Abstand zwischen Punkten im Präsentationsraum. Kartesische Koordinaten im Raum

Abschnitte: Mathematik

Lernziele:

Lehrreich: Betrachten Sie das Konzept eines Koordinatensystems und der Koordinaten eines Punktes im Raum; Leiten Sie die Distanzformel in Koordinaten ab; Leiten Sie die Formel für die Koordinaten des Mittelpunkts des Segments ab.

Lehrreich: Förderung der Entwicklung des räumlichen Vorstellungsvermögens der Schüler; Tragen Sie zur Entwicklung der Problemlösung und zur Entwicklung des logischen Denkens der Schüler bei.

Lehrreich: Förderung kognitiver Aktivität, Verantwortungsbewusstsein, Kommunikationskultur, Dialogkultur. Ausrüstung: Zeichenutensilien, Salzkristallgitter.

Unterrichtsart: Lektion zum Erlernen neuen Materials (2 Stunden).

Unterrichtsaufbau:

1. Zeit organisieren.
2. Einführung.
3. Unterrichtsziele kommunizieren.
4. Motivation.
5. Aktualisierung.
6. Neues Material lernen.
7. Verständnis und Bewusstsein.
8. Konsolidierung.
9. Zusammenfassung der Lektion.

Leitende Aufgabe: Bereiten Sie den Beweis von Theoremen und die Ableitung von Formeln vor, einen Bericht über Rene Descartes.

Trainingstechnik: Programmierte Lerntechnologie (Blocklernen).

Während des Unterrichts

1. Organisatorischer Moment. Guten Tag.

2. Einführung.

Heute beginnen wir im Unterricht mit dem Studium des vierten Blocks des Geometriekurses der 10. Klasse „Kartesische Koordinaten und Vektoren im Raum“.

Vorstellung des Tisches des vierten Blocks (der Tisch steht auf jedem Schreibtisch).

10. Klasse. Kartesische Koordinaten und Vektoren im Raum. Block Nr. 4

Anzahl der Stunden: 18 Stunden

Name der Themen	Theorie (Lehrbuch)	Werkstatt	Selbstständige Arbeit	Theorieprüfung	Testpapiere
Einführung: Kartesische Koordinaten im Raum. Abstand zwischen Punkten. Koordinaten des Mittelpunkts des Segments.	S.152	Praktische Arbeit Nr. 6	Unabhängige Arbeit Nr. 5	Geometrisches Diktat.	Heimtest Nr. 4 Klassentest Nr. 4
Symmetrie. Parallele Übertragung. Bewegung.	S.155, S.156	Praktische Arbeit Nr. 7	Unabhängige Arbeit Nr. 6	Scorekarte Nr. 3	Heimtest Nr. 5 Klassentest Nr. 5
Winkel zwischen: Gerade Linien kreuzen; Gerade und flach; Flugzeuge. 9. Die Fläche der orthogonalen Projektion eines Polygons.		Praktische Arbeit Nr. 8		Scorekarte Nr. 4
Vektoren im Raum.	S.164	Praktische Arbeit Nr. 9		Scorekarte Nr. 5

Welches Thema stimmt mit dem Thema unserer Lektion überein, die wir in der 8. Klasse gelernt haben? Welches Schlüsselwort definiert diese beiden Themen? (Koordinaten). Die Eingabe von Ebenen- und Raumkoordinaten ist auf unendlich viele verschiedene Arten möglich.

Bei der Lösung eines geometrischen, physikalischen oder chemischen Problems können Sie verschiedene Koordinatensysteme verwenden: rechteckig, polar, zylindrisch, sphärisch. (Zeigt Modelle des Kristallgitters von Speisesalz)

Im allgemeinbildenden Studiengang wird das rechtwinklige Koordinatensystem in der Ebene und im Raum untersucht. Ansonsten wird es nach dem französischen Wissenschaftler und Philosophen René Descartes (1596 – 1650), der erstmals Koordinaten in die Geometrie einführte, als kartesisches Koordinatensystem bezeichnet.

(Studentengeschichte über Rene Descartes.)

Rene Descartes wurde 1596 in der südfranzösischen Stadt Lae in eine Adelsfamilie geboren. Mein Vater wollte Rene zum Offizier machen. Zu diesem Zweck schickte er René 1613 nach Paris. Descartes musste viele Jahre in der Armee verbringen und an Feldzügen in Holland, Deutschland, Ungarn, der Tschechischen Republik und Italien sowie an der Belagerung der Hugenottenfestung La Rochalie teilnehmen. Aber Rene interessierte sich für Philosophie, Physik und Mathematik. Kurz nach seiner Ankunft in Paris traf er Vietas Schüler, einen prominenten Mathematiker dieser Zeit – Mersen, und dann andere Mathematiker in Frankreich. Während seiner Zeit in der Armee widmete Descartes seine gesamte Freizeit der Mathematik. Er studierte deutsche Algebra sowie französische und griechische Mathematik.

Nach der Einnahme von La Rochalie im Jahr 1628 verließ Descartes die Armee. Er führt ein einsames Leben, um seine umfangreichen Pläne für die wissenschaftliche Arbeit umzusetzen.

Die philosophischen Ansichten von Descartes entsprachen nicht den Anforderungen der katholischen Kirche. Deshalb zog er nach Holland, wo er von 1629 bis 1649 20 Jahre lang lebte. Aufgrund der Verfolgung der protestantischen Kirche im Jahr 1649 zog er jedoch nach Stockholm. Doch das raue nördliche Klima Schwedens erwies sich für Descartes als katastrophal und er starb 1650 an einer Erkältung.

Descartes war der größte Philosoph und Mathematiker seiner Zeit. Seine Philosophie basierte auf dem Materialismus. Descartes‘ berühmtestes Werk ist seine Geometrie. Descartes führte ein Koordinatensystem ein, das heute jeder nutzt. Er stellte eine Entsprechung zwischen Zahlen und Liniensegmenten her und führte damit die algebraische Methode in die Geometrie ein. Diese Entdeckungen von Descartes gaben der Entwicklung sowohl der Geometrie als auch anderer Zweige der Mathematik und Optik enorme Impulse. Es wurde möglich, die Abhängigkeit von Größen von der Koordinatenebene, Zahlen – als Segmente – grafisch darzustellen und arithmetische Operationen an Segmenten und anderen geometrischen Größen sowie verschiedenen Funktionen durchzuführen. Es war eine völlig neue Methode, die sich durch Schönheit, Anmut und Einfachheit auszeichnete.

R. Descartes - französischer Wissenschaftler (1596-1650)

3. Kommunizieren Sie den Zweck der Lektion.

Heute werden wir uns in der Lektion weiter mit dem kartesischen Koordinatensystem befassen und zeigen, dass Koordinaten im Raum genauso einfach eingegeben werden wie Koordinaten auf einer Ebene.

4. Motivation.

René Descartes sagte einmal: “… Meine Nachkommen werden mir nicht nur für das dankbar sein, was ich gesagt habe, sondern auch für das, was ich nicht gesagt habe und ihnen dadurch die Möglichkeit und das Vergnügen gegeben habe, es selbst herauszufinden.“ Ich gebe Ihnen die Gelegenheit und das Vergnügen, das kartesische Koordinatensystem selbst zu verstehen.

5. Neues Material lernen.

Erläuterung. Bei der Blocklerntechnik geht es darum, mehrere Themen in einer Unterrichtsstunde zu studieren. Die Lektion wird drei Themen behandeln. Jedes Thema enthält die folgende Struktur:

• Studium von neuem Material (die Studie basiert auf einer vergleichenden Analyse der in der Planimetrie diskutierten Grundkonzepte und Formeln und dem Beweis der notwendigen Theoreme);
• Bewusstsein und Verständnis.

Basierend auf dem Material, das Sie für die 8. Klasse kennen, füllen wir die Tabelle aus. Machen wir eine vergleichende Beschreibung.

(Eine Tabelle wird an die Tafel gezeichnet, sie muss gemeinsam mit den Schülern ausgefüllt werden. Betrachten Sie die Grundkonzepte der kartesischen Koordinaten, die Formel für den Abstand zwischen Punkten, die Formel für die Koordinaten des Mittelpunkts eines Segments in einer Ebene, und versuchen Sie, dass die Schüler die Grundkonzepte und Formeln im Raum selbst formulieren)

Auf der Oberfläche	Im Weltraum
Definition.	Definition.
2 Achsen, OU - Ordinatenachse, OX - Abszissenachse	3 Achsen, OX - Abszissenachse, OU – Ordinatenachse, OZ – Applikatorachse.
OX steht senkrecht auf OA	OX steht senkrecht auf OU, OX steht senkrecht auf OZ, OU steht senkrecht auf OZ.
(O;O)	(GMBH)
	Richtung, einzelnes Segment
Abstand zwischen Punkten.	Abstand zwischen Punkten. d = v (x2 - x1)? + (y2 - y1)? + (z2 – z1)?
Koordinaten des Mittelpunkts des Segments.	Koordinaten des Mittelpunkts des Segments.

Für das Gespräch verwendete Bilder:

Fragen zum Ausfüllen des ersten Teils der Tabelle.

1. Formulieren Sie die Definition eines kartesischen Koordinatensystems?

2. Versuchen Sie, die Definition eines kartesischen Koordinatensystems im Raum zu formulieren?

3. Was sind die Koordinatenachsen in der Ebene? Was sind die Koordinatenachsen im Raum? Name, welche Achse haben wir nicht untersucht? (Ein neues Wort einführen „bewerben“)

4. Welche Ebenen werden in der Planimetrie (im Raum) berücksichtigt?

5. Was ist die Koordinate des Ursprungs in der Ebene (im Raum)?

6. Welche weiteren Komponenten sollte ein Koordinatensystem in der Ebene und im Raum haben?

7. Wie wird die Koordinate eines Punktes in der Ebene und im Raum bestimmt?

Abschluss:

Erzählen Sie uns, wie das kartesische Koordinatensystem im Raum eingeführt wird und woraus es besteht?

Zeichnen Sie während eines Gesprächs eine Zeichnung der frontal-dimetrischen Projektion der Achsen.

Berücksichtigen Sie die Position der Achsen gemäß der Zeichnung.

Konstruieren Sie einen Punkt mit den gegebenen Koordinaten A (2; - 3).

Konstruieren Sie einen Punkt mit den gegebenen Koordinaten A (1; 2; 3).

Betrachten Sie die Konstruktion auf der Tafel. Arbeiten Sie mit Karten (2 Personen an der Tafel).

Arbeiten Sie mit der Klasse: Aufgabe Nr. 3 aus dem Lehrbuch, Seite 287, mündlich.

Fragen zum Ausfüllen des zweiten Teils der Tabelle.

1. Schreiben Sie die Formel für den Abstand zwischen Punkten auf einer Ebene auf.

2. Wie würden Sie die Formel für den Abstand zwischen Punkten im Raum schreiben?

Lassen Sie uns seine Gültigkeit beweisen(Herleitung der Formel – Absatz 154, S. 273)

Die fortgeschrittene Aufgabe besteht darin, den Schülern die Formel an der Tafel anzuzeigen.

Arbeit mit Karten: 2 Personen an der Tafel.

Finden Sie die Länge des Segments:

1. A (1;2;3;) und B (-1; 0; 5)
2. A (1;2;3) und B (x; 2 ;-3)

Arbeiten mit der Klasse: Aufgabe Nr. 5 auf Seite 288.

Fragen zum Ausfüllen des dritten Teils der Tabelle.

1. Wie können wir die Formel für die Koordinaten des Mittelpunkts eines Segments schreiben?

2. Wie würden Sie die Formel für die Koordinaten des Mittelpunkts eines Segments aufschreiben?

Lassen Sie uns seine Gültigkeit beweisen(Herleitung der Formel S. -154 S., 273).

Die fortgeschrittene Aufgabe besteht darin, eine Formel für die Koordinaten des Mittelpunkts eines Segments in der Nähe der Tafel abzuleiten.

Arbeiten mit der Klasse. Oral.

Finden Sie die Koordinaten von Punkt M – der Mitte des Segments

A(2;3;2), B (0;2;4) und C (4;1;0)

• Ist Punkt B der Mittelpunkt des Segments AC?

Arbeiten Sie mit der Klasse: Aufgabe Nr. 9 Seite 288.

Konsolidierung.

Workshop: Problemlösung (Praktische Arbeit).

Bei der Lösung von Problemen werden die Studierenden zu bisherigen Themen und neu erlerntem Stoff befragt (Beweis von Theoremen).

Hausaufgaben: Studieren Sie die Absätze 152, 153,154, Fragen 1 – 3, Aufgaben 3, 4, 6, 10, bereiten Sie sich auf das geometrische Diktat vor.

Zusammenfassung der Lektion.

1. Wie wird das kartesische Koordinatensystem eingeführt? Woraus besteht es?
2. Wie werden die Koordinaten eines Punktes im Raum bestimmt?
3. Wie groß ist die Koordinate des Ursprungs?
4. Wie groß ist der Abstand vom Ursprung zu einem bestimmten Punkt?
5. Wie lautet die Formel für die Koordinaten der Mitte eines Segments und den Abstand zwischen Punkten im Raum?

Bewertung(Der Lehrer vergibt selbstständig Noten für die Arbeit im Unterricht und gibt diese den Schülern bekannt.)

Zeit organisieren. Vielen Dank für die Lektion. Auf Wiedersehen.

Literatur.

1. EIN V. Pogorelow. Lehrbuch 7-11. M. „Aufklärung“, 19992-2005.
2. IST. Petrakow. Mathe-Clubs in den Klassen 8-10. M, „Aufklärung“, 1987

Zusammenfassung anderer Vorträge

„Die Bedingung der Rechtwinkligkeit einer Geraden und einer Ebene“ – Senkrecht und schräg. Rechtwinkligkeit von Linien und Ebenen. Satz über zwei parallele Geraden. Konstruktionsplan. Die Gerade a steht senkrecht auf der ASM-Ebene. Beweisen wir, dass die Gerade a senkrecht zu einer beliebigen Geraden m steht. Definition. Satz über zwei Geraden senkrecht zu einer Ebene. Ein Zeichen für die Rechtwinkligkeit einer Linie und einer Ebene. Ein Zeichen der Rechtwinkligkeit von Ebenen. Median. In der Ebene b zeichnen wir durch den Punkt M eine Gerade c.

„Thema der Stereometrie“ – Undefinierbare Konzepte. Punkte. Geometrie. Regelmäßige Polyeder. Erinnern Sie sich an den Satz des Pythagoras? Richtungen. Philosophische Schule. Stereometrie. Axiome der Stereometrie. Unsichtbare Seite. Satz des Pythagoras. Aus der Geschichte. Ägyptische Pyramiden. Pythagoras. Stereometrie-Wissenschaftskonzept. Visuelle Darstellungen. Universum. Heute im Unterricht. Planimetrie. Grundbegriffe der Stereometrie. Euklid. Räumliche Darstellungen.

„Arten regelmäßiger Polyeder“ – Herstellung von Schwefelsäure. Plato. Tetraeder. Stelliertes Ikosidodekaeder. Stelliertes Ikosaeder. Hexaeder. Die hängenden Gärten von Babylon. Halikarnassos-Mausoleum. Polyeder in der Natur. Dodekaeder. Kader. Regelmäßige Polyeder und Natur. Regelmäßige Polyeder in Platons philosophischem Weltbild. Ikosaederstumpf. Regelmäßige Polyeder. Mechanische Rätsel. Stelliertes Dodekaeder. Sternpolyeder.

„Bestimmung von Diederwinkeln“ – Problem. Der Punkt am Rand kann beliebig sein. Hinweise zur Problemlösung. Konstruktion eines linearen Winkels. Finden Sie die Entfernung. Probleme lösen. Halbebenen, die einen Diederwinkel bilden. Satz der drei Senkrechten. Auf einer der Flächen mit einem Diederwinkel von 30 gibt es einen Punkt M. Senkrecht, schräg und projiziert. Lasst uns einen Strahl werfen. Punkt K wird von jeder Seite entfernt. Gradmaß des Winkels. Finden Sie den Winkel.

„Grundlegende Axiome der Stereometrie“ – Cheopspyramide. Axiome der Stereometrie. Axiom. Thema Stereometrie. Folgerungen aus den Axiomen der Stereometrie. Bilder von Raumfiguren. Geometrie. Flugzeug. Flugzeuge haben einen gemeinsamen Punkt. Quellen und Links. Die Punkte einer Geraden liegen in einer Ebene. Geometrische Körper. Vier gleichseitige Dreiecke. Folgerungen aus den Axiomen. Grundfiguren im Weltraum. Erste Lektionen in Stereometrie. Ein altes chinesisches Sprichwort.

„Parallelepiped“ – Eigenschaften der Diagonalen eines rechteckigen Parallelepipeds. Geneigtes Parallelepiped. Ein Liniensegment, das zwei Eckpunkte verbindet. Grundelemente eines Parallelepipeds. Herleitung der Formel für das Volumen eines rechteckigen Parallelepipeds. Parallelepiped. „Salzburger Parallelepiped“. Ein Prisma, dessen Basis ein Parallelogramm ist. Volumen eines Parallelepipeds. Oberfläche eines rechteckigen Parallelepipeds. Als Basis kann jedes Paar paralleler Flächen verwendet werden.

Folie 2

Unterrichtsziele 1. Zeigen Sie mit größtmöglicher Klarheit, dass Koordinaten im Raum genauso einfach und natürlich eingegeben werden wie Koordinaten in einer Ebene. 2. Anwendung von Formeln zur Lösung von Problemen.

Folie 3

Lektion zum Thema Kartesische Koordinaten im Raum

R. Descartes – französischer Wissenschaftler (1596–1650) Descartes war der größte Philosoph und Mathematiker seiner Zeit. Seine Philosophie basierte auf dem Materialismus. Descartes‘ berühmtestes Werk ist seine Geometrie. Descartes führte ein Koordinatensystem ein, das heute jeder nutzt. Er stellte eine Entsprechung zwischen Zahlen und Liniensegmenten her und führte damit die algebraische Methode in die Geometrie ein. Diese Entdeckungen von Descartes gaben der Entwicklung sowohl der Geometrie als auch anderer Zweige der Mathematik enorme Impulse.

Folie 4

Rene Descartes sagte einmal: „... meine Nachkommen werden mir nicht nur für das dankbar sein, was ich gesagt habe, sondern auch für das, was ich nicht gesagt habe und ihnen dadurch die Gelegenheit und das Vergnügen gegeben habe, es selbst herauszufinden.“ Motivation

Folie 5

3. Was sind die Koordinatenachsen in der Ebene? Was sind die Koordinatenachsen im Raum? Name, welche Achse haben wir nicht untersucht? (Einführung in das neue Wort „applicate“) 4. Welche Ebenen werden in der Planimetrie (im Raum) berücksichtigt? 5. Was ist die Koordinate des Ursprungs in der Ebene (im Raum)? 6. Welche weiteren Komponenten sollte ein Koordinatensystem in der Ebene und im Raum haben? Zeichnungen dienen der Unterhaltung

Folie 6

Erzählen Sie uns, wie das kartesische Koordinatensystem im Raum eingeführt wird und woraus es besteht? Zeichnen Sie während eines Gesprächs eine Zeichnung der frontal-dimetrischen Projektion der Achsen. Berücksichtigen Sie die Position der Achsen gemäß der Zeichnung. Konstruieren Sie einen Punkt mit den gegebenen Koordinaten A (2; - 3). Konstruieren Sie einen Punkt mit den gegebenen Koordinaten A (1; 2; 3).

Folie 7

Grundkonzepte kartesischer Koordinaten. . .

Folie 8

Abstandsformel zwischen Punkten

Folie 9

Koordinaten des Mittelpunkts des Segments.

Beschreibung:

Thema " Einführung kartesischer Koordinaten im Raum. Abstand zwischen Punkten. Koordinaten des Mittelpunkts des Segments

Lernziele:

Lehrreich: Betrachten Sie das Konzept eines Koordinatensystems und der Koordinaten eines Punktes im Raum; Leiten Sie die Distanzformel in Koordinaten ab; Leiten Sie die Formel für die Koordinaten des Mittelpunkts des Segments ab.

Lehrreich: Förderung der Entwicklung des räumlichen Vorstellungsvermögens der Schüler; tragen zur Entwicklung der Problemlösung und zur Entwicklung des logischen Denkens der Schüler bei.

Lehrreich: Förderung kognitiver Aktivität, Verantwortungsbewusstsein, Kommunikationskultur, Dialogkultur.

Unterrichtsart:Lektion zum Erlernen neuer Materialien

Unterrichtsaufbau:

1. Zeit organisieren.
2. Grundkenntnisse aktualisieren.
3. Neues Material lernen.
4. Aktualisierung neuen Wissens
5. Zusammenfassung der Lektion.

Während des Unterrichts

1. Bei der Lösung eines geometrischen, physikalischen oder chemischen Problems können Sie verschiedene Koordinatensysteme verwenden: rechteckig, polar, zylindrisch, sphärisch.

Im allgemeinbildenden Studiengang wird das rechtwinklige Koordinatensystem in der Ebene und im Raum untersucht. Ansonsten wird es nach dem französischen Wissenschaftler und Philosophen Rene Descartes (1596 - 1650), der als erster Koordinaten in die Geometrie einführte, kartesisches Koordinatensystem genannt.

Rene Descartes wurde 1596 in der südfranzösischen Stadt Lae in eine Adelsfamilie geboren. Mein Vater wollte Rene zum Offizier machen. Zu diesem Zweck schickte er René 1613 nach Paris. Descartes musste viele Jahre in der Armee verbringen und an Feldzügen in Holland, Deutschland, Ungarn, der Tschechischen Republik und Italien sowie an der Belagerung der Hugenottenfestung La Rochalie teilnehmen. Aber Rene interessierte sich für Philosophie, Physik und Mathematik. Kurz nach seiner Ankunft in Paris traf er Vietas Schüler, einen prominenten Mathematiker dieser Zeit – Mersen, und dann andere Mathematiker in Frankreich. Während seiner Zeit in der Armee widmete Descartes seine gesamte Freizeit der Mathematik. Er studierte deutsche Algebra sowie französische und griechische Mathematik.

Nach der Einnahme von La Rochalie im Jahr 1628 verließ Descartes die Armee. Er führt ein einsames Leben, um seine umfangreichen Pläne für die wissenschaftliche Arbeit umzusetzen.

Descartes war der größte Philosoph und Mathematiker seiner Zeit. Descartes‘ berühmtestes Werk ist seine Geometrie. Descartes führte ein Koordinatensystem ein, das heute jeder nutzt. Er stellte eine Entsprechung zwischen Zahlen und Liniensegmenten her und führte damit die algebraische Methode in die Geometrie ein. Diese Entdeckungen von Descartes gaben der Entwicklung sowohl der Geometrie als auch anderer Zweige der Mathematik und Optik enorme Impulse. Es wurde möglich, die Abhängigkeit von Größen von der Koordinatenebene, Zahlen – als Segmente – grafisch darzustellen und arithmetische Operationen an Segmenten und anderen geometrischen Größen sowie verschiedenen Funktionen durchzuführen. Es war eine völlig neue Methode, die sich durch Schönheit, Anmut und Einfachheit auszeichnete.