunt paralele cu axa absciselor sau coincid cu aceasta. În răspunsul dvs., indicați cel mai mare dintre ele.

Tangenta la graficul y = f (x) poate fi paralelă cu axa absciselor sau coincide cu aceasta, numai în punctele în care derivata este egală cu zero (acestea pot fi puncte extreme sau puncte staționare în vecinătatea cărora derivata nu nu-i schimba semnul). Acest grafic arată că derivata este zero la punctele 3, 6, 16, 18. Cel mai mare este 18.

Vă puteți structura raționamentul astfel:

Valoarea derivatei în punctul de tangență este egală cu panta tangentei. Deoarece tangenta este paralelă sau coincide cu axa x, panta ei este 0 (într-adevăr, tangenta unui unghi de zero grade este zero). Prin urmare, căutăm punctul în care panta este egală cu zero și, prin urmare, derivata este egală cu zero. Derivata este egală cu zero în punctul în care graficul său intersectează axa x, iar acestea sunt punctele 3, 6, 16, 18.

Raspuns: 18

Figura prezintă un grafic y =f„(X)- derivata unei functii f(X), definit pe intervalul (–8;4). În ce punct al segmentului [–7;–3] se află funcția f(X) ia cea mai mică valoare.

Figura prezintă un grafic y =f„(X)- derivata unei functii f(X), definit pe intervalul (–7;14). Aflați numărul maxim de puncte ale funcției f(X), aparținând segmentului [–6;9].

Figura prezintă un grafic y =f„(X)- derivata unei functii f(X), definit pe intervalul (–18;6). Aflați numărul de puncte minime ale funcției f(X), aparținând segmentului [–13;1].

Figura prezintă un grafic y =f„(X)- derivata unei functii f(X), definit pe intervalul (–11; –11). Aflați numărul de puncte extreme ale funcției f(X), aparținând segmentului [–10; –10].

Figura prezintă un grafic y =f„(X)- derivata unei functii f(X), definit pe intervalul (–7;4). Aflați intervalele funcției crescătoare f(X). În răspunsul dvs., indicați suma punctelor întregi incluse în aceste intervale.

Figura prezintă un grafic y =f„(X)- derivata unei functii f(X), definit pe intervalul (–5;7). Aflați intervalele funcției descrescătoare f(X). În răspunsul dvs., indicați suma punctelor întregi incluse în aceste intervale.

Figura prezintă un grafic y =f„(X)- derivata unei functii f(X), definit pe intervalul (–11;3). Aflați intervalele funcției crescătoare f(X). În răspunsul dvs., indicați lungimea celui mai mare dintre ele.

F Figura prezintă un grafic

Condițiile problemei sunt aceleași (pe care le-am considerat). Aflați suma a trei numere:

1. Suma pătratelor extremelor funcției f (x).

2. Diferența dintre pătratele sumei punctelor maxime și suma punctelor minime ale funcției f (x).

3. Numărul de tangente la f (x) paralele cu dreapta y = –3x + 5.

Primul care va da răspunsul corect va primi un premiu stimulativ de 150 de ruble. Scrieți răspunsurile dvs. în comentarii. Dacă acesta este primul tău comentariu pe blog, acesta nu va apărea imediat, ci puțin mai târziu (nu vă faceți griji, este înregistrată ora în care a fost scris comentariul).

Mult succes pentru tine!

Salutări, Alexander Krutitsikh.

P.S: V-as fi recunoscator daca mi-ati spune despre site pe retelele de socializare.

Dragi prieteni! Grupul de sarcini legate de derivată include sarcini - condiția oferă un grafic al unei funcții, mai multe puncte pe acest grafic și întrebarea este:

În ce moment este derivata cea mai mare (mai mică)?

Să repetăm ​​pe scurt:

Derivata într-un punct este egală cu panta tangentei care trece prin elacest punct din grafic.

UCoeficientul global al tangentei, la rândul său, este egal cu tangentei unghiului de înclinare al acestei tangente.

*Acest lucru se referă la unghiul dintre tangentă și axa x.

1. La intervale de funcție crescătoare, derivata are o valoare pozitivă.

2. La intervale de scădere a acestuia, derivata are o valoare negativă.

Luați în considerare următoarea schiță:

La punctele 1,2,4, derivata funcției are o valoare negativă, deoarece aceste puncte aparțin intervalelor descrescătoare.

La punctele 3,5,6, derivata funcției are o valoare pozitivă, deoarece aceste puncte aparțin intervalelor crescătoare.

După cum puteți vedea, totul este clar cu semnificația derivatei, adică nu este deloc dificil să determinați ce semn are (pozitiv sau negativ) la un anumit punct al graficului.

Mai mult, dacă construim mental tangente în aceste puncte, vom vedea că drepte care trec prin punctele 3, 5 și 6 formează unghiuri cu axa oX cuprinsă între 0 și 90 o, iar drepte care trec prin punctele 1, 2 și 4 formează. cu axa oX unghiurile variază de la 90 o până la 180 o.

*Relația este clară: tangentele care trec prin puncte aparținând intervalelor de funcții crescătoare formează unghiuri ascuțite cu axa oX, tangentele care trec prin puncte aparținând intervalelor de funcții descrescătoare formează unghiuri obtuze cu axa oX.

Acum întrebarea importantă!

Cum se modifică valoarea derivatei? La urma urmei, tangenta în diferite puncte ale graficului unei funcții continue formează unghiuri diferite, în funcție de punctul de pe grafic prin care trece.

* Sau, vorbind într-un limbaj simplu, tangenta este situată parcă „orizontal” sau „vertical”. Uite:

Liniile drepte formează unghiuri cu axa oX variind de la 0 la 90 o

Liniile drepte formează unghiuri cu axa oX variind de la 90° la 180°

Prin urmare, dacă aveți întrebări:

- în care dintre punctele date din grafic derivata are cea mai mică valoare?

- în care dintre punctele date ale graficului are derivata cea mai mare valoare?

apoi pentru a răspunde este necesar să înțelegem cum se modifică valoarea tangentei unghiului tangentei în intervalul de la 0 la 180 o.

* După cum sa menționat deja, valoarea derivatei funcției într-un punct este egală cu tangentei unghiului de înclinare al tangentei la axa oX.

Valoarea tangentei se modifică după cum urmează:

Când unghiul de înclinare al dreptei se modifică de la 0 o la 90 o, valoarea tangentei, și deci derivata, se modifică în mod corespunzător de la 0 la +∞;

Când unghiul de înclinare al dreptei se modifică de la 90° la 180°, valoarea tangentei și, prin urmare, derivata, se modifică în consecință –∞ la 0.

Acest lucru poate fi văzut clar din graficul funcției tangente:

În termeni simpli:

La un unghi de înclinare tangentă de la 0° la 90°

Cu cât este mai aproape de 0 o, cu atât valoarea derivatei va fi mai mare aproape de zero (pe partea pozitivă).

Cu cât unghiul este mai aproape de 90°, cu atât valoarea derivatei va crește spre +∞.

Cu un unghi de înclinare tangentă de la 90° la 180°

Cu cât este mai aproape de 90 o, cu atât valoarea derivatei va scădea spre –∞.

Cu cât unghiul este mai aproape de 180°, cu atât valoarea derivatei va fi mai aproape de zero (pe partea negativă).

317543. Figura prezintă un grafic al funcției y = f(x) iar punctele sunt marcate–2, –1, 1, 2. În care dintre aceste puncte este derivata cea mai mare? Vă rugăm să indicați acest punct în răspunsul dvs.

Avem patru puncte: două dintre ele aparțin intervalelor la care funcția scade (sunt punctele –1 și 1) și două intervalelor la care funcția crește (sunt punctele –2 și 2).

Putem concluziona imediat că la punctele –1 și 1 derivata are o valoare negativă, iar la punctele –2 și 2 are o valoare pozitivă. Prin urmare, în acest caz, este necesar să se analizeze punctele –2 și 2 și să se determine care dintre ele va avea cea mai mare valoare. Să construim tangente care trec prin punctele indicate:

Valoarea tangentei unghiului dintre dreapta a și axa absciselor va fi valoare mai mare tangenta unghiului dintre linia b si aceasta axa. Aceasta înseamnă că valoarea derivatei la punctul –2 va fi cea mai mare.

Să răspundem la următoarea întrebare: în ce punct –2, –1, 1 sau 2 este valoarea derivatei cea mai negativă? Vă rugăm să indicați acest punct în răspunsul dvs.

Derivata va avea o valoare negativă în punctele aparținând intervalelor descrescătoare, deci să luăm în considerare punctele –2 și 1. Să construim tangente care trec prin ele:

Vedem că unghiul obtuz dintre linia dreaptă b și axa oX este „mai aproape” de 180 O , prin urmare tangenta ei va fi mai mare decât tangenta unghiului format de dreapta a și axa oX.

Astfel, în punctul x = 1, valoarea derivatei va fi cea mai mare negativă.

317544. Figura prezintă graficul funcției y = f(x) iar punctele sunt marcate–2, –1, 1, 4. În care dintre aceste puncte este derivata cea mai mică? Vă rugăm să indicați acest punct în răspunsul dvs.

Avem patru puncte: două dintre ele aparțin intervalelor la care funcția scade (sunt punctele –1 și 4) și două intervalelor la care funcția crește (sunt punctele –2 și 1).

Putem concluziona imediat că la punctele –1 și 4 derivata are o valoare negativă, iar la punctele –2 și 1 are o valoare pozitivă. Prin urmare, în acest caz, este necesar să se analizeze punctele –1 și 4 și să se determine care dintre ele va avea cea mai mică valoare. Să construim tangente care trec prin punctele indicate:

Valoarea tangentei unghiului dintre dreapta a și axa absciselor va fi mai mare decât valoarea tangentei unghiului dintre dreapta b și această axă. Aceasta înseamnă că valoarea derivatei în punctul x = 4 va fi cea mai mică.

Raspuns: 4

Sper că nu v-am „supraîncărcat” cu cantitatea de scris. De fapt, totul este foarte simplu, trebuie doar să înțelegeți proprietățile derivatei, semnificația ei geometrică și modul în care valoarea tangentei unghiului se schimbă de la 0 la 180 o.

1. Mai întâi, determină semnele derivatei în aceste puncte (+ sau -) și selectează punctele necesare (în funcție de întrebarea pusă).

2. Construiți tangente în aceste puncte.

3. Folosind graficul tangesoid, marcați schematic unghiurile și afișațiAlexandru.

P.S: V-as fi recunoscator daca mi-ati spune despre site pe retelele de socializare.