چگونه بزرگترین مقدار مشتق را از یک نمودار پیدا کنیم. مشتق از یک تابع

وظایف جدید ظاهر شده است. بیایید راه حل آنها را بررسی کنیم.

نمونه اولیه وظیفه B8 (شماره 317543)

در شکل نموداری از تابع y=f(x) نشان داده شده است و نقاط -2، -1، 1، 2 در کدام یک از این نقاط مقدار مشتق بیشتر است؟ لطفا این نکته را در پاسخ خود ذکر کنید.

همانطور که می دانیم نام دارد

حد نسبت افزایش یک تابع به افزایش آرگومان، زمانی که افزایش آرگومان به صفر میل می کند:

مشتق در یک نقطه نشان می دهد نرخ تغییر عملکرددر این نقطه هر چه تابع سریعتر تغییر کند، یعنی هر چه افزایش تابع بیشتر باشد، زاویه تمایل مماس بیشتر می شود. از آنجایی که مسئله مستلزم تعیین نقطه ای است که در آن مقدار مشتق بیشترین است، نقاط با ابسیساهای -1 و 1 را از بررسی حذف می کنیم - در این نقاط تابع کاهش می یابد و مشتق در آنها منفی است.

این تابع در نقاط -2 و 2 افزایش می یابد. با این حال، در آنها به روش های مختلف افزایش می یابد - در نقطه -2 نمودار تابع تندتر از نقطه 2 افزایش می یابد، و بنابراین افزایش تابع در این نقطه، و بنابراین، مشتق، بیشتر است.

پاسخ: -2

و یک کار مشابه:

نمونه اولیه وظیفه B8 (شماره 317544)

شکل یک نمودار از تابع را نشان می دهد و نقاط -2، -1، 1، 4 در کدام یک از این نقاط کوچکتر است؟ لطفا این نکته را در پاسخ خود ذکر کنید.

راه حل این مشکل مشابه راه حل قبلی است "دقیقا برعکس"

ما علاقه مند به نقطه ای هستیم که مشتق کوچکترین مقدار خود را می گیرد، یعنی ما به دنبال نقطه ای هستیم که در آن تابع سریع ترین کاهش می یابد - در نمودار این نقطه ای است که شیب دارترین "نزول" در آن رخ می دهد. این نقطه ابسیسا 4 است.

مسئله B9 نموداری از یک تابع یا مشتق می دهد که باید یکی از کمیت های زیر را از آن تعیین کنید:

1. مقدار مشتق در نقطه ای x 0،
2. حداکثر یا حداقل امتیاز (امتیازهای افراطی)،
3. فواصل توابع افزایش و کاهش (فاصله های یکنواختی).

توابع و مشتقات ارائه شده در این مسئله همیشه پیوسته هستند و راه حل را بسیار آسان تر می کند. علیرغم اینکه این کار به بخش تجزیه و تحلیل ریاضی تعلق دارد، حتی ضعیف ترین دانش آموزان نیز می توانند آن را انجام دهند، زیرا هیچ عمیقی وجود ندارد. دانش نظریاینجا لازم نیست

برای یافتن مقدار مشتق، نقاط افراطی و فواصل یکنواختی، الگوریتم های ساده و جهانی وجود دارد - همه آنها در زیر مورد بحث قرار خواهند گرفت.

شرایط مسئله B9 را با دقت بخوانید تا از اشتباهات احمقانه جلوگیری کنید: گاهی اوقات با متن های بسیار طولانی مواجه می شوید، اما چند شرط مهم وجود دارد که بر روند راه حل تأثیر می گذارد.

محاسبه مقدار مشتق. روش دو نقطه ای

اگر به مسئله نموداری از تابع f(x)، مماس بر این نمودار در نقطه ای x 0 داده شود، و برای یافتن مقدار مشتق در این نقطه لازم است، الگوریتم زیر اعمال می شود:

1. دو نقطه "مناسب" را در نمودار مماس پیدا کنید: مختصات آنها باید عدد صحیح باشد. بیایید این نقاط را به صورت A (x 1 ; y 1) و B (x 2 ; y 2) نشان دهیم. مختصات را به درستی بنویسید - این یک نکته کلیدی در راه حل است و هر اشتباهی در اینجا منجر به پاسخ نادرست می شود.
2. با دانستن مختصات، محاسبه افزایش آرگومان Δx = x 2 − x 1 و افزایش تابع Δy = y 2 − y 1 آسان است.
3. در نهایت، مقدار مشتق D = Δy/Δx را پیدا می کنیم. به عبارت دیگر، شما باید افزایش تابع را بر افزایش آرگومان تقسیم کنید - و این پاسخ خواهد بود.

اجازه دهید یک بار دیگر توجه کنیم: نقاط A و B را باید دقیقاً بر روی مماس جستجو کرد، نه در نمودار تابع f(x)، همانطور که اغلب اتفاق می افتد. خط مماس لزوماً شامل حداقل دو نقطه از این قبیل خواهد بود - در غیر این صورت مشکل به درستی فرموله نخواهد شد.

نقاط A (-3; 2) و B (-1; 6) را در نظر بگیرید و افزایش ها را پیدا کنید:
Δx = x 2 - x 1 = -1 - (-3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

بیایید مقدار مشتق را پیدا کنیم: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

وظیفه. شکل نموداری از تابع y = f(x) و مماس بر آن را در نقطه ای با آبسیسا x 0 نشان می دهد. مقدار مشتق تابع f(x) را در نقطه x 0 بیابید.

نقاط A (0; 3) و B (3; 0) را در نظر بگیرید، افزایش ها را پیدا کنید:
Δx = x 2 - x 1 = 3 - 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

اکنون مقدار مشتق را پیدا می کنیم: D = Δy/Δx = -3/3 = -1.

وظیفه. شکل نموداری از تابع y = f(x) و مماس بر آن را در نقطه ای با آبسیسا x 0 نشان می دهد. مقدار مشتق تابع f(x) را در نقطه x 0 بیابید.

نقاط A (0; 2) و B (5; 2) را در نظر بگیرید و افزایش ها را پیدا کنید:
Δx = x 2 - x 1 = 5 - 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

باقی مانده است که مقدار مشتق را پیدا کنیم: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

از آخرین مثال، می‌توانیم یک قانون را فرموله کنیم: اگر مماس موازی با محور OX باشد، مشتق تابع در نقطه مماس صفر است. در این مورد، شما حتی نیازی به شمارش چیزی ندارید - فقط به نمودار نگاه کنید.

محاسبه حداکثر و حداقل امتیاز

گاهی اوقات به جای نمودار یک تابع، مسئله B9 نموداری از مشتق را ارائه می دهد و نیاز به یافتن حداکثر یا حداقل نقطه تابع دارد. در این شرایط، روش دو نقطه ای بی فایده است، اما الگوریتم دیگری حتی ساده تر وجود دارد. ابتدا اجازه دهید اصطلاحات را تعریف کنیم:

1. نقطه x 0 حداکثر نقطه تابع f(x) نامیده می شود اگر در برخی از همسایگی های این نقطه نابرابری زیر برقرار باشد: f(x 0) ≥ f(x).
2. نقطه x 0 حداقل نقطه تابع f(x) نامیده می شود اگر در همسایگی این نقطه نابرابری زیر برقرار باشد: f(x 0) ≤ f(x).

برای یافتن حداکثر و حداقل نقاط در نمودار مشتق، کافی است مراحل زیر را دنبال کنید:

1. نمودار مشتق را دوباره ترسیم کنید، تمام اطلاعات غیر ضروری را حذف کنید. همانطور که تمرین نشان می دهد، داده های غیر ضروری فقط در تصمیم گیری دخالت می کنند. بنابراین، ما صفرهای مشتق را روی محور مختصات علامت گذاری می کنیم - و تمام.
2. نشانه های مشتق را در فواصل بین صفرها پیدا کنید. اگر برای نقطه ای x 0 معلوم شود که f'(x 0) ≠ 0، آنگاه فقط دو گزینه ممکن است: f'(x 0) ≥ 0 یا f'(x 0) ≤ 0. علامت مشتق است به راحتی می توان از ترسیم اصلی تعیین کرد: اگر نمودار مشتق بالای محور OX باشد، آنگاه f'(x) ≥ 0. و بالعکس، اگر نمودار مشتق زیر محور OX باشد، آنگاه f'(x) ≤ 0 است.
3. دوباره صفرها و نشانه های مشتق را بررسی می کنیم. جایی که علامت از منفی به مثبت تغییر می کند، حداقل نقطه است. برعکس، اگر علامت مشتق از مثبت به منفی تغییر کند، این حداکثر نقطه است. شمارش همیشه از چپ به راست انجام می شود.

این طرح فقط برای توابع پیوسته کار می کند - هیچ مورد دیگری در مشکل B9 وجود ندارد.

وظیفه. شکل نموداری از مشتق تابع f(x) را نشان می دهد که در بازه [-5; 5]. حداقل نقطه تابع f(x) را در این قطعه پیدا کنید.

بیایید از شر اطلاعات غیر ضروری خلاص شویم و فقط مرزها را رها کنیم [-5; 5] و صفرهای مشتق x = -3 و x = 2.5. ما همچنین به علائم توجه می کنیم:

بدیهی است که در نقطه x = -3 علامت مشتق از منفی به مثبت تغییر می کند. این حداقل امتیاز است.

وظیفه. شکل نموداری از مشتق تابع f(x) را نشان می دهد که در بازه [-3; 7]. حداکثر نقطه تابع f(x) را در این قطعه پیدا کنید.

بیایید نمودار را دوباره ترسیم کنیم و فقط مرزها را باقی بگذاریم [-3; 7] و صفرهای مشتق x = −1.7 و x = 5. اجازه دهید علائم مشتق را در نمودار حاصل یادداشت کنیم. ما داریم:

بدیهی است که در نقطه x = 5 علامت مشتق از مثبت به منفی تغییر می کند - این حداکثر نقطه است.

وظیفه. شکل نموداری از مشتق تابع f(x) را نشان می دهد که در بازه [-6; 4]. تعداد حداکثر نقاط تابع f(x) متعلق به بخش [-4; 3].

از شرایط مسئله چنین استنباط می شود که کافی است فقط بخشی از نمودار را که توسط بخش محدود شده است در نظر بگیریم [-4; 3]. بنابراین، ما یک نمودار جدید می سازیم که روی آن فقط مرزها را علامت گذاری می کنیم [-4; 3] و صفرهای مشتق داخل آن. یعنی، نقاط x = -3.5 و x = 2. دریافت می کنیم:

در این نمودار تنها یک نقطه حداکثر x = 2 وجود دارد. در این نقطه است که علامت مشتق از مثبت به منفی تغییر می کند.

یک نکته کوچک در مورد نقاط با مختصات غیر صحیح. به عنوان مثال، در مسئله آخر نقطه x = -3.5 در نظر گرفته شد، اما با همان موفقیت می توانیم x = -3.4 را بگیریم. اگر مشکل به درستی جمع آوری شده باشد، چنین تغییراتی نباید بر پاسخ تأثیر بگذارد، زیرا نکات "بدون محل اقامت ثابت" به طور مستقیم در حل مشکل شرکت نمی کنند. البته، این ترفند با امتیازهای صحیح کار نمی کند.

یافتن فواصل توابع افزایش و کاهش

در چنین مسئله ای، مانند نقاط حداکثر و حداقل، پیشنهاد می شود از نمودار مشتق برای یافتن مناطقی که خود تابع در آنها افزایش یا کاهش می یابد، استفاده شود. ابتدا بیایید تعریف کنیم که افزایش و کاهش چیست:

1. اگر برای هر دو نقطه x 1 و x 2 از این پاره، یک تابع f(x) در یک قطعه افزایش می‌یابد: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2) . به عبارت دیگر، هر چه مقدار آرگومان بزرگتر باشد، مقدار تابع بزرگتر است.
2. تابع f(x) در یک پاره کاهشی نامیده می شود که برای هر دو نقطه x 1 و x 2 از این پاره جمله زیر درست باشد: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). آن ها مقدار آرگومان بزرگتر مربوط به مقدار تابع کوچکتر است.

اجازه دهید شرایط کافی برای افزایش و کاهش را فرموله کنیم:

1. برای اینکه یک تابع پیوسته f(x) روی قطعه افزایش یابد، کافی است مشتق آن در داخل قطعه مثبت باشد، یعنی. f'(x) ≥ 0.
2. برای اینکه یک تابع پیوسته f(x) روی قطعه کاهش یابد، کافی است مشتق آن در داخل قطعه منفی باشد، یعنی. f’(x) ≤ 0.

بیایید این اظهارات را بدون مدرک بپذیریم. بنابراین، ما طرحی را برای یافتن فواصل افزایش و کاهش به دست می آوریم که از بسیاری جهات شبیه الگوریتم محاسبه نقاط اکستریموم است:

1. تمام اطلاعات غیر ضروری را حذف کنید. در نمودار اصلی مشتق، ما در درجه اول به صفرهای تابع علاقه داریم، بنابراین فقط آنها را ترک می کنیم.
2. نشانه های مشتق را در فواصل بین صفرها مشخص کنید. در جایی که f’(x) ≥ 0 باشد، تابع افزایش می یابد و در جایی که f’(x) ≤ 0 باشد، کاهش می یابد. اگر مشکل محدودیت‌هایی را روی متغیر x ایجاد کند، آن‌ها را در نمودار جدید علامت‌گذاری می‌کنیم.
3. اکنون که رفتار تابع و محدودیت ها را می دانیم، باقی مانده است که کمیت مورد نیاز در مسئله را محاسبه کنیم.

وظیفه. شکل نموداری از مشتق تابع f(x) را نشان می دهد که در بازه [-3; 7.5]. فواصل کاهش تابع f(x) را بیابید. در پاسخ خود مجموع اعداد صحیح موجود در این فواصل را مشخص کنید.

طبق معمول، بیایید نمودار را دوباره ترسیم کنیم و مرزها را علامت گذاری کنیم [-3; 7.5]، و همچنین صفرهای مشتق x = -1.5 و x = 5.3. سپس نشانه های مشتق را یادداشت می کنیم. ما داریم:

از آنجایی که مشتق در بازه (1.5-) منفی است، این بازه تابع کاهشی است. باقی مانده است که تمام اعداد صحیحی که در این بازه هستند جمع شوند:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

وظیفه. شکل نموداری از مشتق تابع f(x) را نشان می دهد که در بازه [-10; 4]. بازه های افزایش تابع f(x) را بیابید. در پاسخ خود طول بزرگترین آنها را مشخص کنید.

بیایید از شر اطلاعات غیر ضروری خلاص شویم. بگذارید فقط مرزها را رها کنیم [-10; 4] و صفرهای مشتق، که این بار چهار عدد از آنها وجود داشت: x = −8، x = −6، x = −3 و x = 2. بیایید علائم مشتق را علامت‌گذاری کنیم و تصویر زیر را دریافت کنیم:

ما به فواصل افزایش تابع علاقه داریم، یعنی. مانند جایی که f'(x) ≥ 0. دو بازه از این قبیل در نمودار وجود دارد: (-8؛ -6) و (-3؛ 2). بیایید طول آنها را محاسبه کنیم:
l 1 = - 6 - (-8) = 2;
l 2 = 2 - (-3) = 5.

از آنجایی که باید طول بزرگترین بازه ها را پیدا کنیم، مقدار l 2 = 5 را به عنوان پاسخ یادداشت می کنیم.

نشان دادن ارتباط بین علامت مشتق و ماهیت یکنواختی تابع.

لطفا در مورد موارد زیر نهایت دقت را داشته باشید. نگاه کنید، برنامه WHAT به شما داده می شود! تابع یا مشتق آن

اگر نموداری از مشتق داده شود، سپس ما فقط به علائم تابع و صفرها علاقه مند خواهیم بود. ما اصولاً به هیچ "تپه" یا "توخالی" علاقه نداریم!

وظیفه 1.

شکل یک نمودار از یک تابع تعریف شده در بازه را نشان می دهد. تعداد نقاط صحیحی که مشتق تابع در آنها منفی است را تعیین کنید.

راه حل:

در شکل، مناطق تابع کاهشی با رنگ مشخص شده اند:

این مناطق کاهشی تابع حاوی 4 مقدار صحیح هستند.

وظیفه 2.

شکل یک نمودار از یک تابع تعریف شده در بازه را نشان می دهد. تعداد نقاطی را بیابید که مماس نمودار تابع با خط موازی یا منطبق با آن است.

راه حل:

هنگامی که مماس بر نمودار یک تابع موازی (یا منطبق) با یک خط مستقیم (یا، که همان چیزی است)، شیب، برابر با صفر است، پس مماس دارای ضریب زاویه ای است.

این به نوبه خود به این معنی است که مماس موازی با محور است، زیرا شیب مماس زاویه تمایل مماس بر محور است.

بنابراین، ما نقاط انتهایی (نقاط حداکثر و حداقل) را در نمودار پیدا می کنیم - در این نقاط است که توابع مماس بر نمودار موازی با محور خواهند بود.

4 نکته از این قبیل وجود دارد.

وظیفه 3.

شکل نموداری از مشتق تابع تعریف شده در بازه را نشان می دهد. تعداد نقاطی را بیابید که مماس نمودار تابع با خط موازی یا منطبق با آن است.

راه حل:

از آنجایی که مماس بر نمودار یک تابع با خطی که دارای شیب است موازی (یا منطبق) است، پس مماس نیز دارای شیب است.

این به نوبه خود به این معنی است که در نقاط لمسی.

بنابراین، ما نگاه می کنیم که چند نقطه در نمودار دارای یک ارده برابر با .

همانطور که می بینید، چهار نکته وجود دارد.

وظیفه 4.

شکل یک نمودار از یک تابع تعریف شده در بازه را نشان می دهد. تعداد نقاطی که مشتق تابع 0 است را بیابید.

راه حل:

مشتق در نقاط انتهایی برابر با صفر است. ما 4 تا از آنها داریم:

وظیفه 5.

شکل نمودار یک تابع و یازده نقطه در محور x را نشان می دهد:. مشتق تابع در چند نقطه از این نقاط منفی است؟

راه حل:

در بازه های تابع کاهشی، مشتق آن مقادیر منفی می گیرد. و تابع در نقاط کاهش می یابد. 4 نکته از این قبیل وجود دارد.

وظیفه 6.

شکل یک نمودار از یک تابع تعریف شده در بازه را نشان می دهد. مجموع نقاط انتهایی تابع را بیابید.

راه حل:

نقاط افراطی- اینها حداکثر امتیاز (-3، -1، 1) و حداقل امتیاز (-2، 0، 3) هستند.

مجموع نقاط افراطی: -3-1+1-2+0+3=-2.

وظیفه 7.

شکل نموداری از مشتق تابع تعریف شده در بازه را نشان می دهد. فواصل افزایش تابع را پیدا کنید. در پاسخ خود مجموع نقاط صحیح موجود در این فواصل را مشخص کنید.

راه حل:

شکل فواصلی را که مشتق تابع غیرمنفی است مشخص می کند.

هیچ نقطه صحیحی در بازه افزایشی کوچک وجود ندارد، چهار مقدار صحیح وجود دارد: , و.

جمع آنها:

وظیفه 8.

شکل نموداری از مشتق یک تابع تعریف شده در بازه را نشان می دهد. فواصل افزایش تابع را پیدا کنید. در پاسخ خود طول بزرگترین آنها را مشخص کنید.

راه حل:

در شکل، تمام بازه هایی که مشتق در آنها مثبت است، با رنگ مشخص شده اند، به این معنی که خود تابع در این بازه ها افزایش می یابد.

طول بزرگترین آنها 6 است.

وظیفه 9.

شکل نموداری از مشتق تابع تعریف شده در بازه را نشان می دهد. در چه نقطه ای از بخش انجام می دهد بالاترین ارزش.

راه حل:

بیایید ببینیم که نمودار چگونه در بخش رفتار می کند، چیزی که ما به آن علاقه مندیم فقط علامت مشتق .

علامت مشتق on منهای است، زیرا نمودار این بخش زیر محور است.

سلام! بیایید با آمادگی سیستماتیک با کیفیت بالا و پشتکار در سنگ زنی سنگ گرانیت علم، آزمون یکپارچه دولتی آینده را بزنیم!!! که دریک کار مسابقه در انتهای پست وجود دارد، اولین نفر باشید! در یکی از مقاله های این قسمت من و شما که در آن نمودار تابع آورده شده و سوالات مختلفی در مورد اکسترم ها، فواصل افزایش (کاهش) و موارد دیگر مطرح شده است.

در این مقاله به بررسی مسائل موجود در آزمون دولتی واحد ریاضی می پردازیم که در آن نموداری از مشتق یک تابع ارائه شده و سوالات زیر مطرح می شود:

1. در کدام نقطه از یک بخش معین، تابع بزرگترین (یا کوچکترین) مقدار را می گیرد.

2. تعداد حداکثر (یا حداقل) نقاط تابع متعلق به یک بخش معین را بیابید.

3. تعداد نقاط انتهایی تابع متعلق به یک قطعه معین را بیابید.

4. نقطه انتهایی تابع متعلق به بخش داده شده را پیدا کنید.

5. بازه های تابع افزایش (یا کاهش) را بیابید و در پاسخ مجموع نقاط صحیح موجود در این بازه ها را مشخص کنید.

6. فواصل افزایش (یا کاهش) تابع را بیابید. در پاسخ خود، طول بزرگترین این بازه ها را مشخص کنید.

7. تعداد نقاطی را بیابید که مماس نمودار تابع با خطی به شکل y = kx + b موازی یا منطبق است.

8. آبسیسا نقطه ای را که مماس نمودار تابع با محور آبسیسا موازی یا منطبق بر آن است را بیابید.

ممکن است سؤالات دیگری وجود داشته باشد، اما اگر متوجه شوید مشکلی برای شما ایجاد نخواهد کرد (پیوندهایی به مقالاتی ارائه شده است که اطلاعات لازم برای راه حل را ارائه می دهند، توصیه می کنم آنها را تکرار کنید).

اطلاعات اولیه (به طور خلاصه):

1. مشتق در فواصل افزایشی دارای علامت مثبت است.

اگر مشتق در نقطه معینی از یک بازه مشخص دارای مقدار مثبت باشد، نمودار تابع در این بازه افزایش می یابد.

2. در فواصل کاهشی، مشتق دارای علامت منفی است.

اگر مشتق در نقطه معینی از یک بازه معین دارای مقدار منفی باشد، نمودار تابع در این بازه کاهش می یابد.

3. مشتق در نقطه x برابر است با شیب مماس رسم شده به نمودار تابع در همان نقطه.

4. در نقاط منتهی (حداکثر - حداقل) تابع، مشتق برابر با صفر است. مماس بر نمودار تابع در این نقطه موازی با محور x است.

این را باید به وضوح فهمید و به خاطر بسپارید!!!

نمودار مشتق بسیاری از مردم را گیج می کند. برخی افراد ناخواسته آن را با نمودار خود تابع اشتباه می گیرند. بنابراین، در چنین ساختمان‌هایی که می‌بینید یک نمودار داده می‌شود، فوراً توجه خود را در شرایط به آنچه داده می‌شود متمرکز کنید: نمودار تابع یا نمودار مشتق تابع؟

اگر نموداری از مشتق یک تابع است، آن را به عنوان "بازتاب" خود تابع در نظر بگیرید که به سادگی اطلاعاتی در مورد آن تابع به شما می دهد.

وظیفه را در نظر بگیرید:

شکل یک نمودار را نشان می دهد y =f'(ایکس)- مشتق از یک تابع f(ایکس)، در بازه (-2;21) تعریف شده است.

به سوالات زیر پاسخ خواهیم داد:

1. تابع در کدام نقطه از قطعه قرار دارد f(ایکس)بیشترین ارزش را می گیرد

در یک بازه معین، مشتق یک تابع منفی است، به این معنی که تابع در این بازه کاهش می یابد (از مرز سمت چپ بازه به سمت راست کاهش می یابد). بنابراین، بیشترین مقدار تابع در مرز سمت چپ قطعه، یعنی در نقطه 7 به دست می آید.

جواب: 7

2. تابع در کدام نقطه از قطعه قرار دارد f(ایکس)

از این نمودار مشتق می توان موارد زیر را بیان کرد. در یک بازه معین، مشتق تابع مثبت است، به این معنی که تابع در این بازه افزایش می یابد (از مرز سمت چپ بازه به سمت راست افزایش می یابد). بنابراین، کوچکترین مقدار تابع در مرز سمت چپ بخش، یعنی در نقطه x = 3 به دست می آید.

پاسخ: 3

3. تعداد حداکثر نقاط تابع را بیابید f(ایکس)

حداکثر امتیاز مربوط به نقاطی است که علامت مشتق از مثبت به منفی تغییر می کند. بیایید در نظر بگیریم که علامت به این ترتیب کجا تغییر می کند.

در قسمت (3;6) مشتق مثبت و در قسمت (6;16) منفی است.

در قسمت (16;18) مشتق مثبت و در قسمت (18;20) منفی است.

بنابراین، در یک بخش معین، تابع دارای دو نقطه حداکثر x = 6 و x = 18 است.

جواب: 2

4. تعداد حداقل نقاط تابع را بیابید f(ایکس)، متعلق به بخش

حداقل نقاط مربوط به نقاطی است که علامت مشتق از منفی به مثبت تغییر می کند. مشتق ما در بازه (0;3) منفی و در بازه (3;4) مثبت است.

بنابراین، در بخش تابع فقط یک نقطه حداقل x = 3 دارد.

*در نوشتن پاسخ دقت کنید - تعداد امتیازات ثبت شده است، نه مقدار x ممکن است به دلیل بی توجهی انجام شود.

پاسخ 1

5. تعداد نقاط انتهایی تابع را بیابید f(ایکس)، متعلق به بخش

لطفاً توجه داشته باشید که چه چیزی را باید پیدا کنید تعدادنقاط extremum (اینها هم حداکثر و هم حداقل امتیاز هستند).

نقاط افراطی مربوط به نقاطی است که علامت مشتق تغییر می کند (از مثبت به منفی یا برعکس). در نمودار داده شده در شرط، اینها صفرهای تابع هستند. مشتق در نقاط 3، 6، 16، 18 ناپدید می شود.

بنابراین، تابع دارای 4 نقطه منتهی در قطعه است.

پاسخ: 4

6. فواصل افزایش تابع را بیابید f(ایکس)

فواصل افزایش این تابع f(ایکس)مطابق با فواصلی است که مشتق آن مثبت است، یعنی فواصل (3;6) و (16;18). لطفاً توجه داشته باشید که مرزهای بازه در آن گنجانده نشده است (پرانتزهای گرد - مرزها در فاصله گنجانده نشده اند، براکت های مربع - شامل). این فواصل شامل نقاط صحیح 4، 5، 17 است. مجموع آنها 4 + 5 + 17 = 26 است.

جواب: 26

7. بازه های تابع کاهشی را بیابید f(ایکس)در یک بازه زمانی معین در پاسخ خود مجموع نقاط صحیح موجود در این فواصل را مشخص کنید.

کاهش فواصل یک تابع f(ایکس)مربوط به بازه هایی است که مشتق تابع منفی است. در این مشکل اینها فواصل (-2;3)، (6;16)، (18:21) هستند.

این بازه ها شامل نقاط صحیح زیر هستند: –1، 0، 1، 2، 7، 8، 9، 10، 11، 12، 13، 14، 15، 19، 20. مجموع آنها:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

جواب: 140

*به شرط توجه کنید که آیا حدود در فاصله لحاظ شده است یا خیر. اگر مرزها گنجانده شوند، در فواصل در نظر گرفته شده در فرآیند حل، این مرزها نیز باید در نظر گرفته شوند.

8. فواصل افزایش تابع را بیابید f(ایکس)

فواصل افزایش عملکرد f(ایکس)مربوط به فواصل زمانی است که مشتق تابع مثبت است. قبلاً به آنها اشاره کردیم: (3؛ 6) و (16:18). بزرگترین آنها فاصله (3;6) و طول آن 3 است.

پاسخ: 3

9. بازه های تابع کاهشی را بیابید f(ایکس). در پاسخ خود طول بزرگترین آنها را مشخص کنید.

کاهش فواصل یک تابع f(ایکس)مربوط به بازه هایی است که مشتق تابع منفی است. ما قبلاً آنها را نشان دادیم که اینها فواصل (-2;3)، (6;16)، (18;21) هستند، طول آنها به ترتیب 5، 10، 3 است.

طول بزرگترین 10 است.

جواب: 10

10. تعداد نقاط مماس بر نمودار تابع را بیابید f(ایکس)موازی یا منطبق با خط مستقیم y = 2x + 3.

مقدار مشتق در نقطه مماس برابر با شیب مماس است. از آنجایی که مماس با خط مستقیم y = 2x + 3 موازی است یا با آن منطبق است، ضرایب زاویه ای آنها برابر با 2 است. این بدان معنی است که باید تعداد نقاطی را که در آنها y'(x 0) = 2 است، پیدا کرد. از نظر هندسی، این مربوط به تعداد نقاط تقاطع نمودار مشتق با خط مستقیم y = 2 است. 4 نقطه از این قبیل در این فاصله وجود دارد.

پاسخ: 4

11. نقطه منتهی تابع را پیدا کنید f(ایکس)، متعلق به بخش

نقطه منتهی تابع نقطه ای است که مشتق آن برابر با صفر است و در مجاورت این نقطه مشتق تغییر علامت می دهد (از مثبت به منفی یا بالعکس). در بخش، نمودار مشتق محور x را قطع می کند، مشتق علامت را از منفی به مثبت تغییر می دهد. بنابراین، نقطه x = 3 یک نقطه افراطی است.

پاسخ: 3

12. آبسیسا نقاطی را که مماس های نمودار y = f (x) با محور آبسیسا موازی یا منطبق بر آن هستند را بیابید. در پاسخ خود بزرگترین آنها را مشخص کنید.

مماس بر نمودار y = f (x) می تواند موازی با محور آبسیسا یا منطبق با آن باشد، فقط در نقاطی که مشتق برابر با صفر است (اینها می توانند نقاط انتهایی یا نقاط ثابتی باشند که مشتق در مجاورت آنها قرار دارند. علامت آن را تغییر ندهید). این نمودار نشان می دهد که مشتق در نقاط 3، 6، 16،18 صفر است. بزرگترین آنها 18 است.

شما می توانید استدلال خود را به این صورت بسازید:

مقدار مشتق در نقطه مماس برابر با شیب مماس است. از آنجایی که مماس موازی یا منطبق با محور x است، شیب آن 0 است (در واقع، مماس زاویه صفر درجه صفر است). بنابراین، ما به دنبال نقطه ای هستیم که در آن شیب برابر با صفر است و بنابراین مشتق برابر با صفر است. مشتق در نقطه ای که نمودار آن محور x را قطع می کند برابر با صفر است و اینها نقاط 3، 6، 16،18 هستند.

جواب: 18

شکل یک نمودار را نشان می دهد y =f'(ایکس)- مشتق از یک تابع f(ایکس)، در بازه (-8;4) تعریف شده است. تابع در کدام نقطه از بخش [–7;–3] قرار دارد f(ایکس)کمترین مقدار را می گیرد.

شکل یک نمودار را نشان می دهد y =f'(ایکس)- مشتق از یک تابع f(ایکس)، در بازه (-7;14) تعریف شده است. تعداد حداکثر نقاط تابع را بیابید f(ایکس)، متعلق به بخش [–6;9].

شکل یک نمودار را نشان می دهد y =f'(ایکس)- مشتق از یک تابع f(ایکس)، در بازه (6-18) تعریف شده است. تعداد حداقل نقاط تابع را بیابید f(ایکس)، متعلق به بخش [–13;1].

شکل یک نمودار را نشان می دهد y =f'(ایکس)- مشتق از یک تابع f(ایکس)، در بازه (-11; -11) تعریف شده است. تعداد نقاط انتهایی تابع را بیابید f(ایکس)، متعلق به بخش [–10; -10].

شکل یک نمودار را نشان می دهد y =f'(ایکس)- مشتق از یک تابع f(ایکس)، در بازه (-7;4) تعریف شده است. فواصل افزایش تابع را بیابید f(ایکس). در پاسخ خود مجموع نقاط صحیح موجود در این فواصل را مشخص کنید.

شکل یک نمودار را نشان می دهد y =f'(ایکس)- مشتق از یک تابع f(ایکس)، در بازه (-5;7) تعریف شده است. فواصل تابع کاهشی را بیابید f(ایکس). در پاسخ خود مجموع نقاط صحیح موجود در این فواصل را مشخص کنید.

شکل یک نمودار را نشان می دهد y =f'(ایکس)- مشتق از یک تابع f(ایکس)، در بازه (-11;3) تعریف شده است. فواصل افزایش تابع را بیابید f(ایکس). در پاسخ خود طول بزرگترین آنها را مشخص کنید.

F شکل یک نمودار را نشان می دهد

شرایط مشکل یکسان است (که در نظر گرفتیم). مجموع سه عدد را پیدا کنید:

1. مجموع مجذورهای منتهی تابع f (x).

2. تفاوت مجذور مجموع حداکثر نقاط و مجموع حداقل نقاط تابع f (x).

3. تعداد مماس های f (x) موازی با خط مستقیم y = –3x + 5.

اولین کسی که پاسخ صحیح را بدهد یک جایزه تشویقی 150 روبلی دریافت می کند. پاسخ های خود را در نظرات بنویسید. اگر این اولین نظر شما در وبلاگ باشد، بلافاصله ظاهر نمی شود، اما کمی دیرتر (نگران نباشید، زمان نوشتن نظر ثبت می شود).

موفق باشی!

با احترام، الکساندر کروتیسیخ.

P.S. اگر در مورد سایت در شبکه های اجتماعی به من بگویید ممنون می شوم.

دوستان عزیز! گروه وظایف مربوط به مشتق شامل وظایف است - شرط یک نمودار از یک تابع، چندین نقطه در این نمودار را نشان می دهد و سؤال این است:

مشتق بزرگترین (کوچکترین) در کدام نقطه است؟

به طور خلاصه تکرار می کنیم:

مشتق در یک نقطه برابر است با شیب مماس عبور از آناین نقطه در نمودار

Uضریب سراسری مماس به نوبه خود برابر با مماس زاویه میل این مماس است.

*این به زاویه بین مماس و محور x اشاره دارد.

1. در فواصل افزایش تابع، مشتق دارای مقدار مثبت است.

2. در فواصل کاهش آن، مشتق ارزش منفی دارد.

طرح زیر را در نظر بگیرید:

در نقاط 1،2،4، مشتق تابع دارای مقدار منفی است، زیرا این نقاط به فواصل کاهشی تعلق دارند.

در نقاط 3،5،6، مشتق تابع دارای ارزش مثبت است، زیرا این نقاط به فواصل افزایشی تعلق دارند.

همانطور که می بینید، همه چیز با معنای مشتق مشخص است، یعنی تعیین اینکه چه علامتی (مثبت یا منفی) در نقطه خاصی از نمودار دارد اصلاً دشوار نیست.

علاوه بر این، اگر به صورت ذهنی در این نقاط مماس بسازیم، خواهیم دید که خطوط مستقیمی که از نقاط 3، 5 و 6 می گذرند، زاویه هایی با محور oX در محدوده 0 تا 90 o تشکیل می دهند و خطوط مستقیمی که از نقاط 1، 2 و 4 عبور می کنند، تشکیل می دهند. با محور oX، زاویه ها از 90 o تا 180 درجه متغیر است.

*رابطه واضح است: مماس هایی که از نقاطی که به فواصل توابع افزایشی می گذرند، زوایای حاد را با محور oX تشکیل می دهند، مماس هایی که از نقاطی که به فواصل توابع کاهشی می گذرند، زوایای مبهمی را با محور oX تشکیل می دهند.

حالا سوال مهم!

ارزش مشتق چگونه تغییر می کند؟ به هر حال، مماس در نقاط مختلف نمودار یک تابع پیوسته، بسته به اینکه از کدام نقطه نمودار عبور کند، زوایای مختلفی را تشکیل می دهد.

*یا، صحبت کردن به زبان سادهمماس به صورت "افقی" یا "عمودی" قرار دارد. نگاه کن:

خطوط مستقیم زاویه هایی را با محور oX از 0 تا 90 o تشکیل می دهند

خطوط مستقیم زاویه هایی را با محور oX از 90 درجه تا 180 درجه تشکیل می دهند.

بنابراین، اگر سوالی دارید:

- در کدام یک از نقاط داده شده در نمودار، مشتق کوچکترین مقدار را دارد؟

- در کدام یک از نقاط داده شده در نمودار، مشتق بیشترین مقدار را دارد؟

سپس برای پاسخ باید فهمید که چگونه مقدار مماس زاویه مماس در محدوده 0 تا 180 درجه تغییر می کند.

*همانطور که قبلا ذکر شد، مقدار مشتق تابع در یک نقطه برابر است با مماس زاویه میل مماس بر محور oX.

مقدار مماس به صورت زیر تغییر می کند:

هنگامی که زاویه شیب خط مستقیم از 0 درجه به 90 درجه تغییر می کند، مقدار مماس، و بنابراین مشتق، بر این اساس از 0 به +∞ تغییر می کند.

هنگامی که زاویه شیب خط مستقیم از 90 درجه به 180 درجه تغییر می کند، مقدار مماس، و بنابراین مشتق، بر این اساس -∞ به 0 تغییر می کند.

این را می توان به وضوح از نمودار تابع مماس مشاهده کرد:

به زبان ساده:

در زاویه تمایل مماس از 0 تا 90 درجه

هرچه به 0 o نزدیکتر باشد، مقدار مشتق نزدیک به صفر (در سمت مثبت) بیشتر خواهد بود.

هر چه زاویه به 90 درجه نزدیک‌تر باشد، مقدار مشتق به سمت +∞ افزایش می‌یابد.

در زاویه شیب مماس از 90 درجه تا 180 درجه

هرچه به 90 o نزدیک‌تر باشد، مقدار مشتق به سمت –∞ کاهش می‌یابد.

هر چه زاویه به 180 درجه نزدیکتر باشد، مقدار مشتق نزدیک به صفر (در سمت منفی) بیشتر خواهد بود.

317543. شکل نموداری از تابع y = را نشان می دهد f(ایکس) و نقاط مشخص شده اند–2، –1، 1، 2. مشتق در کدام یک از این نقاط بیشترین است؟ لطفا این نکته را در پاسخ خود ذکر کنید.

ما چهار نقطه داریم: دو تای آنها مربوط به بازه هایی هستند که تابع در آنها کاهش می یابد (اینها نقاط -1 و 1 هستند) و دو تای آنها به بازه هایی که تابع در آنها افزایش می یابد (اینها نقاط -2 و 2 هستند).

بلافاصله می توانیم نتیجه بگیریم که در نقاط -1 و 1 مشتق دارای ارزش منفی و در نقاط -2 و 2 دارای مقدار مثبت است. بنابراین، در این مورد، لازم است نقاط -2 و 2 را تجزیه و تحلیل کرد و مشخص کرد که کدام یک از آنها بیشترین مقدار را خواهد داشت. بیایید مماس هایی بسازیم که از نقاط مشخص شده عبور می کنند:

مقدار مماس زاویه بین خط مستقیم a و محور آبسیسا خواهد بود ارزش بیشترمماس زاویه بین خط b و این محور. این به این معنی است که مقدار مشتق در نقطه -2 بزرگترین خواهد بود.

بیایید به سوال زیر پاسخ دهیم: در کدام نقطه -2، -1، 1 یا 2 مقدار مشتق منفی ترین است؟ لطفا این نکته را در پاسخ خود ذکر کنید.

مشتق در نقاطی که به فواصل کاهشی تعلق دارند مقدار منفی خواهد داشت، بنابراین اجازه دهید نقاط -2 و 1 را در نظر بگیریم.

می بینیم که زاویه منفرد بین خط مستقیم b و محور oX "نزدیک تر" به 180 است. O بنابراین مماس آن بیشتر از مماس زاویه تشکیل شده توسط خط مستقیم a و محور oX خواهد بود.

بنابراین، در نقطه x = 1، مقدار مشتق بزرگترین منفی خواهد بود.

317544. شکل نمودار تابع y = را نشان می دهد f(ایکس) و نقاط مشخص شده اند–2، –1، 1، 4. مشتق در کدام یک از این نقاط کوچکترین است؟ لطفا این نکته را در پاسخ خود ذکر کنید.

ما چهار نقطه داریم: دو تای آنها مربوط به فواصل زمانی است که تابع کاهش می یابد (اینها نقاط -1 و 4 هستند) و دو نقطه به فواصل زمانی که تابع افزایش می یابد (اینها نقاط -2 و 1 هستند).

بلافاصله می توانیم نتیجه بگیریم که در نقاط -1 و 4 مشتق دارای مقدار منفی و در نقاط -2 و 1 دارای مقدار مثبت است. بنابراین، در این مورد، لازم است نقاط -1 و 4 را تجزیه و تحلیل کرد و مشخص کرد که کدام یک از آنها کمترین مقدار را خواهد داشت. بیایید مماس هایی بسازیم که از نقاط مشخص شده عبور می کنند:

مقدار مماس زاویه بین خط مستقیم a و محور آبسیسا بیشتر از مقدار مماس زاویه بین خط مستقیم b و این محور خواهد بود. این بدان معنی است که مقدار مشتق در نقطه x = 4 کوچکترین خواهد بود.

پاسخ: 4

امیدوارم که شما را با حجم نوشته‌ها «سربار» نکرده باشم. در واقع، همه چیز بسیار ساده است، فقط باید ویژگی های مشتق، معنای هندسی آن و چگونگی تغییر مقدار مماس زاویه از 0 تا 180 درجه را درک کنید.

1. ابتدا نشانه های مشتق را در این نقاط (+ یا -) مشخص کنید و نقاط لازم را (بسته به سوال مطرح شده) انتخاب کنید.

2. در این نقاط مماس بسازید.

3. با استفاده از نمودار تانگزوئید، زوایا و نمایش را به صورت شماتیک علامت گذاری کنیداسکندر

P.S. اگر در مورد سایت در شبکه های اجتماعی به من بگویید ممنون می شوم.