세 자리 숫자를 곱하는 쉬운 방법. "작은 성" 방법을 사용한 곱셈

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“계산과 계산은 머리 속의 질서의 기초이다.”
페스탈로치

표적:

• 고대 곱셈 기술을 배우십시오.
• 다양한 곱셈 기술에 대한 지식을 넓혀보세요.
• 고대의 곱셈 방법을 사용하여 자연수로 연산을 수행하는 방법을 알아보세요.

1. 손가락으로 9를 곱하는 옛날 방식
2. Ferrol의 방법에 의한 곱셈.
3. 일본의 곱셈 방식.
4. 이탈리아식 곱셈 방법(“그리드”)
5. 러시아식 곱셈법.
6. 인도의 곱셈 방식.

수업의 진행

빠른 계산 기술 사용의 관련성.

안에 현대 생활각 사람은 종종 엄청난 수의 계산과 계산을 수행해야 합니다. 따라서 내 작업의 목표는 쉽고 빠르며 정확한 계산 방법을 보여주는 것입니다. 이는 계산 중에 도움이 될뿐만 아니라 계산 작업의 자유로운 수행이 크게 나타낼 수 있기 때문에 지인과 동지들 사이에 상당한 놀라움을 줄 것입니다. 당신의 지성의 비범한 본성. 컴퓨팅 문화의 기본 요소는 의식적이고 강력한 컴퓨팅 기술입니다. 컴퓨팅 문화를 개발하는 문제는 초등학교부터 시작하여 학교 전체 수학 과정과 관련이 있으며 컴퓨팅 기술을 습득하는 것뿐만 아니라 다양한 상황에서 사용하는 것이 필요합니다. 컴퓨팅 기술과 능력을 보유하고 있습니다. 큰 중요성연구 중인 자료를 마스터하기 위해 작업에 대한 책임감 있는 태도, 작업에서 발생한 실수를 감지하고 수정하는 능력, 작업의 신중한 실행, 작업에 대한 창의적인 태도 등 귀중한 업무 특성을 키울 수 있습니다. 그러나 최근 계산 능력 수준과 표현의 변형이 현저하게 하향 추세를 보이고 있으며, 학생들이 계산할 때 실수를 많이 하고, 계산기를 사용하는 일이 늘어나고, 합리적으로 생각하지 못하는 현상이 교육의 질과 수학 수준에 부정적인 영향을 미치고 있습니다. 일반적인 학생들에 대한 지식. 컴퓨팅 문화의 구성 요소 중 하나는 구두 계산, 이는 매우 중요합니다. 간단한 계산을 "머리 속으로" 빠르고 정확하게 수행하는 능력은 모든 사람에게 필요합니다.

숫자를 곱하는 고대 방법.

1. 손가락으로 9를 곱하는 옛날 방식

간단 해. 1부터 9까지의 숫자에 9를 곱하려면 손을 보세요. 곱해지는 숫자에 해당하는 손가락을 접고(예: 9 x 3 - 세 번째 손가락 접기) 접힌 손가락 앞의 손가락 수를 세고(9 x 3의 경우 2) 접힌 손가락 이후의 수를 셉니다. 손가락 (우리의 경우 7). 답은 27이다.

2. Ferrol 방법에 의한 곱셈.

재곱셈의 곱의 단위를 곱하기 위해 요소의 단위를 곱하여 10을 얻고, 그 반대로 결과를 더하여 10을 얻습니다. 곱해졌습니다. Ferrol 방법을 사용하면 10에서 20까지 두 자리 숫자를 구두로 쉽게 곱할 수 있습니다.

예를 들어: 12x14=168

a) 2x4=8, 8을 쓴다

b) 1x4+2x1=6, 6을 씁니다.

c) 1x1=1, 1을 씁니다.

3. 일본식 곱셈

이 기술은 열을 곱하는 것과 비슷하지만 시간이 꽤 오래 걸립니다.

기술을 사용합니다. 13에 24를 곱해야 한다고 가정해 보겠습니다. 다음 그림을 그려 보겠습니다.

이 그림은 10개의 선으로 구성되어 있습니다. (숫자는 임의로 지정할 수 있습니다.)

• 이 줄은 숫자 24를 나타냅니다(2줄, 들여쓰기, 4줄).
• 그리고 이 선들은 숫자 13을 나타냅니다(1줄, 들여쓰기, 3줄)

(그림에서 교차점은 점으로 표시됨)

교차 횟수:

• 왼쪽 상단 가장자리: 2
• 왼쪽 하단 가장자리: 6
• 오른쪽 상단: 4
• 오른쪽 하단: 12

1) 왼쪽 상단 가장자리의 교차점 (2) – 답의 첫 번째 숫자

2) 왼쪽 하단 모서리와 오른쪽 상단 모서리의 교차점의 합(6+4) – 답의 두 번째 숫자

3) 오른쪽 하단 가장자리의 교차점(12) - 답변의 세 번째 숫자입니다.

그것은 밝혀: 2; 10; 12.

왜냐하면 마지막 두 숫자는 두 자리 숫자라서 적을 수가 없어서 1만 적고 앞의 숫자에 10을 더합니다.

4. 이탈리아식 곱셈 방법 ("그리드")

이탈리아와 많은 동부 국가에서는 이 방법이 큰 인기를 얻었습니다.

기술 사용:

예를 들어 6827에 345를 곱해 보겠습니다.

1. 정사각형 격자를 그리고 열 위에 숫자 중 하나를 쓰고 두 번째 숫자를 높이에 씁니다.

2. 각 행의 번호에 각 열의 번호를 순차적으로 곱합니다.

• 6*3 = 18. 1과 8을 쓰세요
• 8*3 = 24. 2와 4를 씁니다.

곱셈 결과가 한 자리 숫자가 되면 맨 위에 0을 쓰고 맨 아래에 이 숫자를 적습니다.

(이 예에서와 같이 2에 3을 곱하면 6이 됩니다. 상단에 0, 하단에 6을 썼습니다)

3. 전체 그리드를 채우고 대각선 줄무늬를 따라 숫자를 더하세요. 오른쪽에서 왼쪽으로 접기 시작합니다. 한 대각선의 합이 10이면 다음 대각선의 단위에 더합니다.

답변: 2355315.

5. 러시아식 곱셈 방법.

이 곱셈 기술은 약 2~4세기 전에 러시아 농민들이 사용했으며 고대부터 개발되었습니다. 이 방법의 핵심은 “첫 번째 요소를 나눈 만큼 두 번째 요소를 그 만큼 곱한다”는 것입니다. 예를 들면 다음과 같습니다. 32를 13으로 곱해야 합니다. 우리 조상들은 이 예 3을 이렇게 풀었습니다. -4세기 전:

• 32 * 13(32를 2로 나누고 13을 2로 곱함)
• 16 * 26(16을 2로 나누고 26을 2로 곱함)
• 8*52(등)
• 4 * 104
• 2 * 208
• 1 * 416 =416

반으로 나누는 것은 몫이 1이 될 때까지 계속되고, 다른 숫자는 두 배가 됩니다. 마지막 두 배의 숫자는 원하는 결과를 제공합니다. 이 방법의 기반이 무엇인지 이해하는 것은 어렵지 않습니다. 한 요소를 절반으로 줄이고 다른 요소를 두 배로 늘리면 제품이 변경되지 않습니다. 그러므로 이 작업을 반복적으로 반복하면 원하는 제품이 얻어지는 것이 분명합니다.

그런데 홀수를 반으로 나누어야 한다면 어떻게 해야 할까요? 민속 방법은 이러한 어려움을 쉽게 극복합니다. 규칙에 따르면 홀수의 경우 하나를 버리고 나머지를 반으로 나누는 것이 필요합니다. 그러나 오른쪽 열의 마지막 숫자에 왼쪽 열의 홀수 반대편에 있는 이 열의 모든 숫자를 더해야 합니다. 합계가 필요한 제품이 됩니다. 실제로 이는 왼쪽 숫자가 짝수인 모든 줄에 줄이 그어지는 방식으로 수행됩니다. 왼쪽에 홀수를 포함하는 것만 남습니다. 예는 다음과 같습니다. 별표는 이 선에 줄을 그어 지워야 함을 나타냅니다.

• 19*17
• 4 *68*
• 2 *136*
• 1 *272

교차되지 않은 숫자를 더하면 완전히 정확한 결과를 얻을 수 있습니다.

• 17 + 34 + 272 = 323.

답: 323.

6. 인도의 곱셈 방식.

이 곱셈 방법은 고대 인도에서 사용되었습니다.

예를 들어 793을 92로 곱하려면 한 숫자를 피승수로 쓰고 그 아래에 다른 숫자를 승수로 씁니다. 더 쉽게 탐색하려면 그리드(A)를 참조로 사용할 수 있습니다.

이제 승수의 왼쪽 숫자에 피승수의 각 숫자, 즉 9x7, 9x9 및 9x3을 곱합니다. 다음 규칙을 염두에 두고 그리드(B)에 결과 제품을 작성합니다.

• 규칙 1. 첫 번째 제품의 단위는 승수와 동일한 열에 기록되어야 합니다. 즉, 이 경우 9 미만입니다.
• 규칙 2. 후속 저작물은 단위가 이전 저작물의 바로 오른쪽 열에 배치되는 방식으로 작성되어야 합니다.

동일한 규칙(C)에 따라 승수의 다른 숫자를 사용하여 전체 프로세스를 반복해 보겠습니다.

그런 다음 열의 숫자를 더하면 72956이라는 답을 얻습니다.

보시다시피 우리는 많은 작품 목록을 얻습니다. 광범위한 연습을 한 인디언들은 각 숫자를 해당 열이 아닌 가능한 한 맨 위에 썼습니다. 그런 다음 열에 숫자를 추가하고 결과를 얻었습니다.

결론

우리는 새천년을 맞이했습니다! 인류의 위대한 발견과 성취. 우리는 많은 것을 알고 있으며 많은 일을 할 수 있습니다. 숫자와 공식의 도움으로 우주선의 비행, 국가의 "경제 상황", "내일"의 날씨를 계산하고 멜로디의 음표 소리를 설명할 수 있다는 것은 초자연적인 것처럼 보입니다. 우리는 기원전 4세기에 살았던 고대 그리스 수학자이자 철학자인 피타고라스의 말을 알고 있습니다. "모든 것은 숫자입니다!"

이 과학자와 그의 추종자들의 철학적 관점에 따르면, 숫자는 양과 무게뿐만 아니라 자연에서 일어나는 모든 현상을 지배하며, 우주의 영혼인 세계를 지배하는 조화의 본질입니다.

나는 고대의 계산 방법과 현대의 빠른 계산 방법을 설명하면서 과거와 미래 모두 인간의 마음이 창조한 과학인 수학 없이는 할 수 없다는 것을 보여 주려고 노력했습니다.

"어린 시절부터 수학을 공부하는 사람은 주의력을 키우고 두뇌와 의지를 훈련하며 목표 달성에 대한 인내와 끈기를 기릅니다."(A. Markushevich)

문학.

1. 어린이를 위한 백과사전. "T.23". 만능 백과사전 \ ed. 보드: M. Aksenova, E. Zhuravleva, D. Lyury 및 기타 - M.: World of Encyclopedias Avanta +, Astrel, 2008. - 688 p.
2. Ozhegov S.I. 러시아어 사전: 약. 57,000 단어 / Ed. 회원 - 그렇죠. 안시르 N.YU. Shvedova. – 20판 – M.: 교육, 2000. – 1012 p.
3. 나는 모든 것을 알고 싶다! 지능에 대한 대형 그림 백과사전 / Transl. 영어로부터 A. Zykova, K. Malkova, O. Ozerova. – M .: 출판사 ECMO, 2006. – 440 p.
4. Sheinina O.S., Solovyova G.M. 수학. 학교 클럽 수업 5-6학년 / O.S. Solovyova - M.: 출판사 NTsENAS, 2007. - 208 p.
5. Kordemsky B. A., Akhadov A. A. 놀라운 세계번호: 학생 도서, - M. Education, 1986.
6. Minskikh E. M. “게임에서 지식으로”, M., “계몽” 1982.
7. Svechnikov A. A. 숫자, 수치, 문제 M., 교육, 1977.
8. http://matsievsky. 뉴메일. ru/sys-schi/file15.htm
9. http://sch69.narod. ru/mod/1/6506/hystory. HTML

크레스트니코프 바실리

"비정상적인 계산 방법"이라는 작품의 주제는 학생들이 숫자에 대해 지속적으로 산술 연산을 수행하고 빠르게 계산하는 능력이 학업 성공을 높이고 정신적 유연성을 개발하기 때문에 흥미롭고 관련성이 있습니다.

Vasily는 이 주제에 대한 접근 방식의 이유를 명확하게 설명하고 작업의 목적과 목표를 올바르게 공식화했습니다. 다양한 정보원을 연구하면서 흥미롭고 특이한 곱셈 방법을 발견하고 이를 실제로 적용하는 방법을 배웠습니다. 학생은 각 방법의 장단점을 고려하고 올바른 결론을 내렸습니다. 결론의 신뢰성은 새로운 곱셈 방법으로 확인됩니다. 동시에 학생은 외부의 특수 용어와 지식을 능숙하게 사용합니다. 학교 커리큘럼수학. 작품의 주제는 내용과 일치하며 자료는 명확하고 접근 가능하게 제시됩니다.

작업 결과는 실질적인 의미를 가지며 광범위한 사람들의 관심을 끌 수 있습니다.

다운로드:

시사:

시립 교육 기관 "Kurovskaya 중등 학교 No. 6"

주제에 대한 수학 요약 :

"비정상적인 곱셈 방법".

6학년 "b" 학생이 작성함

크레스트니코프 바실리.

감독자:

스미르노바 타티아나 블라디미로브나.

2011년

1. 소개..........................................................................................................................2
2. 주요 부분. 특이한 곱셈 방법..........................................3

2.1. 약간의 역사.............................................................................................3

2.2. 손가락의 곱셈..........................................................................4

2.3. 9를 곱한다...................................................................................................5

2.4. 인도식 곱셈................................................................................6

2.5. “Small Castle” 방법을 이용한 곱셈..................................................7

2.6. "Jealousy" 방법을 사용한 곱셈.......................................................................8

2.7. 농민의 곱셈 방법..........................................................9

2.8 새로운 길…………………………………………………………………..10

1. 결론..........................................................................................................11
2. 참고문헌.................................................................................12

I. 소개.

에 있는 사람 일상 생활계산 없이는 불가능합니다. 따라서 수학 수업에서 우리는 먼저 숫자에 대한 연산, 즉 계산을 수행하는 방법을 배웁니다. 우리는 학교에서 공부하는 일반적인 방법으로 곱셈, 나눗셈, 더하기, 뺄셈을 합니다.

어느 날 우연히 S. N. Olekhnik, Yu. V. Nesterenko 및 M. K. Potapov의 책 "Old Entertaining Problems"를 발견했습니다. 이 책을 넘기다가 '손가락의 곱셈'이라는 페이지가 눈길을 끌었습니다. 수학 교과서에서 제안한 것뿐만 아니라 곱셈도 가능하다는 것이 밝혀졌습니다. 다른 계산 방법이 있는지 궁금합니다. 결국, 신속하게 계산을 수행하는 능력은 솔직히 놀랍습니다.

현대 컴퓨터 기술의 지속적인 사용으로 인해 학생들은 테이블이나 계산기 없이는 계산을 하기가 어렵다는 사실을 알게 되었습니다. 단순화된 계산 기술에 대한 지식을 통해 머릿속으로 간단한 계산을 신속하게 수행할 수 있을 뿐만 아니라 기계화된 계산의 결과로 발생하는 오류를 제어, 평가, 찾아내고 수정하는 것도 가능합니다. 또한, 계산 능력을 익히면 기억력이 발달하고, 사고의 수학적 문화 수준이 높아지며, 물리적, 수학적 순환의 주제를 완전히 익히는 데 도움이 됩니다.

작업의 목표:

특이한 곱셈 방법을 보여주세요.

작업:

1. 특이한 계산 방법을 가능한 한 많이 찾아보세요.
2. 그것들을 사용하는 법을 배우십시오.
3. 학교에서 제공하는 것보다 가장 흥미롭거나 쉬운 것을 선택하고 계산할 때 사용하십시오.

II. 주요 부분. 특이한 곱셈 방법.

2.1. 약간의 역사.

지금 우리가 사용하는 계산 방법이 항상 그렇게 간단하고 편리했던 것은 아닙니다. 예전에는 더 번거롭고 느린 기술이 사용되었습니다. 그리고 21세기의 학생이 500년 전으로 여행할 수 있다면 그는 계산의 속도와 정확성으로 우리 조상들을 놀라게 할 것입니다. 그에 대한 소문은 주변 학교와 수도원에 퍼져 당시 가장 숙련된 계산기의 영광을 무색하게 만들었고, 사람들은 새로운 위대한 스승과 함께 공부하기 위해 각지에서 모여들었습니다.

옛날에는 곱셈과 나눗셈의 연산이 특히 어려웠습니다. 그렇다면 각 행동에 대해 실천으로 개발된 단일한 방법은 없었습니다. 반대로, 동시에 사용되는 곱셈과 나눗셈에는 거의 12가지의 다른 방법이 있었습니다. 하나는 다른 것보다 더 복잡한 기술로, 평균적인 능력을 가진 사람은 기억할 수 없었습니다. 각 계산 교사는 자신이 가장 좋아하는 기술을 고수했고 각 "분할의 대가"(그러한 전문가가 있음)는이 작업을 수행하는 자신의 방식을 칭찬했습니다.

V. Bellustin의 저서 "사람들이 점차 실수 산술에 도달하는 방법"에는 27가지 곱셈 방법이 설명되어 있으며 저자는 다음과 같이 말합니다. 컬렉션.”

그리고 "체스 또는 오르간", "접기", "십자형", "격자", "뒤에서 앞으로", "다이아몬드"등의 모든 곱셈 방법은 서로 경쟁하여 큰 어려움을 겪었습니다.

가장 흥미롭고 흥미로운 것을 살펴 보겠습니다. 간단한 방법곱셈.

2.2. 손가락의 곱셈.

손가락으로 곱하는 늙은 러시아 방법은 가장 일반적으로 사용되는 방법 중 하나이며 수세기 동안 러시아 상인이 성공적으로 사용했습니다. 6부터 9까지 한 자리 숫자를 손가락으로 곱하는 법을 배웠습니다. 이 경우에는 “단위”, “쌍”, “3”, “4”, “5” 및 “5”의 기본적인 손가락 계산 기술을 익히는 것으로 충분했습니다. "수십". 여기서 손가락은 보조 컴퓨팅 장치로 사용되었습니다.

이를 위해 한편으로는 첫 번째 요소가 숫자 5를 초과하는 만큼 손가락을 확장했고, 두 번째로는 두 번째 요소에 대해서도 동일한 작업을 수행했습니다. 나머지 손가락은 구부러져 있었습니다. 그런 다음 펴진 손가락의 개수(전체)에 10을 곱한 다음 그 숫자를 곱하여 구부러진 손가락의 개수를 표시하고 그 결과를 합산했습니다.

예를 들어, 7에 8을 곱해 보겠습니다. 고려된 예에서는 손가락 2개와 3개가 구부러집니다. 구부러진 손가락의 개수를 더하고(2+3=5) 구부러지지 않은 손가락의 개수를 곱하면(2 3=6) 원하는 제품의 개수는 각각 10개와 1개로 56개가 됩니다. 이 방법으로 5보다 큰 한 자리 숫자의 곱을 계산할 수 있습니다.

2.3. 9를 곱합니다.

숫자 9의 곱셈- 9·1, 9·2 ... 9·10 - 메모리에서 지우기가 더 쉽고 덧셈 방법을 사용하여 수동으로 다시 계산하기가 더 어렵습니다. 그러나 특히 숫자 9의 경우 곱셈은 "손가락으로" 쉽게 재현됩니다. 양손에 손가락을 펴고 손바닥이 바깥쪽을 향하도록 손을 돌립니다. 왼손 새끼손가락부터 시작하여 오른손 새끼손가락으로 끝나는 1부터 10까지의 숫자를 손가락에 정신적으로 할당합니다(그림에 표시됨).

9에 6을 곱한다고 가정해 보겠습니다. 9를 곱할 숫자와 동일한 숫자로 손가락을 구부립니다. 이 예에서는 숫자 6으로 손가락을 구부려야 합니다. 구부러진 손가락의 왼쪽에 있는 손가락 수는 답의 10번째 숫자를 나타내고, 오른쪽에 있는 손가락 수는 단위 수를 나타냅니다. 왼쪽에는 구부러지지 않은 5개의 손가락이 있고 오른쪽에는 4개의 손가락이 있습니다. 따라서 9·6=54이다. 아래 그림은 "계산"의 전체 원리를 자세히 보여줍니다.

또 다른 예: 9·8=?를 계산해야 합니다. 그 과정에서 손가락이 반드시 "계산 기계" 역할을 할 수는 없다고 가정해 보겠습니다. 예를 들어 노트북에 10개의 셀이 있다고 가정해 보겠습니다. 8번째 상자를 지웁니다. 왼쪽이 7칸, 오른쪽이 2칸 남았습니다. 따라서 9·8=72입니다. 모든 것이 매우 간단합니다.

7셀 2셀.

2.4. 인도의 곱셈 방식.

수학 지식의 보고에 대한 가장 귀중한 공헌은 인도에서 이루어졌습니다. 힌두교인들은 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0의 10가지 기호를 사용하여 숫자를 쓰는 데 사용하는 방법을 제안했습니다.

이 방법의 기본은 같은 숫자가 그 숫자가 차지하는 위치에 따라 수십, 수백, 수천 단위를 나타낸다는 생각입니다. 숫자가 없을 때 점유된 공간은 숫자에 할당된 0에 의해 결정됩니다.

인디언들은 계산에 능숙했습니다. 그들은 매우 간단한 곱셈 방법을 생각해냈습니다. 그들은 가장 중요한 숫자부터 시작하여 곱셈을 수행하고 피승수 바로 위에 불완전한 곱을 조금씩 적었습니다. 이 경우 전체 제품의 최상위 숫자가 즉시 표시되며, 추가로 숫자 누락도 제거되었습니다. 곱셈 기호는 아직 알려지지 않았으므로 인수 사이에 작은 거리를 두었습니다. 예를 들어 메소드 537을 사용하여 6을 곱해 보겠습니다.

537 6

(5 ∙ 6 =30) 30

537 6

(300 + 3 ∙ 6 = 318) 318

537 6

(3180 +7 ∙ 6 = 3222) 3222

2.5. "SMALL CASTLE" 방법을 사용한 곱셈.

이제 학교 1학년에서는 숫자의 곱셈을 공부합니다. 그러나 중세 시대에는 곱셈의 기술을 터득한 사람이 거의 없었습니다. 유럽 ​​대학을 졸업했지만 구구단을 안다고 자랑할 수 있는 보기 드문 귀족이었다.

수천 년에 걸쳐 수학이 발전하면서 숫자를 곱하는 다양한 방법이 발명되었습니다. 이탈리아 수학자 루카 파치올리(Luca Pacioli)는 그의 논문 "산술, 비율 및 비례의 요약"(1494)에서 8가지 다른 곱셈 방법을 제시합니다. 그 중 첫 번째는 "작은 성"이라고 불리며 두 번째는 낭만적으로 "질투 또는 격자 곱셈"이라고 불립니다.

"리틀 캐슬" 곱셈 방법의 장점은 최대 유효 자릿수가 처음부터 결정된다는 점이며, 이는 값을 빠르게 추정해야 하는 경우 중요할 수 있습니다.

가장 중요한 숫자부터 시작하여 상위 숫자의 숫자에 하위 숫자를 차례로 곱하고 필요한 수의 0이 추가된 열에 기록됩니다. 그런 다음 결과가 합산됩니다.

2.6. "질투" 방법을 사용하여 숫자를 곱합니다.

두 번째 방법에는 "질투" 또는 "격자 곱셈"이라는 낭만적인 이름이 있습니다.

먼저 직사각형을 그려 정사각형으로 나누고 직사각형 변의 크기는 피승수와 승수의 소수 자릿수에 해당합니다. 그런 다음 정사각형 셀이 대각선으로 나누어지고 "... 결과는 격자 셔터와 유사한 그림입니다"라고 Pacioli는 썼습니다. "이러한 덧문은 베네치아 주택의 창문에 걸려 있어서, 거리를 지나가는 사람들이 창문에 앉아 있는 숙녀와 수녀를 볼 수 없게 되었습니다."

이런 식으로 347에 29를 곱해 보겠습니다. 표를 그리고 그 위에 숫자 347을 쓰고 오른쪽에 숫자 29를 쓰겠습니다.

각 줄에서 우리는 이 셀 위와 그 오른쪽에 숫자의 곱을 쓰고, 슬래시 위에는 숫자의 10자리 숫자를 쓰고, 그 아래에는 단위 숫자를 씁니다. 이제 각 경사 스트립에 숫자를 추가하여 오른쪽에서 왼쪽으로 이 작업을 수행합니다. 금액이 10 미만이면 스트립 하단 번호 아래에 씁니다. 10보다 큰 것으로 판명되면 합계의 단위 자리만 쓰고 다음 합계에 10의 자리를 추가합니다. 결과적으로 우리는 원하는 제품 10063을 얻었습니다.

3 4 7

10 0 6 3

2.7. 농민 곱셈 방법.

제 생각에는 가장 "원시적"이고 가장 쉬운 곱셈 방법은 러시아 농민이 사용하는 방법입니다. 이 기술은 숫자 2 이상의 곱셈표에 대한 지식이 전혀 필요하지 않습니다. 그 본질은 두 숫자의 곱셈이 한 숫자를 반으로 연속적으로 나누는 동시에 다른 숫자를 두 배로 늘리는 것입니다. 반으로 나누는 것은 몫이 1이 될 때까지 계속되고, 다른 숫자는 두 배가 됩니다. 마지막 두 배의 숫자는 원하는 결과를 제공합니다.

숫자가 홀수이면 하나를 제거하고 나머지를 반으로 나눕니다. 그러나 오른쪽 열의 마지막 숫자에 왼쪽 열의 홀수 반대편에 있는 이 열의 모든 숫자를 더해야 합니다. 합계가 필요한 곱이 됩니다.

37……….32

74……….16

148……….8

296……….4

592……….2

1184……….1

해당 숫자 쌍의 곱은 모두 동일하므로

37 ∙ 32 = 1184 ∙ 1 = 1184

숫자 중 하나가 홀수이거나 두 숫자가 모두 홀수인 경우 다음과 같이 진행하십시오.

24 ∙ 17

24 ∙ 16 =

48 ∙ 8 =

96 ∙ 4 =

192 ∙ 2 =

384 ∙ 1 = 384

24 ∙ 17 = 24∙(16+1)=24 ∙ 16 + 24 = 384 + 24 = 408

2.8. 증식하는 새로운 방법.

최근 흥미로운 새로운 곱셈 방법이 보고되었습니다. 새로운 정신 계산 시스템의 발명가인 철학 후보자 Vasily Okoneshnikov는 사람이 엄청난 양의 정보를 기억할 수 있다고 주장하며 가장 중요한 것은 이 정보를 배열하는 방법입니다. 과학자 자신에 따르면 이와 관련하여 가장 유리한 것은 9중 시스템입니다. 모든 데이터는 계산기의 버튼처럼 위치한 9개의 셀에 간단히 배치됩니다.

이러한 표를 사용하여 계산하는 것은 매우 쉽습니다. 예를 들어 숫자 15647에 5를 곱해 보겠습니다. 표에서 5에 해당하는 부분에서 숫자의 숫자에 해당하는 숫자를 1, 5, 6, 4, 7의 순서대로 선택합니다. 우리는 다음을 얻습니다: 05 25 30 20 35

왼쪽 숫자(이 예에서는 0)를 그대로 두고 다음 숫자를 쌍으로 추가합니다. 5는 2, 5는 3, 0은 2, 0은 3입니다. 마지막 숫자도 변경되지 않습니다.

결과적으로 우리는 078235를 얻습니다. 숫자 78235는 곱셈의 결과입니다.

두 자리를 더할 때 9보다 큰 숫자가 얻어지면 첫 번째 자리는 결과의 이전 자리에 추가되고 두 ​​번째 자리는 "자체"자리에 기록됩니다.

III. 결론.

내가 찾은 특이한 계산 방법 중에서는 "격자 곱셈 또는 질투" 방법이 더 흥미로워 보였습니다. 친구들에게 보여줬는데 친구들도 너무 좋아했어요.

가장 간단한 방법은 러시아 농민들이 사용했던 "두 배로 나누기"인 것 같았습니다. 너무 크지 않은 수의 곱셈을 할 때 사용합니다. (두 자리 수의 곱셈을 할 때 사용하면 매우 편리합니다.)

나는 새로운 곱셈 방법에 관심이 있었습니다. 왜냐하면 이 방법을 사용하면 내 마음 속에 엄청난 숫자를 “뒤집어 볼” 수 있기 때문입니다.

우리의 열 곱셈 방법은 완벽하지 않으며, 더 빠르고 안정적인 방법을 생각해 낼 수 있다고 생각합니다.

1. 문학.

1. Depman I. “수학에 관한 이야기.” – 레닌그라드: 교육, 1954. – 140p.
2. Korneev A.A. 러시아 곱셈 현상. 이야기. http://numbernautics.ru/
3. Olehnik S. N., Nesterenko V., Potapov M. K. "오래된 재미있는 문제." – M.: 과학. 물리 및 수학 문학의 주요 편집실, 1985. – 160 p.
4. 페렐만 Ya.I. 빠른 계산. 30가지 간단한 정신 계산 기술. L., 1941-12p.
5. 페렐만 Ya.I. 흥미로운 산수. M. Rusanova, 1994--205 p. https://accounts.google.com
   

   슬라이드 캡션:

   이 작업은 6기 "B"반 학생인 Vasily Krestnikov가 수행했습니다. 머리 : Tatyana Vladimirovna Smirnova 특이한 곱셈 방법

   작업 목적: 특이한 곱셈 방법을 보여줍니다. 목표: 특이한 곱셈 방법을 찾아보세요. 그것들을 사용하는 법을 배우십시오. 가장 흥미롭거나 쉬운 것을 선택하고 계산할 때 사용하십시오.

   손가락의 곱셈.

   9를 곱하세요

   이탈리아 수학자 루카 파치올리(Luca Pacioli)는 1445년에 태어났습니다.

   "Small Castle" 방법을 사용한 곱셈

   "Jealousy" 방법을 사용한 곱셈

   격자법을 이용한 곱셈. 3 4 7 2 9 6 8 1 4 3 6 6 3 7 2 3 6 0 10 347 29=10063

   러시아 농민 방법 37 32 37……….32 74…

   관심을 가져주셔서 감사합니다

몇 가지 빠른 방법 경구 곱셈우리는 이미 그것을 알아냈습니다. 이제 다양한 보조 방법을 사용하여 머릿속에서 숫자를 빠르게 곱하는 방법을 자세히 살펴보겠습니다. 당신은 이미 알고 있을 수도 있고, 그 중 일부는 매우 이국적입니다. 중국식숫자를 곱하는 것.

순위별 레이아웃

두 자리 숫자를 빠르게 곱하는 가장 간단한 기술입니다. 두 요소를 모두 10과 1로 나누어야 하며, 그런 다음 이 모든 새로운 숫자를 서로 곱해야 합니다.

이 방법을 사용하려면 동시에 최대 4개의 숫자를 메모리에 저장하고 이러한 숫자를 사용하여 계산을 수행할 수 있는 기능이 필요합니다.

예를 들어, 숫자를 곱해야 합니다. 38 그리고 56 . 우리는 이렇게 합니다:

38 * 56 = (30 + 8) * (50 + 6) = 30 * 50 + 8 * 50 + 30 * 6 + 8 * 6 = 1500 + 400 + 180 + 48 = 2128 세 가지 연산으로 두 자리 숫자의 구두 곱셈을 수행하는 것이 훨씬 더 쉬울 것입니다. 먼저 10을 곱한 다음 1의 2곱에 10을 더한 다음 1의 곱을 1로 더해야 합니다. 다음과 같습니다. 38 * 56 = (30 + 8) * (50 + 6) = 30 * 50 + (8 * 50 + 30 * 6) + 8 * 6 = 1500 + 580 + 48 = 2128 이 방법을 성공적으로 사용하려면 구구단을 잘 알아야 하고, 두 자리와 세 자리 숫자를 빠르게 더할 수 있어야 하며, 중간 결과를 잊지 않고 수학 연산 간에 전환할 수 있어야 합니다. 마지막 기술은 도움과 시각화를 통해 달성됩니다.

이 방법은 가장 빠르고 효과적이지 않으므로 다른 경구 곱셈 방법을 탐색해 볼 가치가 있습니다.

숫자 맞추기

산술 계산을 보다 편리한 형태로 만들 수 있습니다. 예를 들어, 숫자의 곱 35 그리고 49 다음과 같이 상상할 수 있습니다. 35 * 49 = (35 * 100) / 2 — 35 = 1715
이 방법은 이전 방법보다 더 효과적일 수 있지만 보편적이지 않으며 모든 경우에 적합하지는 않습니다. 문제를 단순화하는 데 적합한 알고리즘을 찾는 것이 항상 가능한 것은 아닙니다.

이 주제에 대해 나는 한 수학자가 농장을지나 강을 따라 항해하고 대화 상대에게 우리에있는 양의 수인 1358 마리를 빨리 셀 수 있었다고 말한 일화를 기억했습니다. 어떻게 했는지 물었을 때 그는 간단하다고 말했습니다. 다리 수를 세어 4로 나누면 됩니다.

기둥형 곱셈의 시각화

이것은 공간적 상상력과 기억력을 발전시켜 숫자를 구두로 곱하는 가장 보편적인 방법 중 하나입니다. 먼저 머리 속 열에 있는 두 자리 숫자와 한 자리 숫자의 곱셈을 배워야 합니다. 그 후에는 3단계를 거쳐 두 자리 숫자의 곱셈을 쉽게 할 수 있습니다. 먼저 두 자리 숫자에 다른 숫자의 수십을 곱한 다음 다른 숫자의 단위를 곱한 다음 결과 숫자를 합산해야 합니다.

다음과 같습니다. 38 * 56 = (38 * 5) * 10 + 38 * 6 = 1900 + 228 = 2128

숫자 배열을 통한 시각화

매우 흥미로운 방법두 자리 수의 곱셈은 다음과 같습니다. 백, 일, 십을 얻으려면 숫자의 자릿수를 순차적으로 곱해야합니다.

곱해야한다고 가정 해 봅시다 35 ~에 49 .

먼저 곱한다 3 ~에 4 , 당신은 얻을 12 , 그 다음에 5 그리고 9 , 당신은 얻을 45 . 녹음 12 그리고 5 , 사이에 공백이 있음 4 기억하다.

귀하는 다음을 받습니다: 12 __ 5 (기억하다 4 ).

이제 당신은 곱합니다 3 ~에 9 , 그리고 5 ~에 4 , 요약하면 다음과 같습니다. 3 * 9 + 5 * 4 = 27 + 20 = 47 .

이제 우리는 47 추가하다 4 우리가 기억하는 것. 우리는 얻는다 51 .

우리는 쓴다 1 중간에 그리고 5 에 추가하다 12 , 우리는 얻는다 17 .

전체적으로 우리가 찾고 있던 숫자는 다음과 같습니다. 1715 , 대답은 다음과 같습니다.

35 * 49 = 1715
같은 방법으로 머리 속으로 곱해 보세요: 18 * 34, 45 * 91, 31 * 52 .

중국어 또는 일본어 곱셈

아시아 국가에서는 열이 아닌 선을 그려 숫자를 곱하는 것이 일반적입니다. 동양 문화에서는 묵상과 시각화에 대한 욕구가 중요하기 때문에 아마도 숫자를 곱할 수 있는 아름다운 방법을 생각해낸 것 같습니다. 이 방법은 언뜻보기에는 복잡합니다. 실제로 명확성이 높을수록 열을 곱하는 것보다 이 방법을 훨씬 더 효과적으로 사용할 수 있습니다.

게다가 이 고대 동양의 방법에 대한 지식은 당신의 학식을 높여줍니다. 동의하세요. 모든 사람이 자신이 아는 것을 자랑할 수는 없습니다. 고대 시스템 3000년 전에 중국인이 사용했던 곱셈.

중국인이 숫자를 곱하는 방법에 관한 비디오

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수학의 세계는 매우 넓지만 저는 항상 곱셈 방법에 관심이 있었습니다. 이 주제를 작업하면서 저는 흥미로운 것들을 많이 배웠고, 읽은 내용 중에서 나에게 필요한 자료를 선택하는 방법도 배웠습니다. 특정 재미있는 문제, 퍼즐 및 곱셈 예를 해결하는 방법을 배웠습니다. 다른 방법들, 산술 요령과 집중 계산 기술의 기반이 무엇인지.

곱셈에 대하여

한때 학교에서 공부한 내용 중 대부분의 사람들의 마음속에 무엇이 남아 있습니까? 물론 다른 사람들- 다르지만 모두가 구구단을 가지고 있을 것입니다. 이를 "드릴다운"하기 위한 노력 외에도 우리가 그 도움으로 해결한 수백(수천은 아니더라도) 문제를 기억해 봅시다. 300년 전 영국에서는 구구단을 아는 사람이 이미 학식 있는 사람으로 여겨졌습니다.

다양한 곱셈 방법이 발명되었습니다. 15세기 후반부터 16세기 초반까지의 이탈리아 수학자 루카 파치올리(Luca Pacioli)는 산술에 관한 논문에서 8가지 다른 곱셈 방법을 제시합니다. "작은 성"이라고 불리는 첫 번째에서는 가장 높은 숫자부터 시작하여 위쪽 숫자의 숫자에 아래쪽 숫자를 차례로 곱하고 필요한 수의 0이 추가된 열에 기록됩니다. 그런 다음 결과가 합산됩니다. 일반적인 방법에 비해 이 방법의 장점은 최대 유효 자릿수가 맨 처음부터 결정된다는 점이며 이는 대략적인 계산에 중요할 수 있습니다.

두 번째 방법에는 "질투"(또는 격자 곱셈)라는 낭만적인 이름이 있습니다. 중간 계산 결과, 더 정확하게는 곱셈표의 숫자가 입력되는 격자가 그려집니다. 그리드는 정사각형 셀로 나누어진 직사각형이며, 정사각형 셀은 대각선으로 반으로 나뉩니다. 첫 번째 요소는 왼쪽(위에서 아래로)에 기록되었고 두 번째 요소는 위쪽에 기록되었습니다. 해당 행과 열의 교차점에 그 숫자의 곱이 기록되었습니다. 그런 다음 결과 숫자가 그려진 대각선을 따라 추가되고 결과는 해당 열 끝에 기록되었습니다. 결과는 직사각형의 하단과 오른쪽을 따라 판독되었습니다. Luca Pacioli는 "이런 격자는 베네치아 창문에 걸려 지나가는 사람들이 창문에 앉아 있는 숙녀와 수녀를 보지 못하게 하는 격자 셔터를 연상시킨다"고 썼습니다.

Luca Pacioli의 책에 설명된 모든 곱셈 방법은 구구단을 사용했습니다. 그러나 러시아 농민들은 테이블 없이도 번식하는 방법을 알고있었습니다. 그들의 곱셈 방법은 2의 곱셈과 나눗셈만을 사용하였다. 두 수의 곱셈은 나란히 적고, 왼쪽 수는 2로 나누고, 오른쪽 수는 2를 곱하였다. 나눗셈으로 나머지가 남으면, 그것은 폐기되었습니다. 그런 다음 짝수를 포함하는 왼쪽 열의 줄이 지워졌습니다. 오른쪽 열의 나머지 숫자는 함께 추가되었습니다. 결과는 원래 숫자의 곱이었습니다. 이것이 실제로 사실인지 여러 쌍의 숫자를 확인하십시오. 이 방법의 타당성에 대한 증명은 이진수 시스템을 사용하여 표시됩니다.

고대 러시아의 곱셈 방법.

고대부터 거의 18세기까지 러시아 사람들은 곱셈과 나눗셈 없이 계산을 했습니다. 그들은 덧셈과 뺄셈, 그리고 소위 "더블링"과 "분기"라는 두 가지 산술 연산만을 사용했습니다. 고대 러시아 곱셈 방법의 본질은 두 숫자의 곱셈이 한 숫자를 반으로 나누는 일련의 연속 분할(순차, 분기)로 축소되는 동시에 다른 숫자를 두 배로 늘리는 것입니다. 곱셈(예: 24 X 5)에서 피승수는 2배("더블") 감소하고 승수는 2배 증가합니다.

(“double”), 결과는 변경되지 않습니다: 24 x 5 = 12 X 10 = 120. 예:

피승수를 반으로 나누는 것은 몫이 1이 될 때까지 계속되고 승수는 두 배가 됩니다. 마지막 두 배의 숫자는 원하는 결과를 제공합니다. 따라서 32 X 17 = 1 X 544 = 544입니다.

고대에는 배가와 분기가 특별한 산술 연산으로 간주되기도 했습니다. 그들이 얼마나 특별한지. 행위? 예를 들어 숫자를 두 배로 늘리는 것은 특별한 작업이 아니라 주어진 숫자를 그 자체에 추가하는 것입니다.

숫자는 나머지 없이 항상 2로 나눌 수 있습니다. 하지만 피승수가 나머지와 함께 2로 나누어지면 어떻게 될까요? 예:

피승수가 2로 나누어지지 않으면 먼저 피승수에서 1을 뺀 다음 2로 나눕니다. 피승수가 짝수인 선은 지워지고 홀수 피승수가 있는 선의 오른쪽 부분이 추가됩니다.

21 X 17 = (20 + 1) X 17 = 20 X 17+17.

숫자 17(첫 번째 줄은 지워지지 않았습니다!)을 기억하고 20 X 17 제품을 동일한 제품 10 X 34로 바꾸십시오. 그러나 제품 10 X 34는 차례로 동일한 제품 5로 대체될 수 있습니다. 엑스 68; 따라서 두 번째 줄은 지워졌습니다.

5 X 68 = (4 + 1) X 68 = 4 X 68 + 68.

숫자 68(세 번째 줄은 지워지지 않음!)을 기억하고 제품 4 X 68을 동일한 제품 2 X 136으로 바꾸십시오. 그러나 제품 2 X 136은 동일한 제품 1 X 272로 대체될 수 있습니다. 따라서 네 번째 줄은 지워졌습니다. 즉, 곱 21 X 17을 계산하려면 홀수 피승수가 있는 선의 오른쪽에 있는 숫자 17, 68, 272를 더해야 합니다. 짝수 피승수를 갖는 곱은 항상 피승수를 두 배로 하고 인수를 동일한 곱으로 두 배로 대체할 수 있습니다. 따라서 이러한 라인은 최종 제품 계산에서 제외됩니다.

나는 옛날 방식으로 나 자신을 증식시키려고 노력했다. 나는 숫자 39와 247을 선택했고 이것이 내가 얻은 것입니다:

피승수를 39보다 크게 취하면 열이 내 열보다 더 길어질 것입니다. 그런 다음 동일한 예를 현대적인 방식으로 결정했습니다.

우리 학교의 숫자 곱셈 방법은 늙은 러시아 방법보다 훨씬 간단하고 경제적이라는 것이 밝혀졌습니다!

우선 우리만이 구구단을 알아야 하는데 우리 조상들은 그것을 몰랐습니다. 게다가 곱셈의 법칙 자체도 잘 알아야 하는데, 그들은 숫자를 곱하고 곱하는 법만 알고 있었습니다. 보시다시피, 가장 유명한 계산기보다 훨씬 더 좋고 빠르게 곱셈을 할 수 있습니다. 고대 러시아'. 그건 그렇고, 수천년 전에 이집트인들은 옛날 러시아 사람들이 했던 것과 거의 똑같은 방식으로 곱셈을 수행했습니다.

우리나라 사람들이 참 좋네요 다른 나라, 같은 방법으로 곱합니다.

얼마 전까지만 해도, 불과 100년 전만 해도 구구단을 배우는 것은 학생들에게 매우 어려운 일이었습니다. 학생들에게 표를 암기해야 할 필요성을 확신시키기 위해 수학 서적의 저자들은 오랫동안 의지해 왔습니다. 시에.

다음은 우리에게 익숙하지 않은 책의 몇 줄입니다. “그러나 곱셈을 위해서는 다음 표가 필요합니다. 기억 속에 단단히 보관하여 각 숫자를 곱한 후 말하기 지연 없이 말하거나 2 곱하기 2는 4, 2 곱하기 3은 6, 3 곱하기 3은 9 등등이라고 쓰세요.”

누군가가 그 테이블을 반복하지 않고 모든 과학을 자랑스럽게 생각한다면 그는 고통에서 자유롭지 못할 것입니다.

Koliko는 참치를 곱하면 우울해질 것이라는 사실을 숫자로 가르치지 않고서는 알 수 없습니다.

사실, 이 구절과 구절에서 모든 것이 명확하지는 않습니다. 이 모든 것은 250여 년 전인 1703년에 훌륭한 러시아 교사인 Leonty Filippovich Magnitsky에 의해 작성되었으며 그 이후로 러시아어로 작성되었기 때문에 러시아어로 완전히 작성되지 않았습니다. 언어가 눈에 띄게 바뀌었습니다.

L. F. Magnitsky는 러시아 최초의 인쇄된 산술 교과서를 집필하고 출판했습니다. 그 전에는 손으로 쓴 수학책들밖에 없었습니다. 위대한 러시아 과학자 M.V. Lomonosov와 18세기의 다른 많은 저명한 러시아 과학자들은 L. F. Magnitsky의 "산술"에서 연구했습니다.

그 당시 Lomonosov 시대에 그들은 어떻게 번성 했습니까? 예를 살펴보겠습니다.

우리가 이해하는 바와 같이, 곱셈의 작용은 우리 시대와 거의 같은 방식으로 기록되었습니다. 피승수만 '수량'이라 하고, 곱을 '곱'이라 하고, 추가적으로 곱셈 기호는 쓰지 않았습니다.

그렇다면 그들은 곱셈을 어떻게 설명했는가?

M.V. Lomonosov는 Magnitsky의 전체 "산술"을 마음 속으로 알고 있었던 것으로 알려져 있습니다. 이 교과서에 따르면 어린 Misha Lomonosov는 48 x 8의 곱셈을 다음과 같이 설명했습니다. “8 곱하기 8은 64입니다. 저는 8에 대해 줄 아래에 4를 쓰고 마음 속에 소수점 이하 6 자리가 있습니다. 그리고 8 곱하기 4는 32입니다. 3을 마음속에 간직하고 2에 소수점 이하 6자리를 더하면 8이 됩니다. 그리고 4 옆에 이 8을 한 줄로 왼손에 쓰겠습니다. 3이 생각나는 동안 왼쪽에 8 근처에 일렬로 쓸게요. 그리고 48에 8을 곱하면 384가 됩니다.”

예, 우리는 거의 같은 방식으로 설명합니다. 우리는 고대가 아닌 현대로만 말하고 범주의 이름을 지정합니다. 예를 들어 3은 "8 옆 줄, 왼쪽으로"가 아니라 수백 개가 되기 때문에 세 번째 자리에 써야 합니다.

이야기 "마샤는 마술사입니다."

Masha는 "지난번 Pavlik처럼 생일뿐만 아니라 태어난 연도도 추측할 수 있습니다."라고 시작했습니다.

자신이 태어난 달에 100을 곱하고 생일을 더합니다. , 결과에 2를 곱합니다. , 결과 숫자에 2를 더합니다. 결과에 5를 곱하고 결과 숫자에 1을 더한 다음 결과에 0을 더합니다. , 결과 숫자에 1을 더 추가하고 마지막으로 연수를 더합니다.

완료, 20721을 얻었습니다. - 그렇죠.

* 맞습니다.” 나는 확인했다.

그리고 81321을 얻었습니다.”라고 3학년 학생인 Vitya가 말했습니다.

"당신, Masha는 착각했을 것입니다. "Petya는 의심했습니다. - 어떻게 되나요? Vitya는 3학년이고 Sasha처럼 1949년에 태어났습니다.

아니요, Masha가 정확하게 추측했습니다.”라고 Vitya는 확인합니다. 나만 1년 동안 오랫동안 아파서 2학년을 두 번이나 다녔다.

* 그리고 111521을 얻었습니다.”라고 Pavlik이 보고했습니다.

어떻게 가능합니까? Vasya에게 묻습니다. Pavlik도 Sasha처럼 10살이고 1948년에 태어났습니다. 왜 1949년은 아니지?

하지만 지금은 9월이고 Pavlik은 11월에 태어났기 때문에 그는 1948년에 태어났지만 아직 10살밖에 되지 않았습니다.”라고 Masha는 설명했습니다.

그녀는 서너 명의 다른 학생들의 생년월일을 추측한 다음 어떻게 계산했는지 설명했습니다. 그녀는 마지막 숫자에서 111을 뺀 다음 나머지를 오른쪽에서 왼쪽으로 세 변에 각각 두 자리씩 더하는 것으로 나타났습니다. 가운데 두 자리는 생일을 나타내고, 처음 두 자리 또는 한 자리는 월을 나타내고, 마지막 두 자리는 연수를 나타냅니다. 사람의 나이를 알면 생년월일을 결정하는 것이 어렵지 않습니다. 예를 들어 20721이라는 숫자를 얻었는데, 여기서 111을 빼면 20610이 됩니다. 이는 제가 이제 10살이고, 2월 6일에 태어났다는 뜻입니다. 지금이 1959년 9월이니 1949년생이군요.

왜 다른 숫자가 아닌 111을 빼야 합니까? - 우리는 물었다. -그리고 왜 생일, 월, 연도가 정확히 이렇게 분포되어 있나요?

하지만보세요.”Masha가 설명했습니다. -예를 들어 Pavlik은 내 요구 사항을 충족하여 다음 예를 해결했습니다.

1)11 X 100 = 1100; 2) 1100 + J4 = 1114; 3) 1114 X 2 =

2228; 4) 2228 + 2 = 2230; 57 2230 X 5 = 11150; 6) 11150 1 = 11151; 7) 11151 X 10 = 111510

8)111510 1 1-111511; 9)111511 + 10=111521.

보시다시피 그는 월 수(11)에 100을 곱한 다음 2를 곱하고 그 다음에는 5를 곱하고 마지막으로 10을 더 곱하고(그는 자루를 추가했습니다) 총 100 X 2 X 5 X 10을 곱했습니다. 즉, 10,000이 되면 11은 수만 개가 됩니다. 즉, 오른쪽에서 왼쪽으로 두 자리 수를 세면 세 번째 변이 됩니다. 이것이 당신이 태어난 달을 알아내는 방법입니다. 그는 자신의 생일(14)에 2를 곱한 다음 5를 곱하고 마지막으로 또 다른 10을 곱하고 총 2 X 5 X 10, 즉 100을 곱했습니다. 두 번째 얼굴이지만 여기에는 수백 명의 낯선 사람이 있습니다. 보세요: 그는 숫자 2를 더했고, 여기에 5와 10을 곱했습니다. 이는 그가 추가로 2x5x10=100 - 100을 얻었음을 의미합니다. 111521의 1500에서 이 100을 빼면 1400이 됩니다. 이것이 내 생일을 알아내는 방법입니다. 연수(10)에는 아무 것도 곱하지 않았습니다. 즉, 이 숫자는 첫 번째 면의 단위 중에서 찾아야 하지만 여기에는 관련 없는 단위가 있습니다. 보세요: 그는 숫자 1을 더했고, 여기에 10을 곱한 다음 또 다른 1을 더했습니다. 이는 그가 1 x TO + 1 = 11 단위만 추가로 얻었음을 의미합니다. 숫자 111521의 21개 단위에서 이 11개 단위를 빼면 10이 됩니다. 이것이 제가 연수를 알아내는 방법입니다. 그리고 보시다시피 숫자 111521에서 총 100 + 11 = 111을 뺍니다. . 111521에서 111을 빼니 PNU였습니다. 수단,

Pavlik은 11월 14일에 태어나 10살입니다. 이제 연도는 1959년입니다. 하지만 저는 1959년이 아니라 Pavlik이 작년 11월에 10살이 된 1958년에서 10을 뺍니다.

물론 이 설명이 바로 기억나지는 않겠지만, 나는 내 예를 들어 이해하려고 노력했다.

1) 2 X 100 = 200; 2) 200 + 6 = 206; 3) 206 X 2 = 412;

4) 412 + 2 = 414; 5) 414 X 5 = 2070; 6) 2070 + 1 = 2071; 7) 2071 X 10 = 20710; 8) 20710 + 1 = 20711; 9) 20711 + + 10 = 20721; 20721 - 111 = 2"오토; 1959 - 10 = 1949;

퍼즐.

첫 번째 임무: 정오에 여객선이 스탈린그라드를 떠나 쿠이비셰프(Kuibyshev)로 향합니다. 한 시간 후 화물선과 여객선이 Kuibyshev를 떠나 스탈린그라드로 향했으며 첫 번째 배보다 느리게 이동합니다. 두 선박이 만날 때 어느 선박이 스탈린그라드에서 더 멀리 떨어져 있습니까?

이것은 평범한 산술 문제가 아니라 농담입니다! 증기선은 Kuibyshev뿐만 아니라 스탈린그라드에서도 같은 거리에 있습니다.

그리고 두 번째 임무는 다음과 같습니다. 지난 일요일 우리 팀과 5학년 팀은 Bolshaya Pionerskaya Street를 따라 나무를 심었습니다. 팀은 거리 양쪽에 동일한 수의 나무를 심어야 했습니다. 기억하시겠지만, 우리 팀은 일찍 출근했고, 5학년 학생들이 도착하기 전에 8그루의 나무를 심었지만 알고 보니 우리 쪽이 아니었습니다. 우리는 흥분해서 일을 잘못 시작했습니다. 장소. 그런 다음 우리는 길가에서 일했습니다. 5학년 학생들은 일을 일찍 마쳤습니다. 그러나 그들은 우리에게 계속 빚을 지고 있지 않았습니다. 그들은 우리 곁으로 와서 먼저 8그루의 나무를 심고(“빚을 갚았습니다”) 5그루의 나무를 더 심었고 우리는 작업을 완료했습니다.

문제는 5학년 학생들이 우리가 심은 나무보다 얼마나 많은 나무를 심느냐는 것입니다.

: 물론 5학년 아이들은 우리보다 나무 5그루만 더 심었습니다. 우리 쪽에 나무 8그루를 심으면 빚을 갚았지만, 그리고 나무 5그루를 더 심으니 마치 우리에게 나무 5그루를 빌려준 것 같았습니다. 그래서 알고 보니 그들은 우리보다 나무를 5그루만 더 심은 것이었습니다.

아니요, 추론이 잘못되었습니다. 5학년들이 우리를 위해 나무 5그루를 심는 부탁을 한 것은 사실입니다. 하지만 정답을 얻으려면 다음과 같이 추론해야 합니다. 우리는 작업을 5그루만큼 미달로 처리한 반면 5학년 학생들은 5그루를 초과했습니다. 그래서 5학년이 심은 나무 수와 우리가 심은 나무 수의 차이는 5그루가 아니라 10그루라는 사실이 밝혀졌습니다!

그리고 마지막 퍼즐 과제는 공놀이입니다. 16명의 학생을 정사각형 영역의 측면에 배치하여 각 측면에 4명이 있게 했습니다. 그런 다음 2명의 학생이 떠났고 나머지는 다시 광장 양쪽에 4명이 있게 되었습니다. 마침내 두 명의 학생이 더 떠났지만 나머지는 자리를 잡고 광장 양쪽에 여전히 4명이 있었습니다. 어떻게 이런 일이 일어날 수 있습니까?

빠른 곱셈을 위한 두 가지 요령

어느 날 교사가 학생들에게 84 X 84라는 예를 제시했습니다. 한 소년은 재빨리 7056이라고 대답했습니다. “무엇을 세셨나요?” -선생님이 학생에게 물었습니다. “저는 50 X 144를 가져다가 144를 굴렸습니다.”라고 그는 대답했습니다. 자, 학생이 어떻게 생각했는지 설명해 보겠습니다.

84 x 84 = 7 X 12 X 7 X 12 = 7 X 7 X 12 X 12 = 49 X 144 = (50 - 1) X 144 = 50 X 144 - 144, 144 50은 7200이므로 84 X 84 = 7200 - 144 =

이제 같은 방법으로 56 X 56이 얼마인지 계산해 보겠습니다.

56 X 56 = 7 X 8 X 7 X 8 = 49 X 64 = 50 X 64 - 64, 즉 64 50 또는 32 백(3200), 64가 없는 경우, 즉 숫자에 49를 곱하려면 다음이 필요합니다. 숫자에 50(오십)을 곱하고 결과 제품에서 이 숫자를 뺍니다.

다음은 다른 계산 방법인 92 X 96, 94 X 98의 예입니다.

답: 8832 및 9212. 예, 93 X 95. 답: 8835. 계산 결과는 동일했습니다.

숫자가 100에 가까울 때만 빨리 셀 수 있습니다. 우리는 이 숫자에 대해 최대 100까지의 보수를 찾습니다. 93의 경우 7이 되고 95의 경우 5가 됩니다. 첫 번째 주어진 숫자에서 보수를 뺍니다. 두 번째 : 93 - 5 = 88 - 이것은 수백 개의 제품에 포함되며 추가 사항을 곱합니다. 7 X 5 = 3 5 - 이것은 단위 제품에 얼마가 될지입니다. 이는 93 X 95 = 8835를 의미합니다. 그리고 이것이 정확히 수행되어야 하는 이유는 설명하기 어렵지 않습니다.

예를 들어 93은 7이 없는 100이고, 95는 5가 없는 100입니다. 95 X 93 = (100 - 5) x 93 = 93 X 100 - 93 x 5.

5 곱하기 93을 빼려면 5 곱하기 100을 빼고 5 곱하기 7을 더하면 됩니다. 그러면 결과는 다음과 같습니다.

95 x 93 = 93 x 100 - 5 x 100 + 5 x 7 = 93셀. - 500. + 5 X 7 = (93 - 5) 셀. + 5 x 7 = 8800 + 35= = 8835.

97 X 94 = (97 - 6) X 100 + 3 X 6 = 9100 + 18 = 9118, 91 X 95 = (91 - 5) x 100 + 9 x 5 = 8600 + 45 = 8645.

곱셈 다. 도미노 패

도미노의 도움으로 여러 자리 숫자에 한 자리 숫자를 곱하는 경우를 쉽게 묘사할 수 있습니다. 예를 들어:

402 X 3 및 2663 X 4

승자는 그것을 잘 활용하는 사람이 될 것이다. 가장 큰 수도미노 뼈대를 사용하여 세 자리 및 네 자리 숫자와 한 자리 숫자를 곱하는 예를 구성합니다.

네 자리 숫자와 한 자리 숫자의 곱셈의 예.

2234X6; 2425X6; 2336X1; 526×6.

보시다시피 도미노는 20개만 사용되었습니다. 네 자리 숫자와 한 자리 숫자뿐만 아니라 세 자리, 다섯 자리, 여섯 자리 숫자에도 한 자리 숫자를 곱하는 예제가 정리되어 있습니다. 25개의 주사위가 사용되었으며 다음 예가 작성되었습니다.

그러나 28개의 주사위를 모두 사용할 수 있습니다.

Hottabych가 산술을 얼마나 잘 알고 있었는지에 대한 이야기.

"나는 산수에서 '5'를 얻었습니다."라는 이야기입니다.

다음 날 내가 미샤에게 가자마자 그는 즉시 “서클 수업에서 새로운 것이나 흥미로운 것이 무엇이었나요?”라고 물었습니다. 나는 미샤와 그의 친구들에게 옛날 러시아 사람들이 얼마나 똑똑했는지 보여주었습니다. 그런 다음 나는 그들에게 97 X 95, 42 X 42 및 98 X 93이 얼마나 될지 정신적으로 계산하도록 요청했습니다. 물론 그들은 연필과 종이 없이는 이것을 할 수 없었고 거의 즉시 정답을 주었을 때 매우 놀랐습니다. 이 예. 마침내 우리는 모두 함께 집에 주어진 문제를 해결했습니다. 점들이 종이 위에 어떻게 위치하는지가 매우 중요하다는 것이 밝혀졌습니다. 이에 따라 4개의 점을 통해 1개, 4개 또는 6개의 직선을 그릴 수 있지만 그 이상은 그릴 수 없습니다.

그런 다음 나는 아이들에게 머그컵에서 했던 것처럼 도미노를 사용하여 곱셈의 예를 만들도록 권유했습니다. 우리는 20개, 24개, 심지어 27개의 주사위를 사용할 수 있었지만 오랫동안 이 작업에 앉아 있었지만 28개 중 예제를 만들 수 없었습니다.

Misha는 오늘 영화 "Old Man Hottabych"가 영화관에서 상영되고 있다는 것을 기억했습니다. 우리는 재빨리 계산을 마치고 영화관으로 달려갔습니다.

정말 멋진 사진이에요! 비록 동화지만 여전히 흥미롭습니다. 우리 소년들, 학교 생활, 괴짜 현자 Genie Hottabych에 대해 이야기합니다. 그리고 Hottabych는 Volka에게 지리 정보를 제공하면서 큰 실수를 저질렀습니다! 분명히 오래전에는 인도의 현자 (지니)조차도 지리를 매우 잘 알지 못했을 것입니다. Volka가 산술 시험에 합격했다면 Hottabych가 몇 살이나 조언을 주었을까요? Hottabych는 아마도 산술도 제대로 몰랐을 것입니다.

인도의 곱셈 방식.

468에 7을 곱해야 한다고 가정해 보겠습니다. 피승수는 왼쪽에, 승수는 오른쪽에 씁니다.

인디언들은 곱셈 기호가 없었습니다.

이제 4에 7을 곱하면 28이 됩니다. 이 숫자를 숫자 4 위에 씁니다.

이제 8에 7을 곱하면 56이 됩니다. 28에 5를 더하면 33이 됩니다. 28을 지우고 33을 적고 숫자 8 위에 6을 적습니다.

꽤 흥미로운 것으로 판명되었습니다.

이제 6에 7을 곱하면 42가 되고, 4에 36을 더하면 40이 됩니다. 36을 지우고 40을 적겠습니다. 숫자 6 위에 2를 쓰겠습니다. 따라서 486에 7을 곱하면 3402가 됩니다.

해결책은 정확했지만 매우 빠르고 편리하지는 않았습니다. 이것이 바로 당시 가장 유명한 계산기가 곱해진 방식입니다.

보시다시피 늙은 Hottabych는 산수를 아주 잘 알고있었습니다. 그러나 그는 우리와는 다르게 자신의 행동을 기록했습니다.

오래 전, 1,300여 년 전에 인도인은 최고의 계산기였습니다. 그러나 아직 종이가 없었고 모든 계산은 작은 흑판에 갈대 펜으로 적고 액체 흰색 페인트를 사용하여 쉽게 지울 수있는 흔적을 남겼습니다.

칠판에 분필로 글을 쓸 때, 인도의 글쓰기 방식을 조금 연상시킵니다. 검정색 바탕에 흰색 표시가 나타나서 지우고 수정하기 쉽습니다.

인디언들은 또한 붉은 가루를 뿌린 흰색 판에 계산을 하고, 그 위에 작은 막대기로 표지판을 써서 붉은 바탕에 흰색 문자가 나타났습니다. 빨간색 또는 갈색 보드 인 리놀륨에 분필로 쓰면 거의 동일한 그림이 얻어집니다.

당시에는 곱셈 기호가 아직 존재하지 않았고, 피승수와 승수 사이에는 일정한 간격만 남아 있었습니다. 인도식 방법은 단위부터 시작하여 곱하는 것입니다. 그러나 인디언들은 가장 높은 숫자부터 곱셈을 수행하고 피승수 바로 위에 불완전한 곱을 조금씩 적었습니다. 이 경우 전체 제품의 최상위 숫자가 즉시 표시되며, 추가로 숫자 누락도 제거되었습니다.

인도식 곱셈의 예.

아랍어 곱셈 방법.

글쎄, 날짜 자체에서 종이에 적으면 어떻게 인도 방식으로 곱셈을 수행할 수 있습니까?

종이에 쓰기 위한 이 곱셈 방법은 유명한 고대 우즈베크 과학자 Muhammad ibn Musa Alkhwariz-mi(현대 우즈베크 SSR 영토에 위치한 도시인 Khorezm 출신의 Musa의 아들 Muhammad)에 의해 천년 이상 채택되었습니다. 이전에는 양피지에 다음과 같이 곱셈을 수행했습니다.

분명히 그는 불필요한 숫자를 지우지 않았지만 (종이에 이 작업을 수행하는 것은 이미 불편함) 그 숫자를 지웠습니다. 물론 그는 줄이 그어진 숫자 위에 새로운 숫자를 조금씩 적었습니다.

같은 방식으로 곱셈을 하는 예, 노트에 메모하기.

이는 7264 X 8 = 58112를 의미합니다. 그런데 두 자리 숫자, 여러 자리 숫자를 곱하는 방법은 무엇입니까?

곱셈 방법은 동일하지만 기록이 훨씬 더 복잡해집니다. 예를 들어, 746에 64를 곱해야 합니다. 먼저 3을 10으로 곱하면 다음과 같습니다.

따라서 746 X 34 = 25364입니다.

보시다시피, 두 자리 숫자까지 곱할 때 불필요한 숫자를 지우고 새 숫자로 바꾸면 녹음이 너무 번거로워집니다. 세자리, 네자리 숫자를 곱하면 어떻게 될까요?!

그렇습니다. 아랍어의 곱셈 방법은 그다지 편리하지 않습니다.

이 곱셈 방법은 18세기까지 유럽에서 1000년 동안 지속되었습니다. 그리스 문자 X(chi)가 곱해지는 숫자 사이에 배치되고 점차적으로 비스듬한 십자형으로 대체되었기 때문에 이를 십자형 방법 또는 키아스무스라고 불렀습니다. 이제 우리는 현대의 곱셈 방법이 가장 간단하고 편리하며 아마도 가장 좋은 방법임을 분명히 알 수 있습니다. 가능한 방법곱셈.

네, 우리 학교의 여러 자리 수의 곱셈 방법 자체는 아주 좋습니다. 그러나 곱셈은 다른 방법으로 쓸 수 있습니다. 아마도 가장 좋은 방법은 예를 들어 다음과 같이 하는 것일 것입니다.

이 방법은 정말 좋습니다. 곱셈은 승수의 가장 높은 숫자부터 시작하고, 불완전 곱의 가장 낮은 숫자는 승수의 해당 숫자 아래에 기록됩니다. 이는 숫자의 어느 숫자에 0이 발생하는 경우 오류 가능성을 제거합니다. 승수. 이것은 체코슬로바키아 학생들이 여러 자리 숫자의 곱셈을 쓰는 방법과 대략 같습니다. 그 흥미 롭군요. 그리고 우리는 산술 연산은 우리나라의 관습적인 방식으로만 작성할 수 있다고 생각했습니다.

몇 가지 퍼즐이 더 있습니다.

첫 번째 간단한 작업은 다음과 같습니다. 관광객은 한 시간에 5km를 걸을 수 있습니다. 100시간 동안 그는 몇 킬로미터를 걸을까요?

답: 500km.

그리고 이것도 큰 질문! 우리는 관광객이 이 100시간 동안 쉬지 않고 또는 휴식을 취하면서 어떻게 걸었는지 더 정확하게 알아야 합니다. 즉, 100시간은 관광객이 여행하는 시간 또는 단순히 그가 길에서 보내는 시간이라는 것을 알아야 합니다. 한 사람이 연속으로 100시간 동안 이동하지 못할 수도 있습니다. 이는 4일 이상입니다. 이동 속도는 항상 감소합니다. 관광객이 점심 식사, 수면 등을 위해 휴식 시간을 갖고 걷는다면 그것은 또 다른 문제입니다. 그런 다음 100시간의 이동 후에 그는 전체 500km를 이동할 수 있습니다. 그는 4일이 아니라 약 12일 동안 도로에 있어야 합니다(하루 평균 40km를 주행하는 경우). 그가 100시간 동안 도로에 있었다면 대략 160-180km만 주행할 수 있었습니다.

다양한 답변. 이는 문제 설명에 무언가를 추가해야 함을 의미합니다. 그렇지 않으면 답변을 제공할 수 없습니다.

이제 다음 문제를 해결해 보겠습니다. 닭 10마리가 10일 동안 1kg의 곡물을 먹습니다. 닭 100마리가 100일 동안 몇 kg의 곡물을 먹나요?

해결책: 닭 10마리는 10일 동안 1kg의 곡물을 먹습니다. 즉, 닭 1마리는 같은 10일 동안 10배 적은 양을 먹습니다. 즉, 1000g: 10 = 100g입니다.

어느 날 닭은 10배 더 적게, 즉 100g: 10 = 10g을 먹습니다. 이제 우리는 닭 한 마리가 하루에 10g의 곡물을 먹는다는 것을 알고 있습니다. 하루에 닭 100마리가 100배를 더 먹는다는 뜻이다.

10g X 100 = 1000g = 1kg. 100일 후에는 100배 더 많이 먹게 됩니다. 즉, 1kg X 100 = 100kg = 1kg입니다. 이는 닭 100마리가 100일 동안 곡물 1센트를 먹는다는 뜻입니다.

더 빠른 해결책이 있습니다. 닭의 수는 10배 더 많아지고 10배 더 오랫동안 먹이를 주어야 합니다. 이는 필요한 총 곡물이 100배 더 많은 것, 즉 100kg이 된다는 것을 의미합니다. 그러나 이 모든 주장에는 한 가지 누락이 있습니다. 생각해보고 추론의 오류를 찾아보자.

: - 마지막 추론에 주목해보자: “닭 100마리는 하루에 1kg의 곡물을 먹고, 100일 후에는 100배를 더 먹게 됩니다. »

결국, 100일(3개월 이상!) 후에 닭은 눈에 띄게 자라서 더 이상 하루에 10g의 곡물을 먹지 않고 40-50g을 먹습니다. 일반 닭은 하루에 약 100g의 곡물을 먹기 때문입니다. . 이는 100일 안에 닭 100마리가 15분의 1이 아니라 훨씬 더 많은 2~3분의 곡물을 먹게 된다는 것을 의미합니다.

매듭 묶기에 관한 마지막 퍼즐 과제는 다음과 같습니다. “테이블 위에 밧줄 조각이 일직선으로 뻗어 있습니다. 한 손으로 한쪽 끝을 잡고 다른 손으로 다른 쪽 끝을 잡고 손에서 로프 끝을 놓지 않고 매듭을 묶어야합니다. “일부 문제는 데이터에서 문제 질문으로 이동하여 분석하기 쉬운 반면, 다른 문제는 문제 질문에서 데이터로 이동한다는 것은 잘 알려진 사실입니다.

그래서 우리는 질문부터 데이터까지 이 문제를 분석하려고 했습니다. 로프에 이미 매듭이 있고 그 끝이 손에 있고 풀리지 않도록 하십시오. 해결된 문제에서 데이터, 원래 위치로 돌아가도록 노력해 보겠습니다. 로프는 테이블 위에 뻗어 있고 끝은 손에서 풀리지 않습니다.

손에서 끝을 놓지 않고 로프를 곧게 펴면 뻗은 로프 아래와 오른손 위로 이동하는 왼손이 로프의 오른쪽 끝을 잡는 것으로 나타났습니다. 오른손은 로프 위, 왼손 아래로 로프의 왼쪽 끝을 잡습니다.

문제를 분석한 후에 밧줄에 매듭을 묶는 방법은 모든 사람에게 역순으로 수행되어야 한다는 것이 분명해졌습니다.

두 가지 더 빠른 곱셈 기술.

24와 26, 63과 67, 84와 86 등의 숫자를 빠르게 곱하는 방법을 보여 드리겠습니다. p. 즉, 요소에 동일한 수의 10이 있고 요소를 모두 합치면 정확히 10이 되는 경우입니다. 예를 들어보세요.

* 34와 36, 53과 57, 72와 78,

* 1224, 3021, 5616을 얻습니다.

예를 들어, 53에 57을 곱해야 합니다. 5에 6(1이 5보다 많음)을 곱하면 30이 나옵니다. 제품에는 수백 개가 있습니다. 3에 7을 곱하면 21이 나옵니다. 제품에 들어 있는 단위 수입니다. 따라서 53 X 57 = 3021입니다.

* 이것을 어떻게 설명할 것인가?

(50 + 3) X 57 = 50 X 57 + 3 X 57 = 50 X (50 + 7) +3 X (50 + 7) = 50 X 50 + 7 X 50 + 3 x 50 + 3 X 7 = 2500 + + 50 X (7 + 3) + 3 X 7 = 2500 + 50 X 10 + 3 X 7 = =: 2500. + 500. +3 X 7 = 30셀. + 3 X 7 = 5 X 6 셀. + 21.

20 이내의 두 자리 숫자를 어떻게 빠르게 곱할 수 있는지 살펴보겠습니다. 예를 들어 14에 17을 곱하려면 단위 4와 7을 더해야 11이 됩니다. 즉, 제품에 10이 몇 개가 있는지를 나타냅니다. 즉, 10개 단위). 그런 다음 4에 7을 곱하면 28이 됩니다. 즉, 제품에 포함되는 단위 수입니다. 또한 결과 숫자 110과 28에 정확히 100을 더해야 합니다. 이는 14 X 17 = 100 + 110 + 28 = 238을 의미합니다. 실제로:

14 X 17 = 14 X (10 + 7) = 14 X 10 + 14 X 7 = (10 + + 4) X 10 + (10 + 4) X 7 = 10 X 10 + 4 X 10 + 10 X 7 + 4 X 7 = 100 +(4 + 7) X 10 + 4 X 7 = 100+ 110 + + 28.

그 후, 우리는 다음 예를 풀었습니다: 13 x 16 = 100 + (3 + 6) X 10 + 3 x 6 = 100 + 90 + + 18 = 208; 14 X 18 = 100 + 120 + 32 = 252.

주판의 곱셈

여기에 주판을 빠르게 추가하는 방법을 아는 사람이라면 누구나 실제로 접하게 되는 곱셈의 예를 빠르게 수행할 수 있는 몇 가지 기술이 있습니다.

2와 3의 곱셈은 이중 및 삼중 덧셈으로 대체됩니다.

4를 곱할 때는 먼저 2를 곱하고 그 결과를 더합니다.

숫자에 5를 곱하는 것은 주판에서 다음과 같이 수행됩니다. 전체 숫자를 한 와이어 위로 이동합니다. 즉, 10을 곱한 다음 이 10배 숫자를 반으로 나눕니다(주판을 사용하여 2로 나누는 것처럼).

6을 곱하는 대신 5를 곱하고 곱해지는 것을 더합니다.

7을 곱하는 대신 10을 곱하고 세 번 곱한 값을 뺍니다.

8을 곱하는 것은 10에서 2를 곱한 값으로 대체됩니다.

같은 방식으로 9를 곱합니다. 즉, 10에서 1을 곱한 값을 곱하여 대체합니다.

10을 곱할 때 이미 말했듯이 모든 숫자를 한 와이어 더 높게 전송하십시오.

독자는 아마도 10보다 큰 숫자를 곱할 때 무엇을 해야 하는지, 그리고 여기서 어떤 종류의 대체가 가장 편리한지 스스로 알아낼 것입니다. 물론 인수 11은 10 + 1로 대체되어야 합니다. 인수 12는 10 + 2 또는 실질적으로 2 + 10으로 대체되어야 합니다. 즉, 먼저 두 배의 숫자를 제쳐두고 10배의 숫자를 추가합니다. 13의 승수는 10 + 3 등으로 대체됩니다.

처음 100개의 승수에 대한 몇 가지 특별한 경우를 살펴보겠습니다.

그건 그렇고, 주판의 도움으로 22, 33, 44, 55 등과 같은 숫자를 곱하는 것이 매우 편리하다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 그러므로 인수를 나눌 때, 같은 자리에 비슷한 숫자를 사용하도록 노력해야 합니다.

100보다 큰 숫자를 곱할 때도 비슷한 기술이 사용됩니다. 그러한 인위적인 기술이 지루하다면 물론 언제든지 주판을 사용하여 곱셈을 할 수 있습니다. 일반 규칙, 승수의 각 숫자를 곱하고 부분 곱을 기록하면 여전히 시간이 약간 단축됩니다.

"러시아" 곱셈 방법

한 자리 숫자의 곱셈 결과, 즉 곱셈표를 모두 외우지 않으면 여러 자리 숫자, 두 자리 숫자라도 곱셈을 할 수 없습니다. 우리가 이미 언급한 Magnitsky의 고대 "산술"에서 구구단에 대한 확실한 지식의 필요성은 다음 구절에서 미화됩니다(현대 귀에는 외계인).

누군가가 테이블을 반복하고 교만하지 않으면 숫자로 무엇을 곱해야 할지 알 수 없습니다.

그리고 모든 과학에 따르면 나는 고통에서 자유롭지 않습니다. Koliko는 참치를 가르치지 않고 나를 우울하게 만듭니다

그리고 그가 잊어버리면 유익하지 않을 것입니다.

이 구절의 저자는 구구단을 모르고 숫자를 곱하는 방법이 있다는 사실을 분명히 몰랐거나 간과했습니다. 우리 학교 방법과 유사한 이 방법은 러시아 농민의 일상 생활에서 사용되었으며 고대부터 계승되었습니다.

그 본질은 두 숫자의 곱셈이 한 숫자를 반으로 연속적으로 나누는 동시에 다른 숫자를 두 배로 늘리는 것입니다. 예는 다음과 같습니다.

반으로 나누는 것은 몫의 피치가 1이 되고 동시에 다른 숫자가 두 배가 될 때까지 계속됩니다. 마지막 두 배의 숫자는 원하는 결과를 제공합니다. 이 방법의 기반이 무엇인지 이해하는 것은 어렵지 않습니다. 한 요소를 절반으로 줄이고 다른 요소를 두 배로 늘리면 제품이 변경되지 않습니다. 그러므로 이 작업을 여러 번 반복한 결과 원하는 제품이 얻어지는 것은 분명합니다.

하지만 동시에라면 어떻게 해야 할까요... 홀수를 반으로 나누는 것이 가능한가요?

민속 방법은 이러한 어려움을 쉽게 극복합니다. 규칙에 따르면 홀수의 경우 하나를 던지고 나머지를 반으로 나누는 것이 필요합니다. 그러나 오른쪽 열의 단일 숫자에 왼쪽 열의 홀수 반대쪽에 있는 이 열의 모든 숫자를 추가해야 합니다. 합계를 구할까요? 난 일해요. 실제로 이는 왼쪽 숫자가 짝수인 모든 줄에 줄이 그어지는 방식으로 수행됩니다. 왼쪽에 홀수를 포함하는 것만 남습니다.

예는 다음과 같습니다. 별표는 이 선에 줄을 그어 지워야 함을 나타냅니다.

지워지지 않은 숫자를 더하면 완전히 정확한 결과를 얻을 수 있습니다. 17 + 34 + 272 = 32 이 기술은 무엇을 기반으로 합니까?

다음 사항을 고려하면 기술의 정확성이 분명해질 것입니다.

19X 17 = (18+ 1)X 17= 18X17+17, 9X34 = (8 + 1)X34=; 8X34 + 34 등

홀수를 반으로 나눌 때 손실되는 숫자 17, 34 등을 마지막 곱셈의 결과에 더해야 곱이 얻어지는 것은 분명합니다.

가속 곱셈의 예

앞서 언급한 것처럼 위의 각 기술을 세분화하여 개별 곱셈 연산을 수행하는 편리한 방법도 있습니다. 그 중 일부는 매우 간단하고 편리하게 적용할 수 있으며, 계산을 매우 쉽게 만들어 일반 계산에 사용하기 위해 기억해 두어도 전혀 문제가 되지 않습니다.

예를 들어 교차 곱셈 기술은 두 자리 숫자로 작업할 때 매우 편리합니다. 이 방법은 새로운 것이 아닙니다. 그것은 그리스인과 힌두교인에게까지 거슬러 올라가며 고대에는 "번개 방법" 또는 "십자가 곱셈"이라고 불렸습니다. 이제 그것은 잊혀졌고, 그것을 상기시켜도 아프지 않습니다1.

24X32를 곱한다고 가정해 보겠습니다. 정신적으로 숫자에 따라 배열하십시오. 다음 다이어그램, 아래에 하나씩:

이제 다음 단계를 순차적으로 수행합니다.

1)4X2 = 8은 결과의 마지막 숫자입니다.

2)2X2 = 4; 4X3=12; 4+12=16; 6 - 결과의 두 번째 자리; 1 기억해요.

3)2X3 = 6, 또한 염두에 둔 단위는 다음과 같습니다.

7은 결과의 첫 번째 숫자입니다.

우리는 제품의 모든 숫자를 얻습니다: 7, 6, 8 - 768.

짧은 연습 후에는 이 기술을 매우 쉽게 배울 수 있습니다.

소위 "덧셈"을 사용하는 또 다른 방법은 곱셈되는 숫자가 100에 가까운 경우에 편리하게 사용됩니다.

92X96을 곱한다고 가정해 보겠습니다. 92에서 100까지의 "추가"는 8이고, 96 - 4의 경우 작업은 다음 구성표에 따라 수행됩니다: 승수: 92 및 96 "추가": 8 및 4.

결과의 처음 두 자리는 단순히 승수에서 피승수의 "보수"를 빼거나 그 반대로 함으로써 얻습니다. 즉, 92에서 4를 빼거나 96에서 8을 뺍니다.

두 경우 모두 88개입니다. "추가"의 곱이 이 숫자에 추가됩니다: 8X4 = 32. 결과는 8832입니다.

얻은 결과가 정확해야 한다는 것은 다음 변환에서 명확하게 알 수 있습니다.

92x9b = 88X96 = 88(100-4) = 88 X 100-88X4

1 4X96= 4 (88 + 8)= 4X 8 + 88X4 92x96 8832+0

다른 예시. 78에 77을 곱해야 합니다. 인수: 78 및 77 "추가": 22 및 23.

78 - 23 = 55, 22 X 23 = 506, 5500 + 506 = 6006.

세 번째 예. 99 X 9를 곱합니다.

승수: 99 및 98 "추가": 1 및 2.

99-2 = 97, 1X2= 2.

여기서 우리는 97이 백의 수를 의미한다는 것을 기억해야 합니다. 그래서 우리는 그것을 추가합니다.

아가푸로프 맥심

학생의 연구 논문을 검토합니다.

1. 연구 작업은 MBOU "중등 학교 No. 2"의 7학년 "A" 학생인 Maxim Agafurov가 수행했습니다.
2. 연구리더 : 수학교사 – Lukyanova O.A.
3. 주제: "비정상적인 곱셈 방법" 작업 유형: 추상. 이 일오늘은 관련이 있습니다. 왜냐하면 가장 노동 집약적인 모든 컴퓨팅 프로세스가 완전히 기계화되더라도 암산의 단순화된 방법에 대한 지식은 여전히 ​​필요합니다. 암산을 사용하면 암산을 신속하게 수행할 수 있을 뿐만 아니라 계산기를 사용하여 수행한 계산 결과의 오류를 모니터링, 평가, 찾아 수정하는 것도 가능합니다. 또한 계산 기술을 익히면 기억력이 발달하고 학생들이 물리학 및 수학 과목을 완전히 익히는 데 도움이 됩니다.
4. 작업의 연구 부분이 완료되었습니다. 이러한 예에 대한 설명이 제공되고 적절한 결론이 도출됩니다.
5. 과학의 목표와 목적 연구 작업올바르게 공식화되었으며 명시된 주제와 일치합니다.
6. 전문 문헌은 충분한 깊이로 질적으로 연구되었습니다.
7. 연구 작업의 결론은 논리적이고 이론적으로 정당합니다.
8. 이 작업은 연구 부분을 충분한 수준으로 제시합니다. 그녀의 설명은 결과와 일치합니다. 대부분의작업은 감독자의 지도적 조언이나 조치 없이 주로 독립적으로 수행되었습니다.

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시사:

소개
여러 자리 숫자를 곱하는 방법
1.1.“질투 또는 격자 곱셈”………………………4
1.2.“러시아 농민 방식”................................................................5 1.3. “중국식 곱셈”................................................................6
연구부분.
2.1. 두 자리 숫자를 제곱하려면................................................6 2.2. “원형”에 가까운 숫자의 제곱..................................................7
2.4. 40에서 60까지의 숫자를 제곱하는 새로운 방법..........7 2.5. 5로 끝나는 숫자를 제곱하기 ..............8 2.6 1로 끝나는 수의 제곱 ..............8 2.7. 6으로 끝나는 수를 제곱하기 ..............8 2.8. 9로 끝나는 숫자를 제곱하려면................................8 2.9. 4로 끝나는 수를 제곱하기 ..............8 결론. 서지.

소개 " 계산 및 계산 -

머리 속의 질서의 기본."

요한 하인리히 페스탈로치(1746~1827)

어린 시절부터 수학을 공부하는 사람은 주의력을 키우고 두뇌와 의지를 훈련하며 목표 달성에 대한 인내와 인내를 개발합니다.

관련성: 수학은 지구상에서 가장 중요한 과학 중 하나이며 사람이 인생에서 매일 만나는 과학입니다. 암산은 가장 오래되고 간단한 계산 방법입니다. 가장 노동 집약적인 모든 컴퓨팅 프로세스가 완전히 기계화되더라도 암산의 단순화된 방법에 대한 지식은 여전히 ​​필요합니다. 암산을 사용하면 암산을 신속하게 수행할 수 있을 뿐만 아니라 계산기를 사용하여 수행한 계산 결과의 오류를 모니터링, 평가, 찾아 수정하는 것도 가능합니다. 또한 계산 기술을 익히면 기억력이 발달하고 학생들이 물리학 및 수학 과목을 완전히 익히는 데 도움이 됩니다.

사람이 일상 생활에서 계산 없이는 불가능합니다. 따라서 수학 수업에서 우리는 먼저 숫자에 대한 연산, 즉 계산을 수행하는 방법을 배웁니다. 우리는 학교에서 공부하는 일반적인 방법으로 곱셈, 나눗셈, 더하기, 뺄셈을 합니다.

다른 계산 방법이 있는지 궁금합니다. 수학 교과서에서 제공되는 방식뿐만 아니라 다른 방식으로도 곱셈을 할 수 있다는 것이 밝혀졌습니다. 나는 온라인 자료를 사용하여 곱셈을 하는 특이한 방법을 많이 배웠습니다. 결국, 신속하게 계산을 수행하는 능력은 솔직히 놀랍습니다.

공부의 목적 :

• 특이한 계산 방법을 가능한 한 많이 찾아보세요.
• 그것들을 사용하는 법을 배우십시오.
• 학교에서 제공하는 것보다 가장 흥미로운 것을 선택하고 계산할 때 사용하십시오.

연구 목표:

1. "질투 또는 격자 곱셈", "작은 성", "러시아 농민 방법", "선형 방법"과 같은 고대 곱셈 방법에 대해 알아보세요.

2. 숫자를 말로 제곱하는 기술을 살펴보고 실제로 적용해 보세요.

약간의 역사.

지금 우리가 사용하는 계산 방법이 항상 그렇게 간단하고 편리했던 것은 아닙니다. 예전에는 더 번거롭고 느린 기술이 사용되었습니다. 그리고 21세기의 학생이 500년 전으로 여행할 수 있다면 그는 계산의 속도와 정확성으로 우리 조상들을 놀라게 할 것입니다. 그에 대한 소문은 주변 학교와 수도원에 퍼져 당시 가장 숙련된 계산기의 영광을 무색하게 만들었고, 사람들은 새로운 위대한 스승과 함께 공부하기 위해 각지에서 모여들었습니다.

옛날에는 곱셈과 나눗셈의 연산이 특히 어려웠습니다. 그렇다면 각 행동에 대해 실천으로 개발된 단일한 방법은 없었습니다.반대로, 동시에 사용되는 곱셈과 나눗셈에는 거의 12가지의 다른 방법이 있었습니다. 하나는 다른 것보다 더 복잡한 기술로, 평균적인 능력을 가진 사람은 기억할 수 없었습니다. 각 계산 교사는 자신이 가장 좋아하는 기술을 고수했고 각 "분할의 대가"(그러한 전문가가 있음)는이 작업을 수행하는 자신의 방식을 칭찬했습니다.수천 년에 걸쳐 수학이 발전하면서 다양한 곱셈 방법이 발명되었습니다. 구구단을 제외하고는 모두 번거롭고 복잡하며 기억하기 어렵습니다. 빠른 곱셈 기술을 익히려면 특별한 타고난 재능이 필요하다고 믿었습니다. 평범한 사람들에게특별한 수학적 재능이 없는 사람들에게는 이 예술에 접근할 수 없었습니다.

그리고 "체스 또는 오르간", "접기", "십자형", "격자", "뒤에서 앞으로", "다이아몬드"등의 모든 곱셈 방법은 서로 경쟁하여 큰 어려움을 겪었습니다.

가장 흥미롭고 간단한 곱셈 방법을 살펴보겠습니다.

1.1. "질투, 또는 격자 곱셈"

15세기 이탈리아 수학자 루카 파치올리(Luca Pacioli)는 곱셈의 8가지 방법을 제시했습니다. 제 생각에는 그 중 가장 흥미로운 것은 "질투 또는 격자 곱셈"과 "작은 성"입니다.

347에 29를 곱해 봅시다.

직사각형을 그리고 정사각형으로 나누고, 정사각형을 대각선으로 나눕니다. 결과는 베네치아 주택의 격자 셔터와 유사한 그림입니다. 여기서 메소드 이름이 유래되었습니다.

테이블 상단에 숫자 347을 쓰고 오른쪽에서 위에서 아래로 29를 씁니다.

각 사각형에는 이 사각형과 함께 한 행과 한 열에 있는 숫자의 곱을 입력합니다. 10은 위쪽 삼각형에 위치하고 단위는 아래쪽 삼각형에 위치합니다. 숫자는 각 대각선을 따라 추가됩니다. 결과는 테이블의 왼쪽과 오른쪽에 기록됩니다.

답은 10063입니다.

이 방법의 단점은 직사각형의 표를 만드는 데 노동집약적이라는 점과 곱셈 과정 자체가 흥미롭고 표를 채우는 것이 게임과 비슷하다는 점이다.

1.2. "러시아 농민의 길"

러시아에서는 전체 구구단에 대한 지식이 필요하지 않은 방법이 농민들 사이에서 일반적이었습니다. 필요한 것은 숫자를 2로 곱하고 나누는 능력뿐입니다.

한 줄에 하나의 숫자를 왼쪽에, 다른 숫자를 오른쪽에 쓰겠습니다. 왼쪽 숫자를 2로 나누고, 오른쪽 숫자에 2를 곱하여 그 결과를 한 열에 쓰겠습니다. 나누는 과정에서 잔여물이 생기면 폐기됩니다. 2의 곱셈과 나눗셈은 왼쪽에 1이 남을 때까지 계속됩니다.

그런 다음 왼쪽에 짝수가 있는 열에서 해당 선을 지웁니다. 이제 오른쪽 열에 남은 숫자를 더하세요.

답은 1972026 입니다.

1.3.중국식 곱셈 방법.

이제 인터넷에서 활발히 논의되고 있는 중국식 곱셈법을 상상해 보자. 숫자를 곱할 때 두 요소의 각 자릿수에 해당하는 선의 교차점이 계산됩니다.

종이에 선을 하나씩 그립니다. 그 수는 이 예에서 결정됩니다.

첫 번째 32: 3개의 빨간색 선과 약간 낮은 - 2개의 파란색 선. 그런 다음 21: 이미 그려진 것에 수직으로 먼저 녹색 2개를 그린 다음 진홍색 1개를 그립니다.. 중요: 첫 번째 숫자의 선은 왼쪽 상단에서 오른쪽 하단 방향으로 그려지고, 두 번째 숫자의 선은 왼쪽 하단에서 오른쪽 상단으로 그려집니다.. 그런 다음 세 영역 각각의 교차점 수를 계산합니다(그림에서 해당 영역은 원으로 표시됨). 따라서 첫 번째 영역(백 영역)에는 6개의 포인트가 있고, 두 번째(십 영역)에는 7개의 포인트가 있고, 세 번째(단위 영역)에는 2개의 포인트가 있습니다. 그러므로 답은 672이다.

2. 연구부분

빠른 계산 기술은 기억력을 발달시킵니다. 이는 수학뿐만 아니라 학교에서 공부하는 다른 과목에도 적용됩니다.

또한 계산기를 사용하지 않고 말로 숫자를 제곱하는 작업 방법을 추가하고 싶습니다. GIA 및 통합 상태 시험 문제를 해결할 때 필요한 것도 좋은 정신 훈련입니다.

ㅏ 이제 몇 가지 흥미로운 부분으로 넘어가겠습니다. 저는 구두로 숫자를 제곱하는 방법을 좋아했습니다.대수학과 기하학 수업에 사용됩니다.

2.1. 두 자리 숫자를 제곱합니다.

1부터 25까지의 모든 숫자의 제곱을 외우면 25보다 큰 두 자리 숫자의 제곱을 쉽게 찾을 수 있습니다.

두 자리 숫자의 제곱을 찾으려면이 숫자와 25의 차이에 100을 곱하고 결과 제품에 주어진 숫자의 보수의 제곱을 50에 추가하거나 초과분의 제곱을 추가해야합니다. 50.

예를 살펴보겠습니다:

37 2 =12*100+13 2 =1200+169=1369

(M–25)*100+ (50-M) 2 =100M-2500+2500–100M+M 2 =M 2 .

2.2."둥근"에 가까운 수의 제곱.

논의된 예의 제곱 계산은 다음 공식을 기반으로 합니다.

A² = (a + b) (a – b) + b²,

성공적인 숫자 선택 V 계산이 크게 단순화됩니다. 첫째, 요소 중 하나는 "반올림" 숫자여야 하며(첫 번째 숫자만 0이 아닌 것이 바람직함), 둘째, 숫자 자체입니다. V 쉽게 제곱되어야 합니다. 즉, 작아야 합니다. 이러한 조건은 숫자로 정확하게 구현됩니다.ㅏ , "둥근"에 가깝습니다.

192² = 200*184 + 8² = 36864, / (192+8)(192-8)+ 8²/

412² = 400*424 + 12² = 169744, /(412-12)(412+12)+ 12²/

2.3. 40에서 50까지의 숫자를 제곱합니다.

2.4. 50에서 60까지의 숫자를 제곱합니다.

여섯 번째 10의 수를 제곱하려면 (51,52,53,54,55,56,57,58,59)
단위 수에 25를 더하고 이 합계에 단위 수의 제곱을 더해야 합니다.
예를 들어:
54*54=(4+25)*100+4*4=2916
57*57=(7+25)*100+7*7=3249

2.5. 5로 끝나는 숫자를 제곱합니다.

십의 수에 다음 십의 수를 곱하고 25를 더합니다.

15*15 = 10*20+ 25=225 또는 (1*2 오른쪽에 25를 더함)

35*35 =30*40 +25= 1225 (3*4 오른쪽에 25 추가)

65*65 = 60*70+25=4225 (6*7 오른쪽에 25 추가)

2.6. 1로 끝나는 숫자의 제곱입니다.

1로 끝나는 숫자를 제곱하려면 이 단위를 0으로 바꾸고 새 숫자를 제곱한 다음 이 제곱에 원래 숫자와 1을 0으로 바꾸어 얻은 숫자를 더해야 합니다.

예 번호 6. 71 2 = ?

71→70→70 2 =4900→4900+70+71=5041=71 2 .

2.7. 6으로 끝나는 숫자의 제곱입니다.

6으로 끝나는 숫자를 제곱하려면 6을 5로 바꾸고 새 숫자를 제곱한 다음(앞서 설명한 대로) 이 제곱에 원래 숫자와 6을 5로 바꿔 얻은 숫자를 더해야 합니다.

예 번호 7. 56 2 =?

56→55→55 2 =3025(5 6=30→3025) →3025+55+56 = 3136= 56 2 .

2.8.9로 끝나는 숫자의 제곱.

9로 끝나는 숫자를 제곱할 때 이 숫자 9를 0으로 바꾸고(다음 자연수를 얻음) 새 숫자를 제곱한 다음 이 제곱에서 원래 숫자와 9를 0으로 바꾸어 얻은 숫자를 빼야 합니다.

예 번호 8. 59 2 =?

59 → 60→60 2 =3600→ 3600 – 60 – 59 = 3481= 59 2 .

2.9.4로 끝나는 숫자의 제곱.

4로 끝나는 숫자를 제곱하려면 숫자 4를 5로 바꾸고 새 숫자를 제곱한 다음 이 제곱에서 원래 숫자와 4를 5로 바꾸어 얻은 숫자를 빼야 합니다.

예 번호 9. 84 2 =?

84→85→85 2 =7225(8 9=72→7225) →7225 – 85 – 84 = 7056 =84 2 .

2.10. 제곱할 때 다음 공식을 사용하는 것이 종종 편리합니다. b) 2 =a 2 +b 2 2ab.

예 번호 10.

41 2 = (40+1) 2 =1600+1+80=1681.

결론

연구 작업을 수행할 때 제가 가지고 있는 지식뿐만 아니라 추가 문헌에 필요한 작업도 필요했습니다.

1. 나는 일을 하면서 발견하고 숙달한 것이 있다. 다양한 방법여러 자리 숫자의 곱셈 그리고 나는 다음과 같이 말할 수 있습니다. 여러 자리 숫자를 곱하는 대부분의 방법은 구구단에 대한 지식을 기반으로 합니다.

"격자 곱셈"방법은 일반적으로 허용되는 방법보다 나쁘지 않습니다. 표준 방법에 있는 동시 덧셈 없이 곱셈표에서 직접 숫자를 표의 셀에 입력하기 때문에 훨씬 더 간단합니다.

- "러시아 농민" 곱셈 방법은 이전에 논의한 방법보다 훨씬 간단합니다. 그러나 그것은 또한 매우 부피가 크다.

내가 찾은 특이한 계산 방법 중에서는 "격자 곱셈 또는 질투" 방법이 더 흥미로워 보였습니다. 친구들에게 보여줬는데 친구들도 너무 좋아했어요.

가장 간단한 방법은 구구단에 대한 지식이 필요하지 않기 때문에 중국인이 사용하는 중국식 곱셈 방법인 것 같았습니다. 제시된 모든 방법으로 계산하는 방법을 배운 후 가장 간단한 방법은 우리가 학교에서 공부하는 방법이며 아마도 우리에게 더 친숙하다는 결론에 도달했습니다.

2. 나는 인생에 도움이 될 몇 가지 암산 기술을 배웠습니다. 나는 프로젝트 작업에 관심이 많았습니다. 나는 나에게 새로운 곱셈 방법을 배웠고, 숫자를 제곱하는 다양한 기술을 살펴보았습니다. 많은 계산에는 제가 대수학 수업에서 배운 축약된 곱셈 공식이 포함되어 있습니다. 단순화된 암산 기술을 사용하여 이제 계산기나 컴퓨터를 사용하지 않고도 가장 시간이 많이 걸리는 산술 연산을 수행할 수 있습니다. 나뿐만 아니라 부모님도 관심을 갖게되었습니다. 나는 친구와 반 친구들에게 구구구구법을 보여주었습니다. 단순화된 암산 기술에 대한 지식은 테이블이나 계산기를 마음대로 사용할 수 없는 경우에 특히 중요합니다. 나는 이 일을 계속하고 암산 기술을 더 배우고 싶었습니다. 나는 내 일이 헛되지 않을 것이라고 생각하며 국가 시험과 통합 국가 시험에 합격하면서 얻은 모든 지식을 활용할 수 있을 것입니다.

돈스코이, 2013

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